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2024重庆市实验中学高三上学期期中考试数学含解析
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这是一份2024重庆市实验中学高三上学期期中考试数学含解析,共1页。试卷主要包含了单项选择题,多项选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
一、单项选择题:共8小题,每小题5分,共40分。
1. 已知集合,则( )
A. B. C. D.
2. 已知复数z满足,则( )
A. 3B. 1C. D.
3. 已知,则( )
A. B. C. D.
4. 已知等比数列的首项 ,前项和为,且成等差数列,则( )
A. B.
C. D.
5. 已知四棱锥的底面是正方形,平面,若,则平面与平面夹角的余弦值为( )
A. B. C. D.
6. 某款对战游戏,总有一定比例的玩家作弊该游戏每10个人组成一组对局,若一组对局中有作弊玩家,则认为这组对局不公平.现有50名玩家,其中有2名玩家为作弊玩家,一次性将50名玩家平均分为5组,则5组对局中,恰有一组对局为不公平对局的概率为( )
A. B. C. D.
7. 设函数,若关于的不等式有解,则实数的值为( )
A. B. C. D.
8. 已知,则( )
A. B.
C. D.
二、多项选择题:共4小题,每小题5分,共20分。
9. 设z为复数,则下列命题中正确的是( )
A. B.
C. 若,则的最大值为2D. 若复数,则
10. 在中,下列说法正确的有( )
A. 若,则公众号:全元高考g. 若为锐角三角形,则
C. 若,则一定是等腰三角形
D. 若为钝角三角形,且,,,则的面积为
11. 如图,在四棱锥中,底面为平行四边形,,,底面,则( )
A.
B. 与平面所成角为
C. 异面直线与所成角的余弦值为
D. 平面与平面夹角的余弦值为
12. 已知函数,若存在实数使得方程有四个互不相等的实数根,分别为,且,则下列说法正确的有( )
A. B.
C. D. 的取值范围为
三、填空题:共4小题,每小题5分,共20分。
13. 已知(为锐角),则 .
14. 已知公差不为零的等差数列的前项和为,则
15. 在一次投篮比赛中,甲、乙、丙三人投篮命中的概率分别为,,,若每次投球三人互不影响,则在一次投球中,三人中至少有两人投篮命中的概率为 .
16. 已知对任意,都有,则实数的取值范围是 .
四、解答题:共70分。
17. (10分)已知集合,不等式的解集为.
(1)当时,求;公众号:全元高考
(2)若,求实数的取值范围.
公众号:全元高考
18. (12分)设数列的前项和为,且.
(1)求的通项公式;
(2)设数列满足,求数列的前项利.
19. (12分)已知函数(,,)的图象相邻两条对称轴间的距离为. 函数的最大值为2,且______.
请从以下3个条件中任选一个,补充在上面横线上,①为奇函数;②当时;③是函数的一条对称轴. 并解答下列问题:
(1)求函数的解析式;
(2)在中,、,分别是角,,的对边,若,,的面积,求的值.
20. (12分)如图,,为圆柱的母线,BC是底面圆O的直径,D,E分别是,的中点,面.
(1)证明:平面ABC;
(2)若,求平面与平面BDC的夹角余弦值.
21. (12分)红蜘蛛是柚子的主要害虫之一,能对柚子树造成严重伤害,每只红蜘蛛的平均产卵数y(个)和平均温度x(℃)有关,现收集了以往某地的7组数据,得到下面的散点图及一些统计量的值.
(1)根据散点图判断,与(其中…为自然对数的底数)哪一个更适合作为平均产卵数y(个)关于平均温度x(℃)的回归方程类型?(给出判断即可,不必说明理由)
(2)由(1)的判断结果及表中数据,求出y关于x的回归方程.(计算结果精确到0.1)
附:回归方程中,,
(3)根据以往每年平均气温以及对果园年产值的统计,得到以下数据:平均气温在22℃以下的年数占60%,对柚子产量影响不大,不需要采取防虫措施;平均气温在22℃至28℃的年数占30%,柚子产量会下降20%;平均气温在28℃以上的年数占10%,柚子产量会下降50%.为了更好的防治红蜘蛛虫害,农科所研发出各种防害措施供果农选择.
在每年价格不变,无虫害的情况下,某果园年产值为200万元,根据以上数据,以得到最高收益(收益=产值-防害费用)为目标,请为果农从以下几个方案中推荐最佳防害方案,并说明理由.
方案1:选择防害措施A,可以防止各种气温的红蜘蛛虫害不减产,费用是18万;
方案2:选择防害措施B,可以防治22℃至28℃的蜘蛛虫害,但无法防治28℃以上的红蜘蛛虫害,费用是10万;
方案3:不采取防虫害措施.
22. (12分)已知函数.
(1)当时,比较与的大小;
(2)若函数,且,证明:.
参考数据()
5215
17713
714
27
81.3
3.6
高2024届期中考试数学试卷参考答案
单选:1—4:ADAB5—8:BCCB
多选:9. ACD10. AB11. ACD12. BD
详解:
1. 由得,,
所以,
2. 设,依题意,
,,
所以,解得,
则.
3. 由,得,即,
所以.
4. 设等比数列的公比为,
由于成等差数列,
所以,由于,
所以,
所以,
所以,,
所以.
5. 四棱锥的底面是正方形,平面,则此四棱锥可补形成长方体,如图,
显然直线是平面与平面的交线,由平面,得,
因此是平面与平面所成二面角的平面角,
在中,,则,,
所以平面与平面夹角的余弦值为.
6. 所有对局中,恰有一组对局是不公平对局的情况为:2名外挂玩家都分到了同一组对局,
记该事件为事件,则.
7. 设点,则,
令,,
可知的最小值即为上的点与上的点之间的距离平方的最小值,
若直线与函数的图象相切,设切点的横坐标为,
因为,可得,解得:,
则切点为,且切点在上,故,
点到直线的距离为,所以,
又因为有解,则,
此时点P在上,也在直线在点P处的垂线即直线上,
其中直线在点P处的垂线的斜率为,
所以直线在点P处的垂线方程为:
即点坐标满足,解得,即.
8. 令,
设且,则,
令,则,所以单调递增,
则,故单调递增,所以,
故在上恒成立,则,即,
由三角函数线,时有,则,即.
综上,.
9. 对于A,设 (),则,所以,
而,所以成立,故A正确;
对于B,设 (),
当均不为时,为虚数,
而为实数,所以不成立,故B错误;
对于C,,则复数对应的点的轨迹是以为圆心,为半径的圆,
的几何意义为复数对应的点与两点间的距离,
所以,如图可知,当点P为时,最大,取最大值,最大值为2,故C正确;
对于D,设 (),(),
由,则,
则
;
;
所以,故D正确.
10. 对于A:因为,所以,所以,A正确;
对于B:因为是锐角三角形,所以,即,
因为且,在区间单调递增,
所以,B正确;
对于C:,
即,即,
所以,而A,B为三角形内角,
所以或者,
所以是等腰三角形或者直角三角形,C错误;
对于D:易求出 ,而,所以,
化简可得,解得或者,
当时此时是最大角且,所以满足钝角三角形,
此时,
当时此时为最大角且,所以满足钝角三角形,
此时,所以D错误,
11. 设,
对于A选项,,由余弦定理可得,
所以,,所以,,
因为底面,平面,则,
因为,、平面,所以,平面,
因为平面,所以,,A对;
对于B选项,因为底面,所以,与平面所成的角为,
且,又因为为锐角,故,
即与平面所成角为,B错;
对于C选项,因为四边形为平行四边形,则,且,
所以,异面直线与所成角为或其补角,
因为底面,平面,则,
所以,,则,
故异面直线与所成角的余弦值为,C对;
对于D选项,因为底面,,
以点为坐标原点,、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系,
则、、、,
设平面的法向量为,,,
则,取,则,
设平面的法向量为,,,
则,取,可得,
所以,,
所以,平面与平面夹角的余弦值为,D对.
12. 作出在上的图象,如图所示:
对于A,因为,
又因为方程有四个互不相等的实数根,所以,故A错误;
对于B,由题意可得,,且有,,所以,
故,当,即时,等号成立,故B正确;
对于C,由题意可得,由A可知,
所以,故C错误;
对于D,由题意可知与关于直线对称,且,,所以,故.
因为,所以.
又因为,
所以,在上单调递减,
故,
所以,,所以.
因为,,所以,
在单调递增,所以,故,
所以的取值范围为,故D正确.
13. 14. 715. 16.
13. 因为为锐角,,
所以为第二象限角,又,
所以
.
14. 若公差为且,则,
由.
15. 由已知可得,一次投球中,三人中恰有两人投篮命中的概率;
一次投球中,三人投篮均命中的概率.
所以,在一次投球中,三人中至少有两人投篮命中的概率.
16. 根据题意可知,,
由,可得恒成立,
令,则,
现证明恒成立,设,
,当时,解得,
当时,,单调递减,
当时,,单调递增,
故时,函数取得极小值即最小值,,
所以,即恒成立,
,
,
当且仅当(该方程显然有解)时取等号,所以,即.
所以实数的取值范围是.
17. (1)当时,;或,
解得,故,
故;
(2)由得,
当时,;
当时,,
故,解得,
即实数的取值范围为或.
18. (1)因为,所以不为常数,
由,得,
即,解得或(舍去),
当时,,
当时,,
所以,.
(2)当时,,
当时,
,①
则,②
①-②:
.
所以,
所以.
经检验,当时,满足上式,
所以.
19. (1)由题意得,
∴最小正周期,则,
∴.
若选①,为奇函数,则,
∴,即
∵,即,
∴即,
∴.
若选②,当时,
∴即,
∵,
∴,
∴.
若选③,是函数的一条对称轴,
∴即
∵,
∴,
∴.
(2)∵,
∴,即,
∵即,
∴,即,
又∵,的面积,
∴得,
在中,由余弦定理得:,
解得.
20. (1)证明:如图所示,取中点F,连接DF,EF,
因为D,E,F分别为,,的中点,所以,,
又因为平面,平面,平面,平面,
所以平面,平面,
又因为,平面,
所以平面平面,又因为平面DEF,所以平面.
(2)解:如图所示,连接,
因为分别为的中点,所以,且,
又因为D为的中点,所以,且,
所以,且,即四边形AOED为平行四边形,即,
因为面,所以面.
又因为面,所以,可得,
以为原点,以分别为轴建立空间直角坐标系,如图所示,
设,则,
可得,,,,,
则,,,,
设平面的法向量为,则,
取,可得,所以.
设平面的法向量为,则,
取,可得,所以,
则,
所以平面与平面的夹角的余弦值为.
21. (1)由散点图可以判断,更适宜作为平均产卵数y关于平均温度x的回归方程类型.
(2)将两边同时取自然对数,可得,
由题中的数据可得,,,
所以,
则,
所以z关于x的线性回归方程为,
故y关于x的回归方程为;
(3)用,和分别表示选择三种方案的收益.
采用第1种方案,无论气温如何,产值不受影响,收益为万,即
采用第2种方案,不发生28℃以上的红蜘蛛虫害,收益为万,
如果发生,则收益为万,即,
同样,采用第3种方案,有
所以,,
,
.
显然,最大,所以选择方案1最佳.
22. (1)设函数,
则,
当时,,
则在上单调递增,
所以,从而,即;
(2)设函数,
当时,,,则恒成立,
则由,得,
又,所以,
因为,所以,
令,则恒成立,
所以在上单调递增,则,
所以在上单调递增,
又,,所以,
要证,只需证,
即证.
因为,所以.
设函数,则,
所以在上单调递增,
因为,所以,所以,
所以,
所以,从而得证.
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