2024兰州教育局第四片区高二上学期期中联考数学试题含解析

这是一份2024兰州教育局第四片区高二上学期期中联考数学试题含解析，共1页。试卷主要包含了请将答案正确填写在答题卡上，抛掷一枚质地均匀的骰子，已知数列满足，若，则，下列结论正确的是等内容，欢迎下载使用。

考试时间：120分钟；满分：150分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第Ⅰ卷（选择题）
一、单选题：本题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．在数列，，，，，，中，是它的（ ）
A．第8项B．第9项C．第10项D．第11项
2．数列，，，，的一个通项公式为（ ）
A．B．C．D．
3．抛掷一枚质地均匀的骰子（骰子的六个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点）一次，观察掷出向上的点数，设事件A为郑出向上为小于5的偶数点，事件B为郑出向上为3点，则（ ）
A．B．C．D．
4．朱世杰是历史上最伟大的数学家之一，他所著的《四元玉鉴》卷中“如像招数”五问中有如下问题：“今有官司差夫一千八百六十四人筑堤，只云初日差六十四人，次日转多七人，每人日支米三升．”其大意为“官府陆续派遣1864人前往修筑堤坝，第一天派出64人，从第二天开始每天派出的人数比前一天多7人，修筑堤坝的每人每天分发大米3升．”在该问题中前7天共分发多少升大米？（ ）
A．1170B．1440C．1785D．1772
5．已知直线的方程是，的方程是，则下列各图形中，正确的是（ ）
A．B．C．D．
6．已知数列满足，若，则（ ）
A．2B．C．D．
7．在等差数列中，其前n项和为，若，是方程的两个根，那么的值为（ ）
A．88B．C．110D．
8．已知随机事件A，B，C中，A与B互斥，B与C对立，且，，则（ ）
A．0.3B．0.6C．0.7D．0.9
二、多选题：本题共4个小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程为（ ）
A．B．C．D．
10．下列结论正确的是（ ）
A．若为等比数列，是的前n项和，则，，是等比数列
B．若为等差数列，是的前n项和，则，，是等差数列
C．若为等差数列，且m，n，p，q均是正数，则“”是“”的充要条件
D．满足（且）的数列为等比数列
11．口袋里装有1红，2白，3黄共6个形状大小完全相同的小球，从中任取2球，事件“取出的两球同色”，“取出的2球中至少有一个黄球”，“取出的2球中至少有一个白球”，“取出两个球不同色”，“取出的2球中至多有一个白球”．下列判断中正确的是（ ）
A．事件A与D为对立事件B．事件B与C是互斥事件
C．事件C与E为对立事件D．事件
12．数列的前n项和为，已知，则（ ）
A．是递增数列B．
C．当时，D．当或4时，取得最大值
第Ⅱ卷（非选择题）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．直线的一个法向量______．
14．甲、乙两名篮球运动员进行投篮比赛，甲投篮命中的概率为，乙投篮命中的概率为，在每次投篮中，甲和乙投篮是否命中相互没有影响．甲乙各投篮一次，恰好有1人命中的概率为______．（结果用分数表示）
15．在正项等比数列中，若，则______．
16．已知数列满足，，则数列的通项公式为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）袋中有12个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一球，得到红球的概率是，黑球或黄球的概率是，绿球或黄球的概率也是．求从中任取一球，得到黑球、黄球和绿球的概率分别是多少？
18．（12分）已知数列的前n项和为．
（1）求，；
（2）求这个数列的通项公式．
19．（12分）根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程．
（1）求经过、两点的直线方程；
（2）求在x轴、y轴上的截距分别是、的直线方程；
（3）求经过点且斜率为的直线方程．
20．（12分）设数列的各项都为正数，且．
（1）证明数列为等差数列；
（2）设，求数列的前n项和．
21．（12分）直线l的方程为．
（1）证明：直线l恒经过第一象限；
（2）若直线l一定经过第二象限，求a的取值范围．
22．（12分）已知等差数列满足，，公比不为的等比数列满足，．
（1）求与的通项公式；
（2）设，求的前n项和．
2023-2024学年度高中数学期中考试卷-参考答案
1．B 【分析】根据题意，由数列的通项公式，即可得到结果．
【详解】由题意可得，数列的通项公式为，令，解得．
故选：B
2．B 【分析】根据所给数列前几项，寻找规律，代入选项检验即可．
【详解】由数列的前几项可知，分母为相邻两个自然数的乘积，并且正负相间，代入验证知，故选：B
3．C 【分析】根据事件的运算结合古典概型运算求解．
【详解】由题意可知：样本空间，，，
则，可得，，
所以． 故选：C．
4．C 【分析】建立等差数列模型，根据等差数列求和公式可求得结果．
【详解】由题意得，每天分发的大米升数构成等差数列，设公差为d，则，
记第一天共分发大米为（升），
则前7天共分发大米（升）．
故选：C．
5．D 【分析】有条件知，两直线的斜率均存在且不为0，写出它们的斜截式方程后再进行判断．
【详解】解：∵，∴直线与直线的斜率均存在
∴直线的斜截式方程为；直线的斜截式方程为
对于A选项，根据直线的图象可知，且，
因此直线的斜率应小于0，直线的纵截距应小于0，故A图象不符合；
对于B选项，根据直线的图象可知，且，
因此直线的斜率应大于0，在y轴上的截距应小于0，故B图象不符合；
对于C选项，根据直线的图象可知，且，
因此直线的斜率应大于0，在y轴上的截距应大于0，故C图象不符合；
对于D选项，根据直线的图象可知，且，
因此直线的斜率应大于0，在y轴上的截距应大于0，故D图象符合．
故选：D．
6．A 【分析】从特殊到一般的思想方法，求出几项的值寻找规律．
【详解】因为，，
所以，，；
所以的周期为3，所以． 故选：A．
7．D 【分析】由根与系数关系得，再根据等差数列前n项和公式、下标和性质求．
【详解】由题设，而．
故选：D
8．C 【分析】由对立事件概率关系得到B发生的概率，再由互斥事件的概率计算公式即可．
【详解】因为，事件B与C对立，
所以，
又，A与B互斥，
所以， 故选：C．
9．AC 【分析】分截距为零和不为零两种情况讨论即可．
【详解】当截距为0时，过点和原点，直线方程为，即，
当截距不为0时，设直线方程为，可得，
∴，所以直线方程为，故选：AC．
10．BD 【分析】根据等差数列前n项和性质及等比数列定义判断，利用特例判定其余错误选项．
【详解】若为等比数列，设公比为q，，是的前n项和，
设，当时，，，，
，，不是等比数列，所以A选项错误；
若为等差数列，是的前n项和，设公差为d，
则，
，
，
所以，，是等差数列，所以B选项正确；
为等差数列，考虑，，，所以C选项错误；
根据等比数列定义，数列，（且）的数列为等比数列，所以D选项正确．
故选：BD
11．AD 【分析】根据对立事件、互斥事件的知识确定正确答案．
【详解】设是样本空间，
A选项，由于，，所以A与D是对立事件，A选项正确．
B选项，由于“取出的2球中，一个黄球一个白球”，
所以B与C不是互斥事件，B选项错误．
C选项，由于“取出的2球中，恰好有1个白球”，
所以C与E不是对立事件，C选项错误．
D选项，由于，所以，所以D选项正确． 故选：AD
12．BCD 【分析】A选项，根据求出通项公式，
进而得到，单调递减，A错误；
B选项，由通项公式直接求解即可；
C选项，解不等式即可；
D选项，根据二次函数的开口方向和对称轴可得D正确．
【详解】A选项，当时，，
又，所以，
因为，
则是递减数列，故A错误；
B选项，由可得，故B正确；
C选项，令，解得，故C正确；
D选项，因为的对称轴为，开口向下，
又，所以当或4时，取得最大值，故D正确．
故选：BCD．
13．（答案不唯一）
【分析】根据给定直线方程求出其方向向量，再由法向量的意义求解作答．
【详解】直线的方向向量为，而，
所以直线的一个法向量．
故答案为：
14． 【分析】利用独立事件乘法公式及互斥事件的概率加法公式求恰好有1人命中的概率．
【详解】记“甲投篮命中”为A事件，“乙投篮命中”为B事件，
则，，，，
因为甲和乙投篮是否命中相互没有影响，所以A与B互为独立事件，
那么，恰好有1人命中的概率．
故答案为：．
15．2 【分析】根据等比数列的性质，得到，结合对数的运算性质，即可求解．
【详解】在正项等比数列中，因为，可得，
则．
故答案为：2．
16． 【分析】由已知可得，利用为等差数列求的通项公式．
【详解】由得，
故为等差数列，公差为1，首项为1，
所以 所以．
故答案为：
17．得到黑球、黄球和绿球的概率分别是，，
【分析】设出事件，由已知条件得出事件的概率，根据对立事件以及互斥事件的概率性质，即可得出答案．
【详解】从袋中任取一球，记事件“得到红球”，“得到黑球”，“得到黄球”，“得到绿球”分别为A，B，C，D，则事件A，B，C，D彼此互斥．
由已知可得，，，，
则，即，
所以，，．
故从中任取一球，得到黑球、黄球和绿球的概率分别是，，．
18．（1），；
（2）．
【分析】（1）代入求，由可得；
（2）由与的关系求数列通项公式．
【详解】（1）因为数列的前n项和为，
所以，则；
（2）当时，，
当时，也满足上式，
故数列的通项公式．
19．（1）
（2）
（3）
【分析】（1）由两点式方程表示出所求直线的方程，化简为一般式方程即可得出答案．
（2）由截距式方程表示出所求直线的方程，化简为一般式方程即可得出答案．
（3）由点斜式方程表示出所求直线的方程，化简为一般式方程即可得出答案．
【详解】（1）由两点式方程，可知所求直线的方程为，
化为一般式方程为．
（2）由截距式方程，可知所求直线的方程为，
化为一般式方程为．
（3）因为经过点，由点斜式方程可得：，
化为一般式方程为．
20．（1）证明见解析
（2）
【分析】（1）将两边取倒数，再结合等差数列的定义即可得证；
（2）利用裂项相消法求解即可．
【详解】（1）由数列的各项都为正数，且，
得，即，
所以数列是以1为公差的等差数列；
（2），由（1）得，
所以，则，
所以．
21．（1）证明见解析
（2）
【分析】（1）可利用直线经过的定点进行说明；
（2）结合（1）的结论，只要直线的y轴上的截距大于0即可．
【详解】（1），即直线一定过定点，该点在第一象限，于是直线l一定经过第一象限．
（2）由于直线经过第一象限的定点，只要该直线在y轴上的截距大于0即可，而经过y轴上的点，则，解得
22．（1），，
（2），
【分析】（1）根据已知条件列出方程组，分别求出等差数列和等比数列的首项、公差或公比，根据定义写出通项公式即可．
（2）由错位相减法结合等比数列求和公式法进行运算即可求解．
【详解】（1）由题意不妨设等差数列、等比数列的公差、公比分别为d，q，
所以有和，
注意到，，所以分别解得和，
因此由定义可知与的通项公式分别为
，，．
（2）由（1）可知，，，
所以由题意有，，
当，时，有，
所以有，
以上两式作差得
，
当时，有，
综上所述：的前n项和为，．