指数与指数函数 高中数学人教A版（2019）必修第一册 试卷

这是一份指数与指数函数 高中数学人教A版（2019）必修第一册，共7页。

指数与指数函数一、单项选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)1．函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)的图象经过点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(1,27)))，则f(－2)等于(　　)A.eq \f(1,9) B.eq \f(\r(3),3) C.eq \f(1,3) D．92．函数y＝|2x－2|的图象大致为(　　)3．已知a＝20.2，b＝0.40.2，c＝0.40.6，则a，b，c的大小关系是(　　)A．a>b>c B．a>c>b C．c>a>b D．b>c>a4．函数f(x)＝，x∈[－1,2]的值域是(　　)A．(－∞，8] B.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，8)) C.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞)) D．(0,8]5．已知函数f(x)＝x＋eq \f(4,x)，g(x)＝2x＋a，若∃x1∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))，∃x2∈[2,3]，使得f(x1)≤g(x2)，则实数a的取值范围是(　　)A.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞)) B.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,2)，＋∞)) C．[－3，＋∞) D．[1，＋∞)6．已知函数f(x)＝3x－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x＋2，若f(a2)＋f(a－2)>4，则实数a的取值范围是(　　)A．(－∞，1) B．(－∞，－2)∪(1，＋∞)C．(－2,1) D．(－1,2)二、多项选择题(本大题共2小题，每小题5分，共10分，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)7．下列根式与分数指数幂的互化正确的是(　　)A.eq \r(6,y2)＝y3(y>0) B．＝eq \r(4,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))3)(x>0)C．＝－eq \r(3,x)(x≠0) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(3,x2)))＝(x>0)8．已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(－2－x＋a，x<0，,2x－a，x>0，))a∈R，下列结论正确的是(　　)A．f(x)是奇函数B．若f(x)在定义域上是增函数，则a<1C．若f(x)的值域为R，则a>1D．当a≤1时，若f(x)＋f(3x＋4)>0，则x∈(0，＋∞)三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)9．方程24x＋1－17×4x＋8＝0，则x＝________.10．不等式<eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))3(x－1)的解集为________．11．函数y＝eq \f(3x,3x＋1)的值域是________．12．若函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x，x≤0，,－x2＋2x＋1，x>0，))当x∈(a,2)时，f(x)有最大值，则实数a的最小值为______．四 、解答题(本大题共3小题，共40分)13．(13分)对下列式子化简求值．(1)eq \f(1,2)×(eq \r(2)×eq \r(3,3))6－4×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,27)))＋2 0230；(2)已知＝2(a>0且a≠1)，求eq \f(a2x＋a－2x,ax＋a－x)的值．14．(13分)已知函数f(x)＝a·2x－eq \f(1,2x)为奇函数．(1)求实数a的值；(2)判断并证明f(x)在R上的单调性．15．(14分)已知函数f(x)＝a2x－2ax－1，其中a>0且a≠1.(1)若a＝2，求f(x)的最小值；(2)若f(x)在区间[0,1]上的最大值为2，求a的值．答案精析1．D　[由a3＝eq \f(1,27)，解得a＝eq \f(1,3)，所以f(－2)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))－2＝9.]2．B　[∵y＝|2x－2|＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2x－2，x≥1，,2－2x，x<1，))∴当x＝1时，y＝0；当x≠1时，y>0.]3．A　[因为函数y＝0.4x为减函数，所以1＝0.40>0.40.2>0.40.6，又因为a＝20.2>20＝1，所以a>b>c.]4．B　[令g(x)＝x2－2x，x∈[－1,2]，则g(x)min＝g(1)＝－1，g(x)max＝g(－1)＝3，所以g(x)∈[－1,3]，又y＝2x在R上单调递增，所以2－1≤f(x)≤23，即eq \f(1,2)≤f(x)≤8.]5．C　[若∃x1∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))，∃x2∈[2,3]，使得f(x1)≤g(x2)，故只需f(x)min≤g(x)max，其中f(x)＝x＋eq \f(4,x)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))上单调递减，故f(x)min＝f(1)＝1＋4＝5，g(x)＝2x＋a在[2,3]上单调递增，故g(x)max＝g(3)＝8＋a，所以5≤8＋a，解得a≥－3，即实数a的取值范围是[－3，＋∞)．]6．B　[令g(x)＝f(x)－2＝3x－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x(x∈R)，则g(－x)＝3－x－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))－x＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x－3x＝－g(x)，所以g(x)是奇函数．又y＝3x，y＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x都是增函数，所以g(x)在R上单调递增. 所以f(a2)＋f(a－2)>4可化为g(a2)＋g(a－2)>0，故g(a2)>g(2－a)，所以a2＋a－2>0，解得a<－2或a>1.]7．BD　[eq \r(6,y2)＝，故A选项错误；＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))＝eq \r(4,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))3)(x>0)，故B选项正确；＝eq \r(3,\f(1,x))(x≠0)，故C选项错误；eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(3,x2)))＝＝(x>0)，故D选项正确．]8．AC　[当x<0时，－x>0，f(－x)＝2－x－a＝－(－2－x＋a)＝－f(x)；当x>0时，－x<0，f(－x)＝－2x＋a＝－(2x－a)＝－f(x)，所以函数f(x)为奇函数，故A正确；若f(x)在定义域上是增函数，则－2－0＋a≤20－a，即a≤1，故B不正确；当x<0时，f(x)＝－2－x＋a在区间(－∞，0)上单调递增，此时值域为(－∞，a－1)，当x>0时，f(x)＝2x－a在区间(0，＋∞)上单调递增，此时值域为(1－a，＋∞)．要使f(x)的值域为R，则a－1>1－a，即a>1，故C正确；当a≤1时，函数f(x)在定义域上是增函数，由f(x)＋f(3x＋4)>0，得f(x)>f(－3x－4)，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x≠0，,－3x－4≠0，,x>－3x－4，))解得x∈(－1,0)∪(0，＋∞)，故D不正确．]9．－eq \f(1,2)或eq \f(3,2)解析　∵2×(4x)2－17×4x＋8＝0，∴4x＝eq \f(1,2)或8，解得x＝－eq \f(1,2)或eq \f(3,2).10．(－3,2)解析　因为函数y＝2x在R上单调递增，又<eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))3(x－1)，所以x2－2x－3<－3(x－1)，即x2＋x－6<0，解得－30，则f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)0.则f(t)＝t2－2t－1＝(t－1)2－2，当t＝1，即x＝0时，函数f(x)取得最小值，其最小值为－2.(2)令u＝ax，则f(u)＝u2－2u－1，①当01时，可知u＝ax在[0,1]上单调递增，所以1≤u≤a，又根据二次函数的性质可知，当1≤u≤a时，f(u)＝u2－2u－1单调递增，所以f(u)＝u2－2u－1在u＝a处取得最大值f(a)＝a2－2a－1，由已知可得，a2－2a－1＝2，解得a＝3或a＝－1(舍去)，所以a的值为3.综上所述，a的值为3.