湘教版数学七年级上册第3章一元一次方程（B卷）含解析答案

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第3章�一元一次方程（B卷）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

评卷人
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一、单选题
1．下列方程中，是一元一次方程的是（   ）
A． B． C． D．
2．下列变形中，不正确的是（    ）
A．若3a＝3b，则a＝b B．若，则a＝b
C．若a＝b，则a+3＝b+3 D．若a＝b，则
3．下列方程变形正确的是(    )
A．方程化成
B．方程，去括号，得 3-x=2-5x-1
C．方程 移项得
D．方程，未知数系数化为1，得 t=1
4．把方程的分母化成整数后，可得方程(　　)
A． B．
C． D．
5．我国古代数学名著《九章算术》中记载：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数，物价各几何？”意思是现有几个人共买一件物品，每人出8钱．多出3钱；每人出7钱，差4钱．问人数，物价各是多少？若设共有人，物价是钱，则下列方程正确的是（    ）
A． B．
C． D．
6．三个连续偶数的和是﹣72，其中最小的一个偶数是（　　）
A．﹣22 B．﹣24 C．﹣26 D．﹣28
7．关于x的方程的解是的解的2倍，则m的值为（    ）
A． B． C． D．
8．将连续的奇数1、3、5、7、9、11等，按一定规律排成如图：图中的T字框框住了四个数字，若将T字框上下左右移动，按同样的方式可框住另外的四个数．若将T字框上下左右移动，则框住的四个数的和不可能得到的数是（    ）

A．34 B．62 C．118 D．158
9．我国古代的“九宫格”是由的方格构成的，每个方格内均有不同的数，每一行、每一列以及每一条对角线上的三个数之和相等．如图给出了“九宫格”的一部分，请你推算的值是（    ）

A． B． C． D．
10．如图，将4张形状、大小完全相同的小长方形纸片分别以图1、图2的方式放入长方形ABCD中，若图1中的阴影部分周长比图2的阴影部分周长少1，则图中BE的长为（    ）

A． B． C．1 D．2

评卷人
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二、填空题
11．如果x－2y=1，那么用含x的代数式表示y，则y= ．
12．已知关于的方程的解是，则的值等于 ．
13．一家体育器材商店将某种品牌的篮球按成本价提高40%后标价，又以8折优惠卖出，仍可获利12元．若设每个篮球的成本价为a元，依据题意可列方程
14．一件羽绒服原价是元，后由于迎新年促销打折售价是元，这件羽绒服打了 折．
15．若与互为相反数，则的值为 ．
16．若关于的方程与方程的解相同，则的值为 ．
17．在有理数范围内我们定义运算法则“¤”：a¤b＝ab＋a－b＋3，如2¤5＝2×5＋2－5＋3＝10．如果－3¤x＝4，那么x的值为 ．
18．已知关于x的一元一次方程的解为，那么关于y的一元一次方程的解 ．

评卷人
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三、解答题
19．解方程
（1）
（2）








20．数轴上的点A表示的数是a，点A在数轴上向右平移了8个单位长度后得到点B，若点A和点B表示的数恰好互为相反数，求a的值．








21．“春节期间”，弟弟和妈妈从家里出发以每小时2千米的速度一同去外婆家，他们走了1小时后，哥哥发现带给外婆的礼品忘在家里，便立刻带上礼品以每小时6千米的速度去追，问哥哥多长时间能追上他们？








22．新冠疫情肆虐春城期间，全市有大批志愿者不畏艰险加入到抗疫队伍中来．“大白”们的出现，给封控小区居民带来了信心，为他们的生活提供了保障．已知某社区在甲小区原有志愿者23名，在乙小区原有志愿者17名．现有来自延边州支援该社区的志愿者20名，分别去往甲小区和乙小区支援，结果在甲小区的志愿者人数比乙小区志愿者人数的三分之二还多5名，求延边州志愿者去往甲小区的人数．








23．某商场经销的甲、乙两种商品，甲种商品每件进价40元，加价50%作为售价；乙种商品每件进价50元，售价80元
打折前一次性购物总金额
优惠措施
不超过450元
不优惠
超过450元，但不超过600元
售价打九折
超过600元
其中600元部分打8.2折优惠超过600元部分3折优惠
(1)甲种商品每件售价为_____元，乙种商品每件的利润为 元，利润率为 ％
(2)若该商场同时购进甲、乙两种商品共50件，恰好总进价为2100元，求购进甲、乙两种商品各多少件？
(3)按以下优惠条件，若小梅一次性购买乙种商品实际付款504元，则此次小梅在该商场最多购买乙种商品多少件？








24．我们规定：若关于的一元一次方程的解为，则称该方程为“和解方程”．例如：方程的解为，而，则方程为“和解方程”．请根据上述规定解答下列问题：
(1)方程______“和解方程”（填“是”或“不是”）；
(2)若关于的一元一次方程是“和解方程”，求的值；
(3)若关于的一元一次方程是“和解方程”，并且它的解是，求，的值．








25．如图，数轴上点A，C所表示的数分别是a和c，且满足，点B表示的数是- 3．

(1)求数a，c，
(2)点A，B同时沿数轴向右匀速运动，点A的速度为每秒2个单位长度，点B的速度为每秒1个单位长度，若运动的时间为t秒，在运动过程中，点A，B到原点的距离相等时，求t的值．









评卷人
得分



四、计算题
26．某市为鼓励居民节约用水，采取分段计费的方法按月计算每户家庭的水费，月用水量与水费的单价如表：
月用水量
不超过24立方米
超过24立方米
水费单价
4元/立方米
不超过24立方米的部分仍按4元/立方米计费，超过部分按6元/立方米计费
(1)每户用水量为立方米，用式子表示：
①当月用水量不超过24立方米时，应收水费______元．
②当月用水量超过24立方米时，应收水费______元．
③小明家五月份用水20立方米，六月份用水30立方米，请帮小明计算他家这两个月共应交多少元的水费．
(2)小明家七、八月份共用水50立方米，共交水费208元，已知七月份用水不超过24立方米，请帮小明计算他家这两个月各用多少立方米的水．

参考答案：
1．D
【分析】只含有一个未知数，且未知数的次数是1的整式方程是一元一次方程，根据定义判断．
【详解】解：A、含有两个未知数x和y，不符合定义，故不符合题意；
B、未知数的最高次数是2，不符合题意，故不符合题意；
C、分母中含有字母，不是整式方程，不符合定义，故不符合题意；
D、符合定义，故符合题意；
故选：D．
【点睛】此题考查了一元一次方程的定义，熟记定义是解题的关键．
2．D
【分析】根据等式的基本性质逐个判断即可．等式的性质：1、等式两边同时加上或减去相等的数或式子，等式两边依然相等．2、等式两边同时乘或除相等且不为零的数或式子，等式两边依然相等．
【详解】解：A、若3a＝3b，则a＝b，选项正确，不符合题意；
B、若，则a＝b，选项正确，不符合题意；
C、若a＝b，则a+3＝b+3，选项正确，不符合题意；
D、若a＝b，则不一定等于，选项错误，符合题意．
故选：D．
【点睛】此题考查了等式的基本性质，解题的关键是熟练掌握等式的基本性质．
3．C
【分析】根据一元一次方程的解法分别进行计算，即可得出结论．
【详解】解：A、方程化成；故此选项变形错误，不符合题意；
B、方程，去括号，得；故此选项变形错误，不符合题意；
C、方程，移项得；故此选项变形正确，符合题意；
D、方程，未知数系数化为1，得；故此选项变形错误，不符合题意．
故选：C．
【点睛】此题考查了解一元一次方程，掌握解一元一次方程的一般步骤及方法是解题的关键．
4．B
【分析】本题方程两边都含有分数系数，在变形的过程中，利用分数的性质将分数的分子、分母同时扩大或缩小相同的倍数，将小数方程变为整数方程，把含分母的项的分子与分母都扩大原来的10倍．
【详解】解：把原方程的分母化为整数得，，
故选B．
【点睛】分母化成整数的过程的依据是分数的性质，掌握相关知识是解题的关键．
5．D
【分析】设共有x人，根据物价不变列方程；设物价是钱，根据人数不变即可列出一元一次方程；由此即可确定正确答案
【详解】解：设共有x人，则有8x-3=7x+4
设物价是钱，则根据可得：

故选D．
【点睛】本题主要考查了列一元一次方程，正确审题、发现隐藏的等量关系成为解答本题的关键．
6．C
【分析】相邻两个偶数的差为2,由此可设最小的偶数是x，则其余两个偶数分别是（x+2）、（x+4），这三个连续偶数的和为72,由此列方程求解即可.
【详解】设最小的偶数是x，则其余两个偶数分别是（x+2）、（x+4），
依题意得：x+x+2+x+4=﹣72，
解得x=﹣26．
即最小的一个偶数是﹣26．
故选C．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，明确相邻的两个偶数相差2是解答本题的关键.
7．C
【分析】分别表示出两个方程的解，根据解的关系列出方程，求出方程的解即可得到m的值．
【详解】解：方程4x-2m=3x-1，
解得：x=2m-1，
方程x=2x-3m，
解得：x=3m，
根据题意得：2m-1=6m，
解得：m=-．
故选：C．
【点睛】此题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
8．A
【分析】由题意，设T字框内处于中间且靠上方的数为2n﹣1，则框内该数左边的数为2n﹣3，右边的为2n+1，下面的数为2n﹣1+10，故T字框内四个数的和为：8n+6．
【详解】由题意，设T字框内处于中间且靠上方的数为2n﹣1，
则框内该数左边的数为2n﹣3，右边的为2n+1，下面的数为2n﹣1+10，
∴T字框内四个数的和为：
2n﹣3+2n﹣1+2n+1+2n﹣1+10＝8n+6．
故T字框内四个数的和为：8n+6．
A、由题意，令框住的四个数的和为34，则有：8n+6＝34，解得n＝3.5．不满足整数的条件．故框住的四个数的和不能等于34，故本选项符合题意；
B、由题意，令框住的四个数的和为62，则有：8n+6＝62，解得n＝7．满足整数的条件．故本选项不符合题意；
C、由题意，令框住的四个数的和为118，则有：8n+6＝118，解得n＝14．满足整数的条件．故本选项不符合题意；
D、由题意，令框住的四个数的和为158，则有：8n+6＝158，解得n＝19．满足整数的条件．故本选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】此题主要考查了一元一次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，设出未知数，列出方程．
9．D
【分析】如图，设第2列中间的数为 第3列最下面的数为 再由求解的值，再利用求解即可.
【详解】解：如图，设第2列中间的数为 第3列最下面的数为

则



故选D
【点睛】本题考查的是九宫格问题，利用一元一次方程解决九宫格问题是解题的关键.
10．B
【分析】设小长方形的长为y，宽为x，用x、y及BE分别表示出图1和图2的周长，根据图1中的阴影部分周长比图2的阴影部分周长少1，即可求解．
【详解】解∶如下图，

设小长方形的长为y，宽为x，则，
图1中阴影部分的周长为：y+2x+y+2x+y+（y-2x）+2x=4y+4x，
图2中阴影部分的周长为：y+2x+（y+BE-2x）+y+2x+y+BE+2x=4y+4x+ 2BE，
∵图1中的阴影部分周长比图2的阴影部分周长少1，
∴4y+4x+ 2BE=4y+4x+1，
∴BE=，
故选：B．
【点睛】此题考查了整式的加减以及一元一次方程，正确地表示出两图中阴影部分的周长是解本题的关键．
11．
【分析】将x看作常数，依次移项、系数化为1即可得．
【详解】解：x－2y=1，
2y＝x−1，
y＝，
故答案为：．
【点睛】此题考查了解二元一次方程，解题的关键是将x看作已知数求出y．
12．
【分析】把代入原方程，再解方程即可．
【详解】解：把代入得，
，解得，
故答案为：-5．
【点睛】本题考查了方程的解和解一元一次方程，解题关键是明确方程解的含义，代入后准确解方程．
13．(1+40％) a×80%-a=12
【分析】设每个篮球的成本价为a元，然后根据题中的等量关系列方程即可．
【详解】解：设每个篮球的成本价为a元，
由题意得：（1+40%）a×80%﹣a＝12，
故答案为：(1+40％) a×80%-a=12．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，用一元一次方程这个数学模型来解答实际问题是中考的常见题．注意：利润＝售价﹣进价．其中八折即标价的80%．
14．八
【分析】设这件羽绒服打折，根据原价乘以折扣等于售价列出一元一次方程，解方程即可求解．
【详解】设这件羽绒服打折，根据题意可得，
，
解得：，
故答案为：八 ．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．
15．
【分析】由题意直接根据互为相反数两数相加为0，建立方程并进行求解即可得出a的值．
【详解】解：根据题意得：+=0，
去分母得：，
移项及合并同类项得：，
系数化为1得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查相反数性质以及解一元一次方程，熟练掌握互为相反数两数相加为0以及解一元一次方程的解法是解题的关键．
16．11
【分析】先求出的解，再将解代入中，即可求得k的值．
【详解】解：解可得：，
将代入可得：，
解得：，
故答案为：11．
【点睛】本题考查了解一元一次方程及同解方程，熟练掌握解一元一次方程的方法是解题的关键．
17．-1
【分析】根据a¤b=ab+a-b+3，可得-3x-3-x+3=4，再解方程即可．
【详解】解：∵a¤b=ab+a-b+3，
∴-3¤x=-3x-3-x+3=4，
∴-4x=4，
解得：x=-1，
故答案为：-1．
【点睛】本题考查解一元一次方程，正确理解定义的运算法则，列出方程是解题的关键．
18．2
【分析】根据x的一元一次方程的解为，
得到，根据题意，得，
从而得到即x=y+1，代入计算即可．
【详解】∵x的一元一次方程的解为，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴x=y+1=3，
解得y=2，
故答案为：2．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解即使得方程两边相等的未知数的值，正确理解解得意义是解题的关键．
19．（1）；（2）
【分析】（1）方程去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解；
（2）方程去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解．
【详解】解：（1），
去括号得：，
移项合并得：，
解得：；
（2），
去分母得：，
去括号得：，
移项合并得：，
解得：．
【点睛】此题考查了解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项合并，把未知数系数化为1，求出解．
20．．
【分析】根据题意表示出点对应的数，再利用互为相反数的性质分析得出答案．
【详解】解：由题意可得：点对应的数是：，
∵点A和点表示的数恰好互为相反数，
∴，
解得：．
即a的值为-4．
【点睛】本题主要考查了数轴以及相反数，解题的关键是正确表示出点对应的数．
21．小时
【分析】等量关系为：哥哥所走的路程＝弟弟和妈妈所走的路程．
【详解】解：设哥哥追上弟弟需要x小时．
由题意得：6x＝2+2x，
解这个方程得：x．
答：哥哥小时追上他们．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系列方程求解．难点是得到弟弟和妈妈所用的时间，关键是找到相应的等量关系．
22．延边州志愿者去往甲小区的人数为4人．
【分析】设延边州志愿者去往甲小区的人数为x名，根据“在甲小区的志愿者人数比乙小区志愿者人数的三分之二还多5名”列方程求解即可．
【详解】解：设延边州志愿者去往甲小区的人数为x名，
由题意得：，
解得：，
答：延边州志愿者去往甲小区的人数为4名．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，正确理解题意，列出一元一次方程是解题的关键．
23．(1)60， 30， 60；
(2)购进甲种商品40件，则购进甲种商品10件；
(3)此次小梅在该商场最多购买乙种商品8件

【分析】（1） 根据甲种商品每件进价40元，加价50%作为售价，所以售价=进价×（1+50%）乙种商品每件的利润为售价-进价，求出售价和利润率；
（2）设购进甲种商品x件，则购进乙种商品（50-x）件，再由总进价是2100元，列出方程求解即可； .
（3）分两种情况讨论，①打折前购物金额超过450元，但不超过600元，②打折前购物金额超过600元，分别列方程求解即可．
【详解】（1）由题意得，甲种商品每件售价为：
40×（1 + 50%） = 60（元），
乙种商品每件的利润为80 - 50 = 30（元），
乙种商品的利润率为×100% = 60%，
故答案为： 60， 30， 60．
（2）设购进甲种商品x件，则购进甲种商品（50-x）件，根据题意，得40x+ 50（50- x） = 2100，解得x=40，
乙种商品件数为50- x= 50- 40= 10（件）
答：购进甲种商品40件，则购进甲种商品10件．
（3）设小梅购买乙种商品a件，则共需（80a）元，
①当80a≤450时，不符合题意，舍去；
②当450 < 80a≤600时，0.9×80a= 504
解得：a= 7，经检验，符合题意；
③当80a > 600时，
600×0.82+0.3（80a-600）=504，
解得： a=8，经检验，符合题意；
∵8> 7，
∴此次小梅在该商场最多购买乙种商品8件．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解答本题的关键是仔细审题，找到等量关系，利用方程思想求解．
24．(1)不是；
(2)；
(3)．

【分析】（1）根据“和解方程”的定义判断即可得答案；
（2）根据“和解方程”的定义可得，解方程求出k值即可得答案；
（3）根据方程的解的定义可得-5n=mn+n，根据“和解方程”的定义可得n=-5+mn+n，解方程求出m、n的值即可得答案．
【详解】（1）∵，
∴x=-2，
∵3+（-6）=-3≠-2，
∴不是“和解方程”．
故答案为：不是
（2）∵，
∴，
∵关于的一元一次方程是“和解方程”，
∴，即：，
解得：．
（3）∵关于的一元一次方程是“和解方程”，并且它的解是，
∴，
解得：．
【点睛】本题考查了解一元一次方程，和解方程的定义，理解“和解方程”的定义，将解代入方程求解是解题关键．
25．(1)
(2)t的值是1或

【分析】（1）根据非负数的性质来求a、c的值；
（2）需要分类讨论：点A、B在点O的同侧和在点O的异侧两种情况，等量关系是：OA=OB．
（1）
解：∵，
∴a+4=0，c-1=0，
解得；
（2）
当点A、B在点O的同侧时，4-2t=3-t，
解得t=1；
当点A、B在点O的异侧时，2t-4=3-t，
解得，
综上所述，在运动过程中，点A，B到原点O的距离相等时，求t的值是1或．
【点睛】本题考查了两点间的距离、数轴以及一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．
26．(1)①4a；②（6a﹣48）；③小明家这两个月共应交212元水费；
(2)小明家七月份用水22立方米，八月份用水28立方米．

【分析】（1）①根据分段计费的收费标准，可用含a的代数式表示出当a不超过24立方米时应收水费；
②根据分段计费的收费标准，可用含a的代数式表示出当当a超过24立方米时的应收水费；
③将a的值代入①②中的代数式中求值即可；
（3）设七月份用水m立方米（0＜m≤24），则八月份用水（50﹣m）立方米，由（1）的结论结合小明家七、八月份共交水费208元，即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论．
【详解】（1）解：①当a不超过24立方米时，应收水费为4a元；
②当a超过24立方米时，应收水费为：24×4+6（a﹣24）＝6a﹣48元；
故答案为①4a；②（6a﹣48）；
③当a＝20时，4a＝80；
当a＝30时，6a﹣48＝132．
∴80+132＝212（元）．
答：小明家这两个月共应交212元水费；
（2）解：设小明家七月份用水m立方米（0＜m≤24），则八月份用水（50﹣m）立方米，
依题意，得：4m+6×（50﹣m）﹣48＝208，
解得：m＝22，
∴50﹣m＝28．
答：小明家七月份用水22立方米，八月份用水28立方米．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用、列代数式、代数式求值以及有理数的混合运算，理解题意，准确列出方程代数式是解题关键．