江苏省常州市名校2023-2024学年高二上学期10月调研考试数学试卷(含答案)

这是一份江苏省常州市名校2023-2024学年高二上学期10月调研考试数学试卷(含答案)，共5页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1、经过,两点的直线的倾斜角是( )
A.B.C.D.
2、设,则“直线与直线平行”是“”的( ).
A.充分不必要条件B.充要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件
3、已知圆C的方程为,则圆C的半径为( )
A.B.2C.D.8
4、过直线和的交点,且与直线垂直的直线方程是( )
A.B.C.D.
5、著名数学家华罗庚曾说过:“数形结合百般好,隔裂分家万事体.”事实上,有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决,如:可以转化为平面上点与点的距离.结合上述观点,可得的最小值为( )
A.B.C.D.
6、设a,b为实数,若直线与圆相交,则点与圆的位置关系是( )
A.在圆上B.在圆外C.在圆内D.不能确定
7、台风中心从A地以每小时20km的速度向西北方向移动,离台风中心30km内的地区为危险地区,若城市B在A地正西40km处,则B城市处于危险区内的时间长为( )
B.1hD.2h
8、已知点P在直线上运动,M是圆上的动点,N是圆上的动点,则的最小值为( )
A.13B.11C.9D.8
二、多项选择题
9、下列说法不正确的是( )
A.平面直角坐标系内的任意一条直线都存在倾斜角和斜率
B.不经过原点的直线都可以用方程表示
C.直线与两坐标轴围成的三角形的面积是2
D.已知,,若直线与线段AB有公共点,则
10、已知直线,,下列命题中正确的是( )
A.若,则
B.若,则或
C.当时,不经过第一象限
D.,使得原点到的距离为2.
11、设直线与圆,则下列结论正确的为( )
A.l可能将C的周长平分
B.若,则直线l与圆C相切
C.当时,圆C上有且仅有2个点到直线l的距离都等于1
D.若直线l与圆C交于A,B两点,则面积的最大值为2
12、若曲线E是由方程和共同构成,则下列结论不正确的是( )
A.曲线E围成的图形面积为
B.若点在曲线E上,则的取值区间是
C.若E与直线有公共点,则
D.若圆能覆盖曲线E,则r的最小值为2
三、填空题
13、已知直线l上一点向右平移4个单位长度,再向下平移2个单位长度后,仍在该直线上,则直线l的斜率k为________
14、已知a为实数,若三条直线,和不能围成三角形,则a的值为________.
15、过点作圆的切线,则此切线的方程为______.
16、已知曲线,直线,曲线C上恰有3个点到直线l的距离为1,则m的取值范围是________.
四、解答题
17、已知的三个顶点为,,.
（1）求BC边上的高AD的直线方程;
（2）求过点B且与A,C距离相等的直线方程.
18、矩形ABCD的两条对角线相交于点,AB边所在直线的方程为,
点在AD边所在直线上.
（1）求AD边所在直线的方程;
（2）求矩形ABCD外接圆E的方程.
19、已知圆C的圆心在x轴上,且经过点,.
（1）求圆C的标准方程;
（2）过点的直线l与圆C相交于M,N两点,且,求直线l的方程.
20、已知方程.
（1）若此方程表示圆,求正整数m的值;
（2）在（1）的条件下,方程表示的圆为圆C,若从点发出的光线经过直线反射,反射光线恰好平分圆C的圆周,求反射光线的一般方程.
21、已知圆,.
（1）求过点且与相切的直线方程;
（2）直线l过点,且与x轴,y轴正半轴分别交于A,B两点.求的最小值,并求此时直线l的方程.
22、已知定点,,动点M满足.
（1）求动点M的轨迹C的方程;
（2）设,过点T作与x轴不重合的直线l交曲线C于E,F两点.
(i)过点T作与直线l垂直的直线m交曲线C于G,H两点,求四边形EGFH面积的最大值;
(ii)设曲线C与x轴交于P,Q两点,直线PE与直线QF相交于点N,试讨论点N是否在定直线上,若是,求出该直线方程;若不是,说明理由.
参考答案
1、答案：D
解析:经过,两点的直线的斜率为,
因为直线的倾斜角大于等于小于,
故经过,两点的直线的倾斜角是.
故选:D.
2、答案：B
解析:若直线与直线平行,则;
若,则直线与直线平行,
直线与直线平行是的充分必要条件.
故选:B.
3、答案：C
解析:圆C的方程为,即,
故圆C的边角为.
故选:C.
4、答案：D
解析:根据题意:,解得
设与直线垂直的直线方程为,所以把,,代入该直线,得到.
故该直线的方程为.
故选:D.
5、答案：A
解析:,
则可看作x轴上一点到点与点的距离之和,即,
则可知当A,P,B三点共线时,取得最小值,
即
故选:A.
6、答案：B
解析:根据题意可得,
,
点在圆外.
故选:B.
7、答案：B
解析:如图,以A为坐标原点,建立平面直角坐标系,则,
台风中心移动的轨迹为射线,而点B到射线的距离
,
故,
故B城市处于危险区内的时间为1小时,
故选B.
8、答案：D
解析:圆的圆心为,半径为4,
圆的圆心为,半径为1,
如图所示,
则,
,
所以,
故求的最小值可转化为求的最小值,
设关于直线的对称点为G,
设G坐标为,
则,
解得,
故,
因为,
可得,
当P,G,C三点共线时,等号成立,
所以的最小值为.
故选:D.
9、答案：ABD
解析:对于A,平面直角坐标系内的任意一条直线都存在倾斜角,而倾斜角为的直线没有斜率,A错误;
对于B,垂直于坐标轴的直线没有截距式方程,即垂直于坐标轴的直线不能用方程表示,B错误;
对于C,直线交x轴于,交y轴于,则的面积为,C正确;
对于D,直线,即恒过定点,如图,
直线PA的斜率,直线PB的斜率,
当直线与线段AB有公共点,则,即,DD错误.
故选:ABD.
10、答案：AC
解析:直线,:,
对于A,由,得,解得,A正确;
对于B,由于时,直线与直线重合,B错误;
对于C,当时,直线的斜率,纵截距,则不经过第一象限,C正确;
对于D,直线恒过定点,原点O到直线距离的最大值为,D错误.
故选:AC.
11、答案：BCD
解析:圆的圆心,半径
对于A,点不在直线l上,则直线l不能将C的周长平分,A QUOTE A A错误;
对于B,当时,直线,点到直线l的距离
直线l与圆C相切,B正确;
对于C,圆C上有且仅有2个点到直线l的距离都等于1时,圆心到该直线距离在区间内,当时,直线,圆心到直线l的距离,C正确;
对于D,由直线l与圆C交于A,B两点,得心到直线l的距离,解得,的面积,当且仅当时取等号,此时,由,解得,直线直线l与圆C相交,因此当时,面积取得最大值2,D正确.
故选:BCD.
12、答案：ABC
解析:由,
,
,得或,
当时,化为,是圆心为,半径为1的半圆,
同理可得E的其他部分,分别为圆心为,半径为1的半圆,圆心为,半径为1的半圆,圆心为,半径为1的半圆.
作曲线E的图形如下图:
图中虚线部分ABCD是边长为2的正方形;对于A,图形的面积,故A错误;
对于B,由图可知的取值范围是,故B错误;
对于C,圆心到直线的距离,
解得(舍去),结合对称性可知,
若E与直线有公共点,则,故C错误.
对于D,覆盖住曲线E的圆的半径的最小值是2,故D正确.
故选:ABC.
13、答案：
解析:设点是直线l上的一点,将点右平移4个单位长度,再向下平移2个单位长度得到点仍在该直线上,
则直线l的斜率.
故答案为:.
14、答案：或或
解析:设直线,,:,联立,解得,,即两直线的交点,
若三条直线,和不能围成三角形,
则过A或或,当过A时,,解得,
当时,,即,经检验此时两直线平行,
当时,,即,经检验此时两直线平行.
故答案为:或或.
15、答案：或
解析:设过P点的圆的切线为,即
它与圆心的距离等于半径,故
解得,,过P点的圆的切线方程:,
当k不存在即过与x轴垂直的直线方程:
故过P点的圆的切线方程为或.
16、答案：
解析:
17、答案：（1）
（2）
（3）和
解析:（1）由B,C两点的坐标可得,
因为待求直线与直线垂直,,
由点斜式方程可得目标直线方程为
整理得,
BC边上的高AD的直线方程为
（2）由A,C点的坐标可知,AC的中点D坐标为
（3）过B,D两点的直线到A,C的距离相等,所以直线方程为;
又与直线AC平行的直线也符合题意,直线AC斜率不存在,
所以所求直线方程为.
综上所述,满足题意的直线方程为和.
18、答案：（1）
（2）
解析:（1）因为AB边所在直线的方程为,且AD与AB垂直,
所以直线AD的斜率为,又因为点在直线AD上,
所以AD边所在直线的方程为,即;
（2）由,解得:,故点A的坐标为,
因为矩形ABCD两条对角线的交点为,
所以点M为矩形ABCD外接圆圆心.
又因为,
从而矩形ABCD外接圆E的方程为.
19、答案：（1）
（2）或
解析:（1）设圆C的标准方程为,其中,半径为,
圆经过点,.即:化简得,
所以圆的标准方程为;
（2）由（1）设F为MN中点,则,得,
圆心到直线l的距离,
当直线l的斜率不存在时,l的方程,此时,符合题意;
当直线l的斜率存在时,设l的方程,即,
由题意得,解得;故直线的方程为,
即;
综上直线l的方程为或.
20、答案：（1）1
（2）
解析:（1）若此方程表示圆,则,解得,
因为m为正整数,;
（2）在（1）的条件下,方程表示圆:
由恰好平分圆C的圆周,得经过圆心,
设点M关于直线的对称点,
则直线MN与直线垂直,且线段MN的中点在上,
则有,解得,所以,
所以直线CN即为直线,且,
直线方程为,即.
21、答案：（1）和
（2）见解析
解析:（1）因为圆,圆心为,半径为2,,
由题知点P在圆O外,故过点P作的切线有两条,
当切线斜率不存在时,,显然是的切线;
当切线斜率存在时,可设切线方程为,即,
由点到直线的距离公式可得:,解得,即,
综上,可得切线方程为:和;
（2）设直线l的方程为eq \f(x,a)＋eq \f(y,b)＝1,其中a>0,b>0,
因为过点P(2,3),所以,
因为A,P,B三点共线,
所以
,
当且仅当,时取等号,所以直线l的方程为.
综上,的最小值为12,直线l的方程为.
22、答案：（1）
（2）见解析
解析:（1）设动点M的坐标为,
因为,,且,
所以,
整理得,即:
所以动点M的轨迹C的方程为;
（2）(i)因为直线l不与x轴重合,所以设直线l的方程为,即,
则直线GH为,设曲线C的圆心到直线l和直线GH的距离分别为,,
则,,所以,,
所以,
当时,;
当时,,
当且仅当时等号成立,
综上所述,四边形EGFH面积的最大值为7.
(ii)设,,联立,得,
则,,,
因为曲线C与x轴交于P,Q两点,所以,,
则直线PE的方程为,
直线QF的方程为,
联立两直线方程得,
所以N在定直线上.