苏科版八年级上册3.1 勾股定理课后练习题

这是一份苏科版八年级上册3.1 勾股定理课后练习题，共25页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．如图，有一个圆柱，底面圆的直径AB＝，高BC＝12cm，P为BC的中点，一只蚂蚁从点出发沿着圆柱的表面爬到点的最短距离为

A．9cmB．10cmC．11cmD．12cm
2．如图是一个长、宽、高分别为4cm，3cm，5cm的长方体，一只蚂蚁从顶点A出发，沿长方体的表面爬行至点B，爬行的最短路程是（ ）cm
A．B．C．D．12
3．如图长方体木箱的长、宽、高分别为12m，4m，3m，则能放进木箱中的木棒最长为（ ）

A．19mB．24mC．13mD．15m
4．如图所示，一圆柱高8cm，底面半径2cm，一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食，要爬行的最短路程（取3）是（ ）
A．B．C．D．无法确定
5．如图，台阶阶梯每一层高20cm，宽30cm，长50cm，一只蚂蚁从A点爬到B点，最短路程是（ ）
A．10B．50C．120D．130
6．如图，是一段楼梯，高BC是1.5m，斜边AC是2.5m，如果在楼梯上铺地毯，那么至少需要地毯（ ）
A．2.5mB．3mC．3.5mD．4m
7．某校“光学节”的纪念品是一个底面为等边三角形的三棱镜（如图）．在三棱镜的侧面上，从顶点A到顶点A′镶有一圈金属丝，已知此三棱镜的高为9cm，底面边长为4cm，则这圈金属丝的长度至少为（ ）
A．8cmB．10cmC．12cmD．15cm
8．如图，牧童在处放牛，牧童家在处，、处距河岸的距离、的长分别为500m和700m，且，两点的距离为500m，天黑前牧童从处将牛牵到河边饮水再回家，那么牧童最少要走的距离为（ ）
A．1000mB．1200mC．1300mD．1700m
9．如图，边长为2的正方体中，一只蚂蚁从A顶点出发沿着正方体的外表面爬到B顶点的最短路程是（ ）
A．6B．C．4D．2+2
10．中，，，，，为的中点，直线经过点，过作于，过作于．则的最大值为（ ）
A．2B．C．D．4
11．如图，一只蚂蚁要从圆柱体下底面的点，沿圆柱侧面爬到与相对的上底面的点，圆柱底面直径为4，母线为6，则蚂蚁爬行的最短路线长为（ ）
A．B．
C．D．10
12．如图是一个供滑板爱好者使用的U型池，该U型池可以看作是一个长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行的部分的截面是半径为的半圆，其边缘．小明要在AB上选取一点E，能够使他从点D滑到点E再滑到点C的滑行距离最短，则他滑行的最短距离约为（ ）m．（取3）
A．30B．28C．25D．22
13．如图，在等腰直角中，，点在边上且，点，分别为边，上的动点，连接，，得到，则周长的最小值为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
14．如图，是一个长，宽，高的仓库，在其内的点处有一只壁虎，处有一只蚊子，已知，，则壁虎沿仓库内爬到蚊子处的最短距离为________．
15．如图所示，有一个高18cm，底面周长为24cm的圆柱形玻璃容器，在外侧距下底1cm的点处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距开口处1cm的点处有一只苍蝇，则急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛所走的最短路径的长度是______．
16．如图，一个牧童在小河的南4km的A处牧马，而他正位于他的小屋B的西8km北7km处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家，他要完成这件事情所走的最短路径是_______km．
17．如图，小彬到雁江区高洞产业示范村参观，看到一个贴有大红“年”字的圆柱状粮仓非常漂亮，回家后小彬制作了一个底面周长为10cm，高为5cm的圆柱粮仓模型．如图BC是底面直径，AB是高．现要在此模型的侧面贴一圈彩色装饰带，使装饰带经过A，C两点（接头不计），则装饰带的长度最短为___cm．
18．如图，若圆柱的底面周长是30cm，高是120cm，从圆柱底部A处沿侧面缠绕几圈丝线到顶部B处做装饰，则按图中此方式缠绕的这条丝线的最小长度是_____________cm．
19．如图，在长方形中，，．点、点分别在、上，且，点是边上的动点，点是边上的动点．则的是小值是___________________．
20．如图，在圆柱的截面ABCD中，AB＝，BC＝12，动点P从A点出发，沿着圆柱的侧面移动到BC的中点S的最短距离为_____．
21．如图，长方体的长为3cm，宽为2cm，高为1cm的长方体，蚂蚁沿着表面从A爬行到B的最短路程是_____．
22．如图，四边形ABCD，∠BAD＝60°，∠ADC＝150°，且BD⊥DC，已知AC的最大值是3，则BC＝___．
23．如图，在中，是边上的高，垂足为，已知上方有一动点，且点到两点的距离相等，则的周长最小值为_________________．
24．如图，长方体的底面是边长为的正方形，高为．如果从点开始经过4个侧面缠绕2圈到达点，则所用细线最短要______．
三、解答题
25．如图是一个二级台阶，每一级台阶的长、宽、高分别为60cm、30cm、10cm．A和B是这个台阶两个相对的端点，在A点有一只蚂蚁，想到B点去觅食，那么它爬行的最短路程是多少？
26．如图，一个长方体形的木柜放在墙角处（与墙面和地面均没有缝隙），有一只蚂蚁从柜角A处沿着木柜表面爬到柜角C1处．小明认为蚂蚁能够最快到达目的地的路径AC1，小王认为蚂蚁能够最快到达目的地的路径AC1′．已知AB=4，BC=4，CC1=5时，请你帮忙他们求出蚂蚁爬过的最短路径长．
27．（1）如图1，长方体的长为，宽为，高为．现有一只蚂蚁从点A处沿长方体的表面爬到点G处，求它爬行的最短路程．
（2）如图2，若将题中的长方体换成透明圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为，底面周长为，在容器内壁离底部的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁且离容器上沿的点A处．求蚂蚁吃到饭粒需要爬行的最短路程是多少？
28．如图所示，牧童在A处放牛，其家在B处，A，B处到河岸的距离分别为AC＝400m，BD＝200m，且CD＝800m，牧童从A处把牛牵到河边饮水后再回家．试问在何处饮水，所走路程最短？最短路程是多少？
参考答案
1．B
【分析】把圆柱的侧面展开，连接，利用勾股定理即可得出的长，即蚂蚁从点爬到点的最短距离．
解：如图：展开后线段的长度是圆柱中半圆的周长，
圆柱底面直径、高，为的中点，
，
在中，，
蚂蚁从点爬到点的最短距离为，
故选：．
【点拨】本题考查的是平面展开最短路径问题，根据题意画出圆柱的侧面展开图，利用勾股定理求解是解答此题的关键．
2．B
【分析】把此长方体的一面展开，在平面内，两点之间线段最短．利用勾股定理求点A和B点间的线段长，即可得到蚂蚁爬行的最短距离．在直角三角形中，一条直角边长等于长方体的高，另一条直角边长等于长方体的长宽之和，利用勾股定理可求得．
解：因为平面展开图不唯一，
故分情况分别计算，进行大小比较，再从各个路线中确定最短的路线．
（1）展开前面、右面得到长方形的两边为3+4=7cm和5cm，由勾股定理得AB2=（3+4）2+52=74；
（2）展开前面、上面得到长方形的两边为5+3=8cm和4cm，由勾股定理得AB2=（3+5）2+42=80；
（3）展开左面、上面得到长方形的两边为5+4=9cm和3cm，由勾股定理得AB2=（4+5）2+32=90；
所以最短路径长为cm，
故选B．
【点拨】此题是平面展开图--最短路径问题，主要考查了勾股定理的应用．“化曲面为平面”是解决“怎样爬行最近”这类问题的关键．
3．C
【分析】连接AC，AG，由题意可知∠ACG=∠ABC=90°，利用勾股定理求解即可．
解：如图所示，连接AC，AG，
由长方体的性质可以知∠ACG=∠ABC=90°，
∴( m)，
∴( m),
∴能放进木箱中的木棒最长为13m，
故选C．
【点拨】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键在于能够熟练掌握勾股定理．
4．B
【分析】先将图形展开，根据两点之间，线段最短，利用根据勾股定理即可得出结论．
解：如图所示：沿AC将圆柱的侧面展开，
∵底面半径为2cm，
∴BC＝＝2π≈6cm，
在Rt△ABC中，
∵AC＝8cm，BC＝6cm，
∴AB＝＝10cm．
故选：B．
【点拨】本题考查的是平面展开−最短路径问题，熟知两点之间，线段最短是解答此类问题的关键．
5．B
【分析】先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答．
解：如图所示，
∵它的每一级的长宽高为20cm，宽30cm，长50cm，
∴AB＝（cm）．
答：蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最短路程是50cm，
故选：B．
【点拨】本题主要考查了勾股定理的应用，准确计算是解题的关键．
6．C
【分析】当地毯铺满楼梯时其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，根据勾股定理求得AB，然后求得地毯的长度即可．
解：由勾股定理得： AB=，
因为地毯铺满楼梯是其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，
所以地毯的长度至少是1.5+2=3.5（m）．
故选C．
【点拨】本题考查了图形平移性质和勾股定理，解决本题的关键是要熟练掌握勾股定理.
7．D
【分析】画出三棱柱的侧面展开图，利用勾股定理求解即可．
解：将三棱柱沿展开，其展开图如图，
则．
故选：．
【点拨】本题考查的是平面展开最短路径问题，此类问题应先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径，也考查了勾股定理的应用．
8．C
【分析】本题可以把两线段的和最小的问题转化为两点之间线段最短的问题解决．转化的方法是作A关于CD的对称点，求解对称点与B之间的距离即可．
解：解：作A关于CD的对称点E，连接BE，并作BF⊥AC于点F．
则EF=BD+AC=500+700=1200m，BF=CD=500m．
在Rt△BEF中，根据勾股定理得：BE==1300（m）．
故选：C．
【点拨】此题考查了轴对称--最短路径问题在生活中的应用，要将轴对称的性质和勾股定理灵活应用，体现了数学在解决简单生活问题时的作用．
9．B
【分析】要求正方体中两点之间的最短路径，就是将正方体展开，然后利用两点之间线段最短解答．
解：如图将正方体展开，根据“两点之间，线段最短”知，线段AB即为最短路线．
AB＝＝．
故选：B．
【点拨】本题考查了最短路径问题及勾股定理的应用，解题的关键是将几何体展开，根据两点之间线段最短，利用勾股定理进行求解．
10．B
【分析】把要求的最大值的两条线段经过平移后形成一条线段，然后再根据垂线段最短来进行计算即可．
解：如图，过点C作CK⊥l于点K，过点A作AH⊥BC于点H，
在Rt△AHB中，
∵∠ABC=60°，AB=2，
∴BH=1，AH=，
∵点D为BC中点，
∴BD=CD，
在△BFD与△CKD中，
，
∴△BFD≌△CKD（AAS），
∴BF=CK，
延长AE，过点C作CN⊥AE于点N，
可得AE+BF=AE+CK=AE+EN=AN，
在Rt△ACN中，AN＜AC，
当直线l⊥AC时，最大值为，
综上所述，AE+BF的最大值为，
故选：B．
【点拨】本题主要考查了全等三角形的判定定理和性质定理及勾股定理，垂线段最短，构建全等三角形是解答此题的关键．
11．B
【分析】要求最短路线，首先要把圆柱的侧面展开，利用两点之间线段最短，再利用勾股定理来求．
解：把圆柱侧面展开，展开图如图所示，点A，B的最短距离为线段AB的长，
BC＝6，AC为底面半圆弧长，AC＝2π，
所以AB＝．
故选：B．
【点拨】此题主要考查了平面展开图的最短路径问题，本题的关键是要明确，要求两点间的最短线段，就要把这两点放到一个平面内，即把圆柱的侧面展开再计算．
12．C
【分析】根据题意画出侧面展开图，作点C关于AB的对称点F，连接DF，根据半圆的周长求得，根据对称求得，在Rt△CDF中，勾股定理求得．
解：其侧面展开图如图：作点C关于AB的对称点F，连接DF，
∵中间可供滑行的部分的截面是半径为2.5cm的半圆，
∴BC=πR=2.5π=7.5cm，AB=CD=20cm，
∴CF=2BC=15cm，
在Rt△CDF中，DF=cm，
故他滑行的最短距离约为cm．
故选C．
【点拨】本题考查了勾股定理最短路径问题，作出侧面展开图是解题的关键．
13．A
【分析】作作点关于的对称点，连接，，，，，当，，，在同一条直线上时，的周长最小，再由勾股定理求出即可．
解：如图，作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接，，，，，
，点与点关于对称，
，
，，，在同一条直线上，
∵在等腰直角中，，
∴，
∵，，
∴由对称性可知：，，，，，
，，
，
，
的周长的最小值．
故选：．
【点拨】本题考查了等腰直角三角形的性质，轴对称的性质以及勾股定理的应用等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题．
14．10
【分析】把立体图形转化为平面图形，分三种情况讨论，利用勾股定理解决问题即可．
解：等效为一个长，宽，高的长方体的相对顶点，展开变成平面图，可得
此时AB=m，
此时AB=m，
此时AB=m，
∴壁虎沿仓库内爬到蚊子处的最短距离为10m．
故答案是：10．
【点拨】本题考查勾股定理的应用，本题的关键是将长方体展开，用勾股定理求出壁虎所走的最短距离．
15．20cm
【分析】展开后连接，求出的长就是捕获苍蝇充饥的蜘蛛所走的最短路径，过作于，求出、，根据勾股定理求出即可．
解：如图展开后连接，求出的长就是捕获苍蝇充饥的蜘蛛所走的最短路径，
过作于，
则，
，
在中，由勾股定理得：cm，
答：捕获苍蝇充饥的蜘蛛所走的最短路径的长度是20cm，
故答案为：20cm．
【点拨】本题考查了勾股定理、平面展开最短路线问题，解题的关键是构造直角三角形．
16．17
【分析】如图（见详解），将小河看成直线MN，由题意先作A关于MN的对称点，连接A`B，构建直角三角形，则A`B就是最短路线；在Rt△A`DB中，∠A`DB=90°，BD=8km，A`D=AD+A`A，利用勾股定理即可求出A`B．
解：如图，做出点A关于小河MN的对称点A`，连接A`B交MN于点P，则A`B就是牧童要完成这件事情所走的最短路程长度．
在Rt△A`DB中，由勾股定理求得．
则他要完成这件事情所走的最短路程是17km．
【点拨】本题考查了轴对称—最短路线问题，掌握轴对称的性质和勾股定理是解题的关键．
17．
【分析】根据题意，作出圆柱的侧面展开图，进而根据两点之间线段最短，可得最短距离，根据勾股定理求得最短距离即可．
解：如图，圆柱的侧面展开图为长方形，，且点为的中点，
,，
，
即装饰带的长度最短为．
故答案为：．
【点拨】本题考查了圆柱的侧面展开图，两点之间线段最短，勾股定理，作出侧面展开图利用勾股定理求解是解题的关键．
18．150
【分析】将圆柱体重复展开，形成平面图形，然后结合勾股定理求解即可．
解：要使得所用丝线最短，则展开如图所示：
由题意，AC=30×3=90cm，BC=120cm，∠ACB=90°，
∴，
故答案为：150．
【点拨】本题考查勾股定理的实际应用，理解并掌握将立体图形展开为平面图形，熟练运用勾股定理是解题关键．
19．41
【分析】作点E关于CD的对称点E'，点F关于AB的对称点F'，得到BG+HG+HF的最小值即为E'F'的长，利用勾股定理即可求解．
解：作点E关于CD的对称点E'，点F关于AB的对称点F'，
则EG= E'G，HF=HF'，
∴EG+HG+HF=E'G+HG+HF'，
连接E'F'，交AB、CD于H、G点，BG+HG+HF的最小值即为E'F'的长，
过点E'作E'H⊥BC，交BC的延长线于H，
则F'H=14+2×13=40，E'H =9，
在Bt△FH中，由勾股定理得E'F'=41，
∴BG+G+HF的最小值为：41，
故答案为：41．
【点拨】本题主要考查了勾股定理，轴对称一最短路线问题，通过作对称点，将BG+HG+HF的最小值转化为E'F'的长是解题的关键．
20．10
【分析】先把圆柱的侧面展开，连接AS，利用勾股定理即可得出AS的长．
解：如图所示，将其展开，
∵在圆柱的截面ABCD中：，，
∴，，
将其展开可得如下的矩形，
在中，
∴．
故答案为：10．
【点拨】题目主要考查弧长公式、勾股定理及其在圆柱展开展开中的应用，能想到将圆柱展开应用勾股定理是解题关键．
21．
【分析】将长方体从不同侧面展开，分别利用从不同的表面得出其路径长，进而得出答案．
解：如图1，
AB= （cm），
如图2，
AB= （cm），
如图3，
AB= （cm），
故沿长方体的表面爬到对面顶点B处，只有图2最短， 其最短路线长为： cm．
故答案为：.
【点拨】本题主要考查了平面展开图最短路径问题，解决本题的关键要将长方体分情况正确展开并利用勾股定理计算．
22．3﹣3
【分析】先取BC的中点F，以BC为边在△BCD另一侧作等边三角形△BCG，连接DG，DF，FG，证△ABC≌△DBG（SAS），再根据三角形三边关系及“两点之间线段最短”得：当DF、FG在同一条直线上时，DG取最大值3，即DG＝DF+FG＝3，最后再根据直角三角形、等边三角形性质和勾股定理寻找DF、BF、CF、BC、BG、FG之间的关系，用代数方法列方程x+ x＝3，并求解，进而得BC值为3﹣3．
解：如图，取BC的中点F，以BC为边在△BCD另一侧作等边三角形△BCG，连接DG，DF，FG，
∵∠ADC＝150°，且BD⊥DC，
∴∠ADB＝150°﹣90°＝60°，
∵∠BAD＝60°，
∴∠ADB＝∠BAD＝60°，
∴△ABD是等边三角形，而△BCG也是等边三角形，
∴AB＝DB，BC＝BG，∠ABD＝∠CBG＝60°，
∴∠ABD+∠DBC＝∠CBG+∠DBC，即∠ABC＝∠DBG，
在△ABC和△DBG中，
，
∴△ABC≌△DBG（SAS），
∴AC＝DG，
∵AC的最大值是3，
∴DG的最大值也是3，
在△DGF中，DG≤DF+FG，
∴当DF、FG在同一条直线上时，DG取最大值3，即DG＝DF+FG＝3，
∵BD⊥DC，BC的中点F，
∴DF＝BF＝CF＝BC，
∵等边三角形△BCG，BC的中点F，
∴GF⊥BC，∠BGF＝∠CGF＝∠BGC＝30°，
∴BF＝CF＝BG＝BC，
∴设DF＝BF＝CF＝x，则BC＝BG＝2x，
∴FG＝，
∴DF+FG＝x+x＝3，
解得：x＝，
∴BC＝2x＝2×＝3﹣3，
故答案为3﹣3．
【点拨】本题是三角形综合题，考查了等边三角形判定和性质，三角形三边关系，全等三角形判定和性质，勾股定理等知识，解题关键是巧妙添加辅助线构造全等三角形．
23．
【分析】取AD的中点H，作HF//BC，作B关于HF的对称点E，连接CE与直线FH交于P，点P即为所求，然后根据勾股定理求解即可．
解：∵P到AD两点的距离相同，
∴P在线段AD的垂直平分线上，
取AD的中点H，作HF//BC，作B关于HF的对称点E，连接CE与直线FH交于P，点P即为所求
∴∠BFH=90°，BF=EF，EP=BP
∵要使△BCP的周长最小，
∴BP+CP最小，即为CE长，
又∵EF//BC，∠ADC=90°
∴∠FHD=∠HDB=90°
∴四边形BDHF是矩形，
∴BF=DH=EF=，∠FBD=90°，
∴
∵，
∴，
△BCP的周长最小值=
故答案为：．
【点拨】本题主要考查了垂直平分线的性质，勾股定理，折叠的性质，平行四边形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
24．
【分析】如果从点开始经过4个侧面缠绕2圈到达点，相当于直角三角形的两条直角边分别是和，再根据勾股定理求出斜边长即可．
解：将长方体的侧面沿展开，取的中点，取的中点，连接，，则为所求的最短细线长，
，，
，
，
，
所用细线最短长度是．
故答案为：．
【点拨】本题考查了平面展开—最短路线问题和勾股定理的应用，能正确画出图形是解此题的关键，用了数形结合思想．
25．100cm
【分析】根据题意画出台阶的侧面展开图，根据勾股定理求出AB的长即可得出结论．
解：如图所示，
AB=（cm）．
答：它沿着台阶面从点A爬到点B的最短路程是100cm．
【点拨】本题考查的是平面展开-最短路径问题，根据题意画出圆柱的侧面展开图，利用勾股定理求解是解答此题的关键．
26．最短路径长是．
【分析】根据题意，先将长方体展开，再根据两点之间线段最短．
解：蚂蚁沿着木柜表面经线段BB1到C1'，爬过的路径的长是
AC1′；
蚂蚁沿着木柜表面经线段A1B1到C1，爬过的路径的长是
AC1．
因为：AC1′＞AC1，
所以最短路径长是．
【点拨】本题考查了平面展开-最短路径问题，本题是一道趣味题，将长方体展开，根据两点之间线段最短，运用勾股定理解答即可．
27．（1）cm；（2）13cm
【分析】（1）将长方体展开，利用勾股定理解答即可；
（2）将容器侧面展开，建立A关于EF的对称点A′，根据两点之间线段最短可知A′B的长度即为所求．
解：（1）分三种情况：
把我们所看到的前面和上面组成一个平面，
则这个长方形的长和宽分别是15cm和4cm，
则所走的路线是=cm；
第二种情况：把我们看到的左面与上面组成一个长方形，
则这个长方形的长和宽分别是16cm和3cm，
所以走的路线是=cm，
第三种情况：把我们所看到的前面和右面组成一个长方形，
则这个长方形的长和宽分别是12cm和7cm，
所以走的路线是=cm，
所以最短路程为cm；
（2）∵高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离容器底部3cm的点B处有一饭粒，
此时蚂蚁正好在容器外壁，离容器上沿3cm与饭粒相对的点A处，
∴A′D=5cm，BD=12-3+ A′E=12cm，
∴将容器侧面展开，作A关于EF的对称点A′，
连接A′B，则A′B即为最短距离，
A′B==13（cm）．
．
【点拨】本题考查了平面展开—最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．同时也考查了同学们的创造性思维能力．
28．见解析
解：如图所示，作点A关于直线CD的对称点G，连接GB交CD于点E，由“两点之间线段最短”可以知道在E处饮水后再回家，所走路程最短．说明如下：
在直线CD上任意取一异于点E的点I，连接AI，AE，BI，GI．
∵点G，A关于直线CD对称，∴AI＝GI，AE＝GE．
∴AI＋BI＝GI＋BI，AE＋BE＝GE＋BE＝GB．
由“两点之间线段最短”或“三角形两边之和大于第三边”可得GI＋BI＞GB＝AE＋BE，于是得证．
最短路程为GB的长，过点G作BD的垂线，与BD的延长线交于点H．
在Rt△GHB中，
∵GH＝CD＝800m，BH＝BD＋DH＝BD＋GC＝BD＋AC＝200＋400＝600(m)，
∴由勾股定理得GB2＝GH2＋BH2＝8002＋6002＝1000000．
∴GB＝1000m，即最短路程为1000m．