人教A版 (2019)必修 第一册1.2 集合间的基本关系导学案

这是一份人教A版 (2019)必修 第一册1.2 集合间的基本关系导学案，共12页。学案主要包含了知识点框架，例题练习，课后巩固，课外拓展等内容，欢迎下载使用。

教学目标
理解子集、真子集、集合相等、空集的概念；能用符号和Venn图表达集合间的关系；掌握列举有限集的所有子集的方法
【知识点框架】
一、子集
(1)理解子集的三种语言
①文字语言：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中 都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集.
②符号语言:若,则(或).
③图形语言(Venn图)(如图所示).
A B
(2)子集的性质
①.
②若,,则A C,即子集具有传递性.
③，即空集是任何集合的子集.
二、集合相等
(1)若A B,且B A,则A=B.
(2)证明A=B,只要证A⊆B,且 .
三、真子集
(1)如果集合 A⊆B,但存在元素x B,且x A，就称集合A是集合B的真子集，记作A⫋B(或 B A).
(2)性质:若A⫋B,B⫋C,则A C.
四、空集
一般地，把不含任何元素的集合叫做空集，记为.如{xR|x²-x+1=0}=,{xN|x+2=0}
=.
空集是_集合的真子集，即⫋A(A非空).
思考：
“⊆”与“≤”一样吗?
2.若A⊆B，则A的元素一定是B的元素的一部分，对吗?
3.集合A={x|x≤1}与集合 B={1,0}之间有包含关系吗?
4.(1)0=吗? (2)0∈吗? (3)与{0}是什么关系?
【例题练习】
题型一：子集与真子集的概念
例1.填写下表，并回答问题.
原集合
子集
子集的个数
{a}
{a. b}
{a,b,c}
由此猜想，含n个元素的集合的所有子集的个数是多少？真子集的个数及非空真子集的个数呢?
总结：熟练写出给定集合的子集是学生必须掌握的基本功.
练习：
1.已知集合M满足{1,2}⊆M⊆{1,2,3,4,5},写出集合M.
例2.判断下列关系是否正确.
(1){1,2}⫋{1,2,3}； (2){1,2,3}⊆{1,2,4}；
(3){a}⊆{a}； (4)={0}；
(5)⫋{0}； (6)⊆.
总结：
要注意区分“与⊆”“⊆与⫋”.“”表示元素与集合之间的从属关系，而“⊆”表示集合之间的包含关系.“⊆”与“⫋”均表示集合间的包含关系，但后者是前者“≠”情形时的包含情况。
练习：
1.设，给出下列关系：①；②；③；④；⑤.其中正确的关系式有 .
题型二：集合关系的判断
例3.指出下列各对集合之间的关系.
(1)A={-1,1},B={(-1,-1),(-1,1),(1,-1),(1,1)};
(2)A={x|-1(3)A={x|x是等边三角形},B={x|x是等腰三角形}；
(4)M={x|x=2n-1,n∈N*},N={x|x=2n+1,n∈N*}.
总结：判断集合间关系的常用方法：
列举观察法：列出集合中的全部元素，通过定义得出集合之间的关系
集合元素特征法：首先确定集合的代表元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判断关系
数形结合法：利用数轴或Venn图.不等式的解集之间的关系适合用数轴法
练习：
1.判断下列各组中集合之间的关系.
(1)A={x|x²-3x+2=0}，B={0,1,2};
(2)A={x|x是12的约数}，B={x|x是36的约数}；
(3)A={x|x 是平行四边形}，B={x|x是菱形}，C={x|x是四边形}，D={x|x是正方形};
(4)A=，B=.
题型三：由集合的包含关系求参数范围
例4.已知集合A={x|-3≤x≤4},B={x|1＜x＜m}(m＞1),且B⊆A,则实数m的取值范围是 .
总结：由集合间的包含关系求参数范围的方法：
(1)当集合为不连续数集时，常根据集合包含关系的意义，建立方程求解，此时应注意分类讨论.
(2)当集合为连续数集时，常借助数轴来建立不等关系求解，应注意端点处是实心点还是空心圆.
注意：①不能忽略集合为的情形.
②当集合中含有字母参数时，一般需要分类讨论。

练习：
(1)本例若将集合“B={x|1＜x＜m}(m＞1)”改为“B={x|1＜x＜m}”,其他条件不变，则实数m 的取值范围又是什么?

(2)本例若将集合“B={x|1＜x＜m}(m＞1)”改为“B={x|2m-1＜x＜m+1}”,其他条件不变，则实数 m 的取值范围又是什么?
例5.若集合A={x|x²+x-6=0},B={x|mx+1=0},且B⊆A.求由m的取值组成的集合.
总结：(1)解决集合问题时，若遇到“B⊆A，B⫋A(A 为非空集合)”这些条件时，要首先考虑B=这种情况.
(2)在解决有关分类讨论的问题时，根据实际问题分类要恰当、合理，做到不重复、不遗漏，克服分类讨论问题中的主观性和盲目性.
练习：
1.在本例中，若B⫋A，其他条件不变，求由m的取值组成的集合.
【课后巩固】
1.下列命题中正确的是( )
A.空集没有子集
B.空集是任何一个集合的真子集
C.任何一个集合必有两个或两个以上的子集
D.设集合 B⊆A,那么,若xA,则xB
2.已知集合 P={-1,0,1,2},Q={-1,0,1},则( )
A. P∈Q B. P⊆Q C. Q⊆P D. Q∈P
3.已知集合A={x|-1A. B⫋A B. A⫋B C. B4.设,则满足条件的所有x组成的集合的真子集的个数为( )
A.3 B.4 C.7 D.8
5.图中反映的是“文学作品”“散文”“小说”“叙事散文”这四个文学概念之间的关系，请在下面的空格上填入适当的内容：
A为 ；B为 ； A D C
C为 ；D为 . B
6.已知集合A={1,3,x²},B={1,x+2},是否存在实数x，使得集合B是A的子集? 若存在，求出A，B；若不存在，说明理由.
【课外拓展】
集合相等
例题：
(1)已知A={x|x=3k+1,k∈Z},B={x|x=3n-2,n∈Z},则 A 与B 的关系为 .
(2)集合 X={x|x=2n+1,n∈Z},Y={y|y=4k±1,k∈Z},则X 与Y的关系是 .
【解析】
(1)①任取x1∈A，则x1=3k1+1=3(k1+1)-2，k1∈Z，则k1+1∈Z,
∴x1∈B，故 A⊆B.
②任取x2∈B，则x2=3n2-2，n2∈Z.
∵3n2-2=3(n2-1)+1，n2-1∈Z,
∴x2∈A，∴B⊆A.由①②可知 A=B.
(2)同上
【答案】 (1)A=B (2)X=Y
探究：代表元素的几种等价表示方法(n∈Z)
①“2n-1”等价于“2n+1”.
②“2n—1”等价于“4n±1”.
③“3n+1”等价于“3n—2”.
④“4n+3”等价于“4n—1”.