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2023-2024学年浙江省杭州市西湖区保俶塔实验学校九年级（上）期中数学试卷（含解析）
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这是一份2023-2024学年浙江省杭州市西湖区保俶塔实验学校九年级（上）期中数学试卷（含解析），共1页。试卷主要包含了选择题等内容，欢迎下载使用。
1．已知⊙O的半径为5，点P在⊙O外，则OP的长可能是（ ）
A．3B．4C．5D．6
2．把图形绕O点顺时针旋转180度后，得到的图形是（ ）
A．B．C．D．
3．二次函数y＝（x﹣1）2﹣3的最小值是（ ）
A．2B．1C．﹣2D．﹣3
4．一只盒子中有红球m个，白球8个，黑球n个，每个球除颜色外都相同，从中任取一个球，取得白球的概率与不是白球的概率相同，那么m与n的关系是（ ）
A．m＝3，n＝5B．m＝n＝4C．m+n＝4D．m+n＝8
5．若二次函数y＝ax2（a≠0）的图象过点（﹣2，﹣3），则必在该图象上的点还有（ ）
A．（﹣3，﹣2）B．（2，3）C．（2，﹣3）D．（﹣2，3）
6．有一道题目：“在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，分别以B、C为圆心，以BC长为半径的两条弧相交于D点，求∠ABD的度数”．嘉嘉的求解结果是∠ABD＝10°．淇淇说：“嘉嘉考虑的不周全，∠ABD还应有另一个不同的值．”下列判断正确的是（ ）
A．淇淇说得对，且∠ABD的另一个值是130°
B．淇淇说的不对，∠ABD就得10°
C．嘉嘉求的结果不对，∠ABD应得20°
D．两人都不对，∠ABD应有3个不同值
7．若二次函数y＝x2﹣6x+c的图象经过A（0，y1），B（4，y2）三点，则y1，y2的大小关系正确的是（ ）
A．y1＞y2B．y1＝y2C．y2＞y1D．y1≥y2
8．如图，AB为⊙O的直径，C为AB上一点，AD∥OC，AD交⊙O于点D，连接AC，CD，设∠BOC＝x°，∠ACD＝y°，则下列结论成立的是（ ）
A．x+y＝90B．2x+y＝90C．2x+y＝180D．x＝y
9．二次函数y＝x2+2x+c的图象与x轴的两个交点为A（x1，0），B（x2，0），且x1＜x2，点P（m，n）是图象上一点，那么下列判断正确的是（ ）
A．当n＞0时，m＜x1B．当n＞0时，m＞x2
C．当n＜0时，m＜0D．当n＜0时，x1＜m＜x2
10．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，⊙P是△ABC的外接圆，连接PA．若AD＝3，BD＝1，BC＝5，则PA的长（ ）
A．2.5B．C．D．2.8
二.填空题：本大题有6个小题，每小题4分，共24分.
11．一个不透明的袋中有若干个除颜色外完全相同的小球，其中黄球有6个．将袋中的球摇匀后，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回袋中，通过大量重复摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在0.3左右，则袋中小球的个数为 ．
12．在二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）中，y与x的部分对应值如表：
则m，n的大小关系为m n．（填“＞”“＝”或“＜”）
13．如图，某博览会上有一圆形展示区，在其圆形边缘的点P处安装了一台监视器，它的监控角度是55°，为了监控整个展区，最少需要在圆形边缘上共安装这样的监视器 台．
14．如图，有长为24m的篱笆，一边利用墙（墙长不限），则围成的花圃ABCD的面积最大为 m2．
15．如图，在半径为3的⊙O中，AB是直径，AC是弦，D是的中点，AC与BD交于点E．若E是BD的中点，则AC的长是 ．
16．已知二次函数y＝ax2﹣bx（a≠0），经过点P（m，2）．当时，x的取值范围为x≤n﹣1或x≥﹣3﹣n．则此函数的对称轴是 ；m的值可以是 （写出一个即可）．
三.解答题：本大题有8个小题，共66分.解答应写文字说明、证明过程或演算步骤.
17．如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，△ABC的顶点均在格点上．
（1）将△DEF绕点E逆时针旋转90°得到△D1EF1，画出△D1EF1．
（2）若△DEF由△ABC绕着某点旋转得到的，则这点的坐标为 ．
18．已知抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于点A（﹣1，0）、B（3，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）过点D（0，）作x轴的平行线交抛物线于E、F两点，求EF的长．
19．一个不透明的布袋中装有3个只有颜色不同的球，其中1个黄球、2个红球．
（1）任意摸出1个球，记下颜色后不放回，再任意摸出1个球，求两次摸出的球恰好都是红球的概率（要求画树状图或列表）；
（2）现再将n个黄球放入布袋，搅匀后，使任意摸出1个球是黄球的概率为，求n的值．
20．如图，AB是⊙O的直径，点C，D是⊙O上的点，且OD∥BC，AC分别与BD，OD相交于点E，F．
（1）求证：点D为的中点；
（2）若DF＝4，AC＝16，求⊙O的直径．
21．如图，AB为⊙O的直径，D是弦AC延长线上一点，AC＝CD，DB的延长线交⊙O于点E，连接CE．
（1）求证∠A＝∠D；
（2）若的度数为108°，求∠E的度数．
22．已知二次函数y＝x2+bx+c（b，c是常数）过点A（2、0），B（3n﹣4，y1），C（5n+6，y2）三点．
（1）若点A为此二次函数的顶点，求函数y的表达式．
（2）已知n＜﹣5，
①若y1＝y2，求b+c的取值范围；
②若c＞0，试比较y1与y2的大小．
23．如图1，AB为⊙O的直径，CD⊥AB于点E，，BF与CD交于点G．
（1）求证：CD＝BF．
（2）若BE＝1，BF＝4，求GE的长．
（3）连结GO，OF，如图2，求证：．
参考答案
一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知⊙O的半径为5，点P在⊙O外，则OP的长可能是（ ）
A．3B．4C．5D．6
【分析】根据题意可以求得OP的取值范围，从而可以解答本题．
解：∵O的半径为5，点P在⊙O外，
∴OP＞5，
故选：D．
【点评】本题考查点和圆的位置关系，解答本题的关键是明确题意，求出OP的取值范围．
2．把图形绕O点顺时针旋转180度后，得到的图形是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
解：把图形绕O点顺时针旋转180度后，得到的图形是选项C的图形．
故选：C．
【点评】本题考查的是中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
3．二次函数y＝（x﹣1）2﹣3的最小值是（ ）
A．2B．1C．﹣2D．﹣3
【分析】由顶点式可知当x＝1时，y取得最小值﹣3．
解：∵y＝（x﹣1）2﹣3，
∴当x＝1时，y取得最小值﹣3，
故选：D．
【点评】本题主要考查二次函数的最值，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
4．一只盒子中有红球m个，白球8个，黑球n个，每个球除颜色外都相同，从中任取一个球，取得白球的概率与不是白球的概率相同，那么m与n的关系是（ ）
A．m＝3，n＝5B．m＝n＝4C．m+n＝4D．m+n＝8
【分析】由于每个球都有被摸到的可能性，故可利用概率公式求出摸到白球的概率与摸到的球不是白球的概率，列出等式，求出m、n的关系．
解：根据概率公式，摸出白球的概率，，
摸出不是白球的概率，，
由于二者相同，故有 ＝，
整理得，m+n＝8，
故选：D．
【点评】此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种可能，那么事件A的概率P（A）＝．
5．若二次函数y＝ax2（a≠0）的图象过点（﹣2，﹣3），则必在该图象上的点还有（ ）
A．（﹣3，﹣2）B．（2，3）C．（2，﹣3）D．（﹣2，3）
【分析】根据二次函数的对称性即可判断．
解：∵二次函数y＝ax2（a≠0）的图象的对称轴为y轴，
∴点（﹣2，﹣3）关于对称轴的对称点为（2，﹣3），
∴点（2，﹣3）必在该图象上，
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的对称性是解题的关键．
6．有一道题目：“在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，分别以B、C为圆心，以BC长为半径的两条弧相交于D点，求∠ABD的度数”．嘉嘉的求解结果是∠ABD＝10°．淇淇说：“嘉嘉考虑的不周全，∠ABD还应有另一个不同的值．”下列判断正确的是（ ）
A．淇淇说得对，且∠ABD的另一个值是130°
B．淇淇说的不对，∠ABD就得10°
C．嘉嘉求的结果不对，∠ABD应得20°
D．两人都不对，∠ABD应有3个不同值
【分析】由题意可知嘉嘉考虑不周全，如图，当点D在△ABC外时，∠ABD的另一个值是130°．
解：如图，当点D在△ABC外时，
∵AB＝AC，∠A＝40°，
∴∠ABC＝∠ACB＝70°．
∵BC＝BD＝CD，
∴∠CBD＝60°，
∴∠ABD＝∠ABC+∠CBD＝70°+60°＝130°．
故选：A．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，等边三角形的判定与性质，正确画出图形是解题的关键．
7．若二次函数y＝x2﹣6x+c的图象经过A（0，y1），B（4，y2）三点，则y1，y2的大小关系正确的是（ ）
A．y1＞y2B．y1＝y2C．y2＞y1D．y1≥y2
【分析】根据二次函数的开口方向和对称轴即可求解．
解：由题意可得：二次函数的对称轴为：直线，
∵点A（0，y1）在对称轴左边，距离对称轴3个单位长度，
点B（4，y2）在对称轴右边，距离对称轴1个单位长度，
又二次函数开口向上，
∴y1＞y2，
故选：A．
【点评】本题考查二次函数的增减性．确定二次函数的开口方向和对称轴是关键．
8．如图，AB为⊙O的直径，C为AB上一点，AD∥OC，AD交⊙O于点D，连接AC，CD，设∠BOC＝x°，∠ACD＝y°，则下列结论成立的是（ ）
A．x+y＝90B．2x+y＝90C．2x+y＝180D．x＝y
【分析】连接BC，根据圆周角定理求出∠B，根据平行线的性质，圆内接四边形的性质，三角形内角和定理计算即可．
解：连接BC，
由圆周角定理得，∠BAC＝∠BOC＝x°，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠B＝90°﹣x°，
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠D＝180°﹣∠B＝90°+x°，
∵OA＝OC，
∴∠OCA＝∠OAC＝x°，
∵AD∥OC，
∴∠DAC＝∠OCA＝x°，
∴∠ACD＝180°﹣∠DAC﹣∠D，即y＝180°﹣x°﹣（90°+x°）＝90°﹣x°，
∴x+y＝90，
故选：A．
【点评】本题考查的是圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系定理，掌握圆内接四边形的性质，圆周角定理是解题的关键．
9．二次函数y＝x2+2x+c的图象与x轴的两个交点为A（x1，0），B（x2，0），且x1＜x2，点P（m，n）是图象上一点，那么下列判断正确的是（ ）
A．当n＞0时，m＜x1B．当n＞0时，m＞x2
C．当n＜0时，m＜0D．当n＜0时，x1＜m＜x2
【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以判断各个选项中的结论是否正确，从而可以解答本题．
解：∵二次函数y＝x2+2x+c，
∴该函数图象开口向上，
∵二次函数y＝x2+2x+c的图象与x轴的两个交点为A（x1，0），B（x2，0），且x1＜x2，点P（m，n）是图象上一点，
∴当n＞0时，m＜x1或m＞x2，故选项A、B错误；
当n＜0时，x1＜m＜x2，故选项C错误，选项D正确；
故选：D．
【点评】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
10．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，⊙P是△ABC的外接圆，连接PA．若AD＝3，BD＝1，BC＝5，则PA的长（ ）
A．2.5B．C．D．2.8
【分析】连接PC，过点P作PF⊥BC于F，根据勾股定理得出AC＝5，，再由圆周角定理及垂径定理得出，∠ABC＝∠APF，利用相似三角形的判定和性质求解即可．
解：连接PC，过点P作PF⊥BC于F，
∵BD＝1，BC＝5，
∴CD＝4，
∵AD＝3，
∴，，
∵PF⊥BC，
∴，，
∵
∴∠ABC＝∠APF，
∴△ABD∽△APF，
∴即，
解得：，
故选：B．
【点评】题目主要考查圆周角定理及垂径定理，勾股定理解三角形及相似三角形的判定和性质，理解题意，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键．
二.填空题：本大题有6个小题，每小题4分，共24分.
11．一个不透明的袋中有若干个除颜色外完全相同的小球，其中黄球有6个．将袋中的球摇匀后，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回袋中，通过大量重复摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在0.3左右，则袋中小球的个数为 20 ．
【分析】用黄球的个数除以摸到黄球频率即可得出球的总个数．
解：通过大量重复摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在0.3左右，口袋中黄球有6个，
∴袋中小球的个数为6÷0.3＝20（个）．
故答案为：20．
【点评】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
12．在二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）中，y与x的部分对应值如表：
则m，n的大小关系为m ＞ n．（填“＞”“＝”或“＜”）
【分析】根据表格的x、y的值找出函数的对称轴，利用二次函数的性质即可得出答案．
解：由表格知：图象对称轴为：直线，当﹣1＜x＜0时，0＜y＜2，
∴当﹣1＜x＜1时，y随x的增大而增大，当1≤x＜3时，y随x的增大而减小，
∵m，n分别为点（1，m）和（2，n）的纵坐标，
∴m＞n，
故答案为：＞．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，能根据表中点的坐标特点找出对称轴是解此题的关键．
13．如图，某博览会上有一圆形展示区，在其圆形边缘的点P处安装了一台监视器，它的监控角度是55°，为了监控整个展区，最少需要在圆形边缘上共安装这样的监视器 4 台．
【分析】根据一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，得该圆周角所对的弧所对的圆心角是110°，则共需安装360°÷110°＝3≈4台．
解：∵∠P＝55°，
∴∠P所对弧所对的圆心角是110°，
∵360°÷110°＝3，
∴最少需要在圆形边缘上共安装这样的监视器4台．
故答案为：4．
【点评】此题考查了要圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．注意把实际问题转化为数学问题，能够把数学和生活联系起来．
14．如图，有长为24m的篱笆，一边利用墙（墙长不限），则围成的花圃ABCD的面积最大为 48 m2．
【分析】设篱笆的宽AB为x，长BC为（24﹣3x），列出面积S与x的函数关系式，求出最值．
解：设篱笆的宽AB为x米，长BC为（24﹣3x）米，
∴S＝x（24﹣3x）＝﹣3x²+24x＝﹣3（x﹣4）²+48，
∵墙长不限，
当x＝4时，24﹣3x＝12，S值最大，此时S＝48．
故答案为：48．
【点评】本题以二次函数为背景考查了二次函数的综合运用，考查学生根据图形信息列出二次函数，本题难度适中，经常在考卷中出现，解决问题的关键是弄清题意，根据公式列出面积与x的关系．
15．如图，在半径为3的⊙O中，AB是直径，AC是弦，D是的中点，AC与BD交于点E．若E是BD的中点，则AC的长是 4 ．
【分析】连接OD，交AC于F，根据垂径定理的推论得出OD⊥AC，AF＝CF，进而证得DF＝BC，根据三角形中位线定理求得OF＝BC＝DF，从而求得BC＝DF，利用勾股定理即可求得AC．
解：如图，连接OD，交AC于F，
∵D是的中点，
∴OD⊥AC，AF＝CF，
∴∠DFE＝90°，
∵OA＝OB，AF＝CF，
∴OF＝BC，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
在△EFD和△ECB中，
，
∴△EFD≌△ECB（AAS），
∴DF＝BC，
∴OF＝DF，
∵OD＝3，
∴OF＝1，
∴BC＝2，
∴AC＝＝＝4．
故答案为：4．
【点评】本题考查垂径定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质和垂径定理及其推论是解题的关键．
16．已知二次函数y＝ax2﹣bx（a≠0），经过点P（m，2）．当时，x的取值范围为x≤n﹣1或x≥﹣3﹣n．则此函数的对称轴是 直线x＝﹣2 ；m的值可以是 1（答案不唯一） （写出一个即可）．
【分析】由当时，x的取值范围为x≤n﹣1或x≥﹣3﹣n可得抛物线对称轴为直线x＝﹣2，从而可得b与a的关系，将P（m，2）代入解析式，用含m代数式表示a，进而求解．
解：当时，x的取值范围为x≤n﹣1或x≥﹣3﹣n．
∴抛物线开口向上，点（n﹣1，﹣），（﹣3﹣n，﹣）在抛物线上，
∴抛物线对称轴为直线x＝＝﹣2，
∴＝﹣2，
∴b＝﹣4a，
∴y＝ax2+4ax＝a（x+2）2﹣4a，
∵a＞0，﹣4a≤﹣，
解得a≥，
将P（m，2）代入解析式得am2+4am＝2，
∴a＝≥，
∴0＜m2+4m≤12，
∴4＜（m+2）2≤16，
∴﹣6≤m＜﹣4或0＜m≤2，
∴m的值可以是1（答案不唯一），
故答案为：直线x＝﹣2，1（答案不唯一）．
【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系，掌握二次函数图象上点的坐标特征．
三.解答题：本大题有8个小题，共66分.解答应写文字说明、证明过程或演算步骤.
17．如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，△ABC的顶点均在格点上．
（1）将△DEF绕点E逆时针旋转90°得到△D1EF1，画出△D1EF1．
（2）若△DEF由△ABC绕着某点旋转得到的，则这点的坐标为 （0，1） ．
【分析】（1）分别作出点D、F绕绕点E逆时针旋转90°得到的对应点，再首尾顺次连接即可；
（2）根据旋转变换的性质可确定旋转中心．
解：（1）如图所示，△D1EF1即为所求．
（2）如图所示，点P即为所求，其坐标为（0，1）．
故答案为：（0，1）．
【点评】本题主要考查旋转变换，解题的关键是掌握旋转变换的定义与性质，并据此得出变换后的对应点．
18．已知抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于点A（﹣1，0）、B（3，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）过点D（0，）作x轴的平行线交抛物线于E、F两点，求EF的长．
【分析】（1）将A，B两点坐标代入函数解析式即可解决问题．
（2）令y＝，求出点E和点F的坐标即可解决问题．
解：（1）由题知，
将A，B两点坐标代入函数解析式得，
，
解得．
所以抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3．
（2）令y＝得，
﹣x2+2x+3＝，
解得，．
则．
所以EF的长为3．
【点评】本题考查二次函数图象上点的坐标特征及待定系数法求二次函数解析式，熟知待定系数法求二次函数解析式是解题的关键．
19．一个不透明的布袋中装有3个只有颜色不同的球，其中1个黄球、2个红球．
（1）任意摸出1个球，记下颜色后不放回，再任意摸出1个球，求两次摸出的球恰好都是红球的概率（要求画树状图或列表）；
（2）现再将n个黄球放入布袋，搅匀后，使任意摸出1个球是黄球的概率为，求n的值．
【分析】（1）画树状图，共有6种等可能的结果，两次摸出的球恰好都是红球的结果有2种，再由概率公式求解即可；
（2）由概率公式得出方程，解方程即可．
解：（1）画树状图如下：
共有6种等可能的结果，两次摸出的球恰好都是红球的结果有2种，
∴两次摸出的球恰好都是红球的概率为＝；
（2）根据题意得：＝，
解得：n＝5，
经检验：n＝5是原分式方程的解，
∴n＝5．
【点评】此题考查了树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；注意概率＝所求情况数与总情况数之比．
20．如图，AB是⊙O的直径，点C，D是⊙O上的点，且OD∥BC，AC分别与BD，OD相交于点E，F．
（1）求证：点D为的中点；
（2）若DF＝4，AC＝16，求⊙O的直径．
【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角可得∠C＝90°，从而利用平行线的性质可得∠OFA＝∠C＝90°，从而可得OF⊥AC，然后利用垂径定理即可解答；
（2）利用垂径定理可得AF＝AC＝8，然后在Rt△AFO中，利用勾股定理进行计算即可解答．
【解答】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵OD∥BC，
∴∠OFA＝∠C＝90°，
∴OF⊥AC，
∴＝，
∴点D为的中点；
（2）解：∵OF⊥AC，
∴AF＝AC＝8，
在Rt△AFO中，AO2＝AF2+OF2，
∴OA2＝64+（OD﹣DF）2，
∴OA2＝64+（OA﹣4）2，
∴OA＝10，
∴⊙O的直径为20．
【点评】本题考查了圆周角定理，垂径定理，熟练掌握圆周角定理以及垂径定理是解题的关键．
21．如图，AB为⊙O的直径，D是弦AC延长线上一点，AC＝CD，DB的延长线交⊙O于点E，连接CE．
（1）求证∠A＝∠D；
（2）若的度数为108°，求∠E的度数．
【分析】（1）连接BC，首先证明BA＝BD，即可解决问题；
（2）根据的度数为108°，可得∠EBA＝54°，又∠EBA＝∠A+∠D，∠A＝∠D，所以，即可求出答案．
【解答】（1）证明：连接BC，
∵AB是⊙O的直径，
∴即AD⊥BC，
又AC＝CD，
∴AB＝BD，
∴∠A＝∠D；
（2）解：∵的度数为108°，
∴∠EBA＝54°，
又∠EBA＝∠A+∠D，∠A＝∠D，
∴，
∴∠E＝∠A＝27°．
【点评】本题考查圆周角定理和圆心角、弧、弦的关系，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
22．已知二次函数y＝x2+bx+c（b，c是常数）过点A（2、0），B（3n﹣4，y1），C（5n+6，y2）三点．
（1）若点A为此二次函数的顶点，求函数y的表达式．
（2）已知n＜﹣5，
①若y1＝y2，求b+c的取值范围；
②若c＞0，试比较y1与y2的大小．
【分析】（1）根据顶点式写出即可；
（2）①由抛物线过点A，得到c＝﹣4﹣2b，由y1＝y2，可知﹣＝，得到b＝﹣8n﹣2，即可得到b+c＝﹣4﹣b＝﹣4+8n+2＝8n﹣2，由n＜﹣5，可得b+c＜﹣42；
②由c＞0可知﹣4﹣2b＞0，则﹣＞1，通过求得3n﹣4﹣（5n+6）＝﹣2n﹣10＞0，3n﹣4＜﹣19可知点B，点C在对称轴的左侧，由二次函数的性质可求解．
解：（1）∵点A（2，0）为二次函数y＝x2+bx+c的顶点，
∴抛物线的解析式为y＝（x﹣2）2；
（2）①∵二次函数y＝x2+bx+c（b，c是常数）过点A（2、0），B（3n﹣4，y1），C（5n+6，y2）三点，
∴4+2b+c＝0，
∴c＝﹣4﹣2b，
若y1＝y2，则﹣＝，
∴b＝﹣8n﹣2，
∴b+c＝﹣4﹣b＝﹣4+8n+2＝8n﹣2，
∵n＜﹣5，
∴8n﹣2＜﹣42，
∴b+c＜﹣42；
②若c＞0，则﹣4﹣2b＞0，
∴b＜﹣2，
∴﹣＞1，
∵n＜﹣5，
∴3n﹣4﹣（5n+6）＝﹣2n﹣10＞0，3n﹣4＜﹣19，
∴B（3n﹣4，y1），C（5n+6，y2）在对称轴的左侧，且点B距离对称轴较近，
∵a＝1＞0，
∴y1＜y2．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质．需要熟练掌握二次函数的性质方可解答该题．
23．如图1，AB为⊙O的直径，CD⊥AB于点E，，BF与CD交于点G．
（1）求证：CD＝BF．
（2）若BE＝1，BF＝4，求GE的长．
（3）连结GO，OF，如图2，求证：．
【分析】（1）由AB为⊙O的直径，CD⊥AB于点E得，又由，得到，从而得到，即，即可得证；
（2）连接BC，由（1）得：，CD＝BF＝4，从而得到∠FBC＝∠BCD，则BG＝CG，设EG＝x，则BG＝CG＝2﹣x，在△BEG中，EG2+BE2＝BG2，即x2+12＝（2﹣x）2，即可得到答案；
（3）连接OC交BF于I，则OC⊥BF，通过证明△OCG≌△OBG（SSS），得到∠IOB＝2∠EOG，再由等腰三角形的性质和三角形外角的性质，可得到，最后由∠IOB+∠IBO＝90°，即可得到答案．
【解答】（1）证明：∵AB为⊙O的直径，CD⊥AB于点E，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴BF＝CD；
（2）解：如图所示：连接BC，
由（1）得：，CD＝BF＝4，
∴∠FBC＝∠BCD，
∴BG＝CG，
∵AB为⊙O的直径，CD⊥AB于点E，
∴，
设EG＝x，则BG＝CG＝2﹣x，
在△BEG中，EG2+BE2＝BG2，即x2+12＝（2﹣x）2，
解得：，
∴GE的长为；
（3）解：如图所示：连接OC交BF于I，
∵，
∴，
在△OCG和△OBG中，
，
∴△OCG≌△OBG（SSS），
∴∠COG＝∠BOG，
∴∠IOB＝2∠EOG，
∵OF＝OB，OC为半径，
∴OC⊥BF，
∴∠OIB＝90°，
∵∠IOB+∠IBO＝90°，
∴．
【点评】本题主要考查了圆周角定理，全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质，勾股定理，熟练掌握圆周角定理，全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质，添加恰当的辅助线是解题的关键．x
…
﹣1
0
1
2
3
…
y
…
0
2
m
n
0
…
x
…
﹣1
0
1
2
3
…
y
…
0
2
m
n
0
…
1．已知⊙O的半径为5，点P在⊙O外，则OP的长可能是（ ）
A．3B．4C．5D．6
2．把图形绕O点顺时针旋转180度后，得到的图形是（ ）
A．B．C．D．
3．二次函数y＝（x﹣1）2﹣3的最小值是（ ）
A．2B．1C．﹣2D．﹣3
4．一只盒子中有红球m个，白球8个，黑球n个，每个球除颜色外都相同，从中任取一个球，取得白球的概率与不是白球的概率相同，那么m与n的关系是（ ）
A．m＝3，n＝5B．m＝n＝4C．m+n＝4D．m+n＝8
5．若二次函数y＝ax2（a≠0）的图象过点（﹣2，﹣3），则必在该图象上的点还有（ ）
A．（﹣3，﹣2）B．（2，3）C．（2，﹣3）D．（﹣2，3）
6．有一道题目：“在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，分别以B、C为圆心，以BC长为半径的两条弧相交于D点，求∠ABD的度数”．嘉嘉的求解结果是∠ABD＝10°．淇淇说：“嘉嘉考虑的不周全，∠ABD还应有另一个不同的值．”下列判断正确的是（ ）
A．淇淇说得对，且∠ABD的另一个值是130°
B．淇淇说的不对，∠ABD就得10°
C．嘉嘉求的结果不对，∠ABD应得20°
D．两人都不对，∠ABD应有3个不同值
7．若二次函数y＝x2﹣6x+c的图象经过A（0，y1），B（4，y2）三点，则y1，y2的大小关系正确的是（ ）
A．y1＞y2B．y1＝y2C．y2＞y1D．y1≥y2
8．如图，AB为⊙O的直径，C为AB上一点，AD∥OC，AD交⊙O于点D，连接AC，CD，设∠BOC＝x°，∠ACD＝y°，则下列结论成立的是（ ）
A．x+y＝90B．2x+y＝90C．2x+y＝180D．x＝y
9．二次函数y＝x2+2x+c的图象与x轴的两个交点为A（x1，0），B（x2，0），且x1＜x2，点P（m，n）是图象上一点，那么下列判断正确的是（ ）
A．当n＞0时，m＜x1B．当n＞0时，m＞x2
C．当n＜0时，m＜0D．当n＜0时，x1＜m＜x2
10．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，⊙P是△ABC的外接圆，连接PA．若AD＝3，BD＝1，BC＝5，则PA的长（ ）
A．2.5B．C．D．2.8
二.填空题：本大题有6个小题，每小题4分，共24分.
11．一个不透明的袋中有若干个除颜色外完全相同的小球，其中黄球有6个．将袋中的球摇匀后，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回袋中，通过大量重复摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在0.3左右，则袋中小球的个数为 ．
12．在二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）中，y与x的部分对应值如表：
则m，n的大小关系为m n．（填“＞”“＝”或“＜”）
13．如图，某博览会上有一圆形展示区，在其圆形边缘的点P处安装了一台监视器，它的监控角度是55°，为了监控整个展区，最少需要在圆形边缘上共安装这样的监视器 台．
14．如图，有长为24m的篱笆，一边利用墙（墙长不限），则围成的花圃ABCD的面积最大为 m2．
15．如图，在半径为3的⊙O中，AB是直径，AC是弦，D是的中点，AC与BD交于点E．若E是BD的中点，则AC的长是 ．
16．已知二次函数y＝ax2﹣bx（a≠0），经过点P（m，2）．当时，x的取值范围为x≤n﹣1或x≥﹣3﹣n．则此函数的对称轴是 ；m的值可以是 （写出一个即可）．
三.解答题：本大题有8个小题，共66分.解答应写文字说明、证明过程或演算步骤.
17．如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，△ABC的顶点均在格点上．
（1）将△DEF绕点E逆时针旋转90°得到△D1EF1，画出△D1EF1．
（2）若△DEF由△ABC绕着某点旋转得到的，则这点的坐标为 ．
18．已知抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于点A（﹣1，0）、B（3，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）过点D（0，）作x轴的平行线交抛物线于E、F两点，求EF的长．
19．一个不透明的布袋中装有3个只有颜色不同的球，其中1个黄球、2个红球．
（1）任意摸出1个球，记下颜色后不放回，再任意摸出1个球，求两次摸出的球恰好都是红球的概率（要求画树状图或列表）；
（2）现再将n个黄球放入布袋，搅匀后，使任意摸出1个球是黄球的概率为，求n的值．
20．如图，AB是⊙O的直径，点C，D是⊙O上的点，且OD∥BC，AC分别与BD，OD相交于点E，F．
（1）求证：点D为的中点；
（2）若DF＝4，AC＝16，求⊙O的直径．
21．如图，AB为⊙O的直径，D是弦AC延长线上一点，AC＝CD，DB的延长线交⊙O于点E，连接CE．
（1）求证∠A＝∠D；
（2）若的度数为108°，求∠E的度数．
22．已知二次函数y＝x2+bx+c（b，c是常数）过点A（2、0），B（3n﹣4，y1），C（5n+6，y2）三点．
（1）若点A为此二次函数的顶点，求函数y的表达式．
（2）已知n＜﹣5，
①若y1＝y2，求b+c的取值范围；
②若c＞0，试比较y1与y2的大小．
23．如图1，AB为⊙O的直径，CD⊥AB于点E，，BF与CD交于点G．
（1）求证：CD＝BF．
（2）若BE＝1，BF＝4，求GE的长．
（3）连结GO，OF，如图2，求证：．
参考答案
一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知⊙O的半径为5，点P在⊙O外，则OP的长可能是（ ）
A．3B．4C．5D．6
【分析】根据题意可以求得OP的取值范围，从而可以解答本题．
解：∵O的半径为5，点P在⊙O外，
∴OP＞5，
故选：D．
【点评】本题考查点和圆的位置关系，解答本题的关键是明确题意，求出OP的取值范围．
2．把图形绕O点顺时针旋转180度后，得到的图形是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
解：把图形绕O点顺时针旋转180度后，得到的图形是选项C的图形．
故选：C．
【点评】本题考查的是中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
3．二次函数y＝（x﹣1）2﹣3的最小值是（ ）
A．2B．1C．﹣2D．﹣3
【分析】由顶点式可知当x＝1时，y取得最小值﹣3．
解：∵y＝（x﹣1）2﹣3，
∴当x＝1时，y取得最小值﹣3，
故选：D．
【点评】本题主要考查二次函数的最值，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
4．一只盒子中有红球m个，白球8个，黑球n个，每个球除颜色外都相同，从中任取一个球，取得白球的概率与不是白球的概率相同，那么m与n的关系是（ ）
A．m＝3，n＝5B．m＝n＝4C．m+n＝4D．m+n＝8
【分析】由于每个球都有被摸到的可能性，故可利用概率公式求出摸到白球的概率与摸到的球不是白球的概率，列出等式，求出m、n的关系．
解：根据概率公式，摸出白球的概率，，
摸出不是白球的概率，，
由于二者相同，故有 ＝，
整理得，m+n＝8，
故选：D．
【点评】此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种可能，那么事件A的概率P（A）＝．
5．若二次函数y＝ax2（a≠0）的图象过点（﹣2，﹣3），则必在该图象上的点还有（ ）
A．（﹣3，﹣2）B．（2，3）C．（2，﹣3）D．（﹣2，3）
【分析】根据二次函数的对称性即可判断．
解：∵二次函数y＝ax2（a≠0）的图象的对称轴为y轴，
∴点（﹣2，﹣3）关于对称轴的对称点为（2，﹣3），
∴点（2，﹣3）必在该图象上，
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的对称性是解题的关键．
6．有一道题目：“在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，分别以B、C为圆心，以BC长为半径的两条弧相交于D点，求∠ABD的度数”．嘉嘉的求解结果是∠ABD＝10°．淇淇说：“嘉嘉考虑的不周全，∠ABD还应有另一个不同的值．”下列判断正确的是（ ）
A．淇淇说得对，且∠ABD的另一个值是130°
B．淇淇说的不对，∠ABD就得10°
C．嘉嘉求的结果不对，∠ABD应得20°
D．两人都不对，∠ABD应有3个不同值
【分析】由题意可知嘉嘉考虑不周全，如图，当点D在△ABC外时，∠ABD的另一个值是130°．
解：如图，当点D在△ABC外时，
∵AB＝AC，∠A＝40°，
∴∠ABC＝∠ACB＝70°．
∵BC＝BD＝CD，
∴∠CBD＝60°，
∴∠ABD＝∠ABC+∠CBD＝70°+60°＝130°．
故选：A．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，等边三角形的判定与性质，正确画出图形是解题的关键．
7．若二次函数y＝x2﹣6x+c的图象经过A（0，y1），B（4，y2）三点，则y1，y2的大小关系正确的是（ ）
A．y1＞y2B．y1＝y2C．y2＞y1D．y1≥y2
【分析】根据二次函数的开口方向和对称轴即可求解．
解：由题意可得：二次函数的对称轴为：直线，
∵点A（0，y1）在对称轴左边，距离对称轴3个单位长度，
点B（4，y2）在对称轴右边，距离对称轴1个单位长度，
又二次函数开口向上，
∴y1＞y2，
故选：A．
【点评】本题考查二次函数的增减性．确定二次函数的开口方向和对称轴是关键．
8．如图，AB为⊙O的直径，C为AB上一点，AD∥OC，AD交⊙O于点D，连接AC，CD，设∠BOC＝x°，∠ACD＝y°，则下列结论成立的是（ ）
A．x+y＝90B．2x+y＝90C．2x+y＝180D．x＝y
【分析】连接BC，根据圆周角定理求出∠B，根据平行线的性质，圆内接四边形的性质，三角形内角和定理计算即可．
解：连接BC，
由圆周角定理得，∠BAC＝∠BOC＝x°，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠B＝90°﹣x°，
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠D＝180°﹣∠B＝90°+x°，
∵OA＝OC，
∴∠OCA＝∠OAC＝x°，
∵AD∥OC，
∴∠DAC＝∠OCA＝x°，
∴∠ACD＝180°﹣∠DAC﹣∠D，即y＝180°﹣x°﹣（90°+x°）＝90°﹣x°，
∴x+y＝90，
故选：A．
【点评】本题考查的是圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系定理，掌握圆内接四边形的性质，圆周角定理是解题的关键．
9．二次函数y＝x2+2x+c的图象与x轴的两个交点为A（x1，0），B（x2，0），且x1＜x2，点P（m，n）是图象上一点，那么下列判断正确的是（ ）
A．当n＞0时，m＜x1B．当n＞0时，m＞x2
C．当n＜0时，m＜0D．当n＜0时，x1＜m＜x2
【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以判断各个选项中的结论是否正确，从而可以解答本题．
解：∵二次函数y＝x2+2x+c，
∴该函数图象开口向上，
∵二次函数y＝x2+2x+c的图象与x轴的两个交点为A（x1，0），B（x2，0），且x1＜x2，点P（m，n）是图象上一点，
∴当n＞0时，m＜x1或m＞x2，故选项A、B错误；
当n＜0时，x1＜m＜x2，故选项C错误，选项D正确；
故选：D．
【点评】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
10．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，⊙P是△ABC的外接圆，连接PA．若AD＝3，BD＝1，BC＝5，则PA的长（ ）
A．2.5B．C．D．2.8
【分析】连接PC，过点P作PF⊥BC于F，根据勾股定理得出AC＝5，，再由圆周角定理及垂径定理得出，∠ABC＝∠APF，利用相似三角形的判定和性质求解即可．
解：连接PC，过点P作PF⊥BC于F，
∵BD＝1，BC＝5，
∴CD＝4，
∵AD＝3，
∴，，
∵PF⊥BC，
∴，，
∵
∴∠ABC＝∠APF，
∴△ABD∽△APF，
∴即，
解得：，
故选：B．
【点评】题目主要考查圆周角定理及垂径定理，勾股定理解三角形及相似三角形的判定和性质，理解题意，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键．
二.填空题：本大题有6个小题，每小题4分，共24分.
11．一个不透明的袋中有若干个除颜色外完全相同的小球，其中黄球有6个．将袋中的球摇匀后，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回袋中，通过大量重复摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在0.3左右，则袋中小球的个数为 20 ．
【分析】用黄球的个数除以摸到黄球频率即可得出球的总个数．
解：通过大量重复摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在0.3左右，口袋中黄球有6个，
∴袋中小球的个数为6÷0.3＝20（个）．
故答案为：20．
【点评】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
12．在二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）中，y与x的部分对应值如表：
则m，n的大小关系为m ＞ n．（填“＞”“＝”或“＜”）
【分析】根据表格的x、y的值找出函数的对称轴，利用二次函数的性质即可得出答案．
解：由表格知：图象对称轴为：直线，当﹣1＜x＜0时，0＜y＜2，
∴当﹣1＜x＜1时，y随x的增大而增大，当1≤x＜3时，y随x的增大而减小，
∵m，n分别为点（1，m）和（2，n）的纵坐标，
∴m＞n，
故答案为：＞．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，能根据表中点的坐标特点找出对称轴是解此题的关键．
13．如图，某博览会上有一圆形展示区，在其圆形边缘的点P处安装了一台监视器，它的监控角度是55°，为了监控整个展区，最少需要在圆形边缘上共安装这样的监视器 4 台．
【分析】根据一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，得该圆周角所对的弧所对的圆心角是110°，则共需安装360°÷110°＝3≈4台．
解：∵∠P＝55°，
∴∠P所对弧所对的圆心角是110°，
∵360°÷110°＝3，
∴最少需要在圆形边缘上共安装这样的监视器4台．
故答案为：4．
【点评】此题考查了要圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．注意把实际问题转化为数学问题，能够把数学和生活联系起来．
14．如图，有长为24m的篱笆，一边利用墙（墙长不限），则围成的花圃ABCD的面积最大为 48 m2．
【分析】设篱笆的宽AB为x，长BC为（24﹣3x），列出面积S与x的函数关系式，求出最值．
解：设篱笆的宽AB为x米，长BC为（24﹣3x）米，
∴S＝x（24﹣3x）＝﹣3x²+24x＝﹣3（x﹣4）²+48，
∵墙长不限，
当x＝4时，24﹣3x＝12，S值最大，此时S＝48．
故答案为：48．
【点评】本题以二次函数为背景考查了二次函数的综合运用，考查学生根据图形信息列出二次函数，本题难度适中，经常在考卷中出现，解决问题的关键是弄清题意，根据公式列出面积与x的关系．
15．如图，在半径为3的⊙O中，AB是直径，AC是弦，D是的中点，AC与BD交于点E．若E是BD的中点，则AC的长是 4 ．
【分析】连接OD，交AC于F，根据垂径定理的推论得出OD⊥AC，AF＝CF，进而证得DF＝BC，根据三角形中位线定理求得OF＝BC＝DF，从而求得BC＝DF，利用勾股定理即可求得AC．
解：如图，连接OD，交AC于F，
∵D是的中点，
∴OD⊥AC，AF＝CF，
∴∠DFE＝90°，
∵OA＝OB，AF＝CF，
∴OF＝BC，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
在△EFD和△ECB中，
，
∴△EFD≌△ECB（AAS），
∴DF＝BC，
∴OF＝DF，
∵OD＝3，
∴OF＝1，
∴BC＝2，
∴AC＝＝＝4．
故答案为：4．
【点评】本题考查垂径定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质和垂径定理及其推论是解题的关键．
16．已知二次函数y＝ax2﹣bx（a≠0），经过点P（m，2）．当时，x的取值范围为x≤n﹣1或x≥﹣3﹣n．则此函数的对称轴是 直线x＝﹣2 ；m的值可以是 1（答案不唯一） （写出一个即可）．
【分析】由当时，x的取值范围为x≤n﹣1或x≥﹣3﹣n可得抛物线对称轴为直线x＝﹣2，从而可得b与a的关系，将P（m，2）代入解析式，用含m代数式表示a，进而求解．
解：当时，x的取值范围为x≤n﹣1或x≥﹣3﹣n．
∴抛物线开口向上，点（n﹣1，﹣），（﹣3﹣n，﹣）在抛物线上，
∴抛物线对称轴为直线x＝＝﹣2，
∴＝﹣2，
∴b＝﹣4a，
∴y＝ax2+4ax＝a（x+2）2﹣4a，
∵a＞0，﹣4a≤﹣，
解得a≥，
将P（m，2）代入解析式得am2+4am＝2，
∴a＝≥，
∴0＜m2+4m≤12，
∴4＜（m+2）2≤16，
∴﹣6≤m＜﹣4或0＜m≤2，
∴m的值可以是1（答案不唯一），
故答案为：直线x＝﹣2，1（答案不唯一）．
【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系，掌握二次函数图象上点的坐标特征．
三.解答题：本大题有8个小题，共66分.解答应写文字说明、证明过程或演算步骤.
17．如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，△ABC的顶点均在格点上．
（1）将△DEF绕点E逆时针旋转90°得到△D1EF1，画出△D1EF1．
（2）若△DEF由△ABC绕着某点旋转得到的，则这点的坐标为 （0，1） ．
【分析】（1）分别作出点D、F绕绕点E逆时针旋转90°得到的对应点，再首尾顺次连接即可；
（2）根据旋转变换的性质可确定旋转中心．
解：（1）如图所示，△D1EF1即为所求．
（2）如图所示，点P即为所求，其坐标为（0，1）．
故答案为：（0，1）．
【点评】本题主要考查旋转变换，解题的关键是掌握旋转变换的定义与性质，并据此得出变换后的对应点．
18．已知抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于点A（﹣1，0）、B（3，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）过点D（0，）作x轴的平行线交抛物线于E、F两点，求EF的长．
【分析】（1）将A，B两点坐标代入函数解析式即可解决问题．
（2）令y＝，求出点E和点F的坐标即可解决问题．
解：（1）由题知，
将A，B两点坐标代入函数解析式得，
，
解得．
所以抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3．
（2）令y＝得，
﹣x2+2x+3＝，
解得，．
则．
所以EF的长为3．
【点评】本题考查二次函数图象上点的坐标特征及待定系数法求二次函数解析式，熟知待定系数法求二次函数解析式是解题的关键．
19．一个不透明的布袋中装有3个只有颜色不同的球，其中1个黄球、2个红球．
（1）任意摸出1个球，记下颜色后不放回，再任意摸出1个球，求两次摸出的球恰好都是红球的概率（要求画树状图或列表）；
（2）现再将n个黄球放入布袋，搅匀后，使任意摸出1个球是黄球的概率为，求n的值．
【分析】（1）画树状图，共有6种等可能的结果，两次摸出的球恰好都是红球的结果有2种，再由概率公式求解即可；
（2）由概率公式得出方程，解方程即可．
解：（1）画树状图如下：
共有6种等可能的结果，两次摸出的球恰好都是红球的结果有2种，
∴两次摸出的球恰好都是红球的概率为＝；
（2）根据题意得：＝，
解得：n＝5，
经检验：n＝5是原分式方程的解，
∴n＝5．
【点评】此题考查了树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；注意概率＝所求情况数与总情况数之比．
20．如图，AB是⊙O的直径，点C，D是⊙O上的点，且OD∥BC，AC分别与BD，OD相交于点E，F．
（1）求证：点D为的中点；
（2）若DF＝4，AC＝16，求⊙O的直径．
【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角可得∠C＝90°，从而利用平行线的性质可得∠OFA＝∠C＝90°，从而可得OF⊥AC，然后利用垂径定理即可解答；
（2）利用垂径定理可得AF＝AC＝8，然后在Rt△AFO中，利用勾股定理进行计算即可解答．
【解答】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵OD∥BC，
∴∠OFA＝∠C＝90°，
∴OF⊥AC，
∴＝，
∴点D为的中点；
（2）解：∵OF⊥AC，
∴AF＝AC＝8，
在Rt△AFO中，AO2＝AF2+OF2，
∴OA2＝64+（OD﹣DF）2，
∴OA2＝64+（OA﹣4）2，
∴OA＝10，
∴⊙O的直径为20．
【点评】本题考查了圆周角定理，垂径定理，熟练掌握圆周角定理以及垂径定理是解题的关键．
21．如图，AB为⊙O的直径，D是弦AC延长线上一点，AC＝CD，DB的延长线交⊙O于点E，连接CE．
（1）求证∠A＝∠D；
（2）若的度数为108°，求∠E的度数．
【分析】（1）连接BC，首先证明BA＝BD，即可解决问题；
（2）根据的度数为108°，可得∠EBA＝54°，又∠EBA＝∠A+∠D，∠A＝∠D，所以，即可求出答案．
【解答】（1）证明：连接BC，
∵AB是⊙O的直径，
∴即AD⊥BC，
又AC＝CD，
∴AB＝BD，
∴∠A＝∠D；
（2）解：∵的度数为108°，
∴∠EBA＝54°，
又∠EBA＝∠A+∠D，∠A＝∠D，
∴，
∴∠E＝∠A＝27°．
【点评】本题考查圆周角定理和圆心角、弧、弦的关系，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
22．已知二次函数y＝x2+bx+c（b，c是常数）过点A（2、0），B（3n﹣4，y1），C（5n+6，y2）三点．
（1）若点A为此二次函数的顶点，求函数y的表达式．
（2）已知n＜﹣5，
①若y1＝y2，求b+c的取值范围；
②若c＞0，试比较y1与y2的大小．
【分析】（1）根据顶点式写出即可；
（2）①由抛物线过点A，得到c＝﹣4﹣2b，由y1＝y2，可知﹣＝，得到b＝﹣8n﹣2，即可得到b+c＝﹣4﹣b＝﹣4+8n+2＝8n﹣2，由n＜﹣5，可得b+c＜﹣42；
②由c＞0可知﹣4﹣2b＞0，则﹣＞1，通过求得3n﹣4﹣（5n+6）＝﹣2n﹣10＞0，3n﹣4＜﹣19可知点B，点C在对称轴的左侧，由二次函数的性质可求解．
解：（1）∵点A（2，0）为二次函数y＝x2+bx+c的顶点，
∴抛物线的解析式为y＝（x﹣2）2；
（2）①∵二次函数y＝x2+bx+c（b，c是常数）过点A（2、0），B（3n﹣4，y1），C（5n+6，y2）三点，
∴4+2b+c＝0，
∴c＝﹣4﹣2b，
若y1＝y2，则﹣＝，
∴b＝﹣8n﹣2，
∴b+c＝﹣4﹣b＝﹣4+8n+2＝8n﹣2，
∵n＜﹣5，
∴8n﹣2＜﹣42，
∴b+c＜﹣42；
②若c＞0，则﹣4﹣2b＞0，
∴b＜﹣2，
∴﹣＞1，
∵n＜﹣5，
∴3n﹣4﹣（5n+6）＝﹣2n﹣10＞0，3n﹣4＜﹣19，
∴B（3n﹣4，y1），C（5n+6，y2）在对称轴的左侧，且点B距离对称轴较近，
∵a＝1＞0，
∴y1＜y2．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质．需要熟练掌握二次函数的性质方可解答该题．
23．如图1，AB为⊙O的直径，CD⊥AB于点E，，BF与CD交于点G．
（1）求证：CD＝BF．
（2）若BE＝1，BF＝4，求GE的长．
（3）连结GO，OF，如图2，求证：．
【分析】（1）由AB为⊙O的直径，CD⊥AB于点E得，又由，得到，从而得到，即，即可得证；
（2）连接BC，由（1）得：，CD＝BF＝4，从而得到∠FBC＝∠BCD，则BG＝CG，设EG＝x，则BG＝CG＝2﹣x，在△BEG中，EG2+BE2＝BG2，即x2+12＝（2﹣x）2，即可得到答案；
（3）连接OC交BF于I，则OC⊥BF，通过证明△OCG≌△OBG（SSS），得到∠IOB＝2∠EOG，再由等腰三角形的性质和三角形外角的性质，可得到，最后由∠IOB+∠IBO＝90°，即可得到答案．
【解答】（1）证明：∵AB为⊙O的直径，CD⊥AB于点E，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴BF＝CD；
（2）解：如图所示：连接BC，
由（1）得：，CD＝BF＝4，
∴∠FBC＝∠BCD，
∴BG＝CG，
∵AB为⊙O的直径，CD⊥AB于点E，
∴，
设EG＝x，则BG＝CG＝2﹣x，
在△BEG中，EG2+BE2＝BG2，即x2+12＝（2﹣x）2，
解得：，
∴GE的长为；
（3）解：如图所示：连接OC交BF于I，
∵，
∴，
在△OCG和△OBG中，
，
∴△OCG≌△OBG（SSS），
∴∠COG＝∠BOG，
∴∠IOB＝2∠EOG，
∵OF＝OB，OC为半径，
∴OC⊥BF，
∴∠OIB＝90°，
∵∠IOB+∠IBO＝90°，
∴．
【点评】本题主要考查了圆周角定理，全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质，勾股定理，熟练掌握圆周角定理，全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质，添加恰当的辅助线是解题的关键．x
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y
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