湖南省衡阳市祁东县2023-2024学年九年级上学期期中数学试题

这是一份湖南省衡阳市祁东县2023-2024学年九年级上学期期中数学试题，共24页。试卷主要包含了单选题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第I卷（选择题）
一、单选题（共36分）
1.（本题3分）下列方程属于一元二次方程的是（ ）
A.B.C.D.
2.（本题3分）下列根式中与是同类二次根式的是（ ）
A.B.C.D.
3.（本题3分）成立的条件是（ ）
A.B.C.D.
4.（本题3分）一元二次方程的根的情况是（ ）
A.有一个实数根B.有两个相等的实数根
C.有两个不相等的实数根D.没有实数根
5.（本题3分）如图，直线，若，，则的值是（ ）
A.B.C.D.
6.（本题3分）下列方程中，两根之和为2的是（ ）
A.B.
C.D.
7.（本题3分）实数a在数轴上的位置如图所示，则化简后为（ ）
A.B.C.7D.无法确定
8.（本题3分）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（ ）
A.B.?≤且C.D.且
9.（本题3分）已知，分别是方程的两个根，则代数式的值为（ ）
A.16B.18C.20D.22
10.（本题3分）如图，已知，中，P为AB上一点，在下列四个条件中：（1）；（2）；（3）；（4），能满足与相似的条件是（ ）.
A.（1）（2）（4）B.（1）（3）（4）
C.（2）（3）（4）D.（1）（2）（3）
11.（本题3分）三角形的一边长为10，另两边长是方程的两个实数根，则这个三角形是（ ）
A.等边三角形B.等腰三角形
C.直角三角形D.等腰直角三角形
12.（本题3分）某电影上映的第一天票房约为3亿元，第二、三天单日票房持续增长，三天累计票房10.82亿元，若第二、三天单日票房增长率相同，设平均每天票房的增长率为x，则根据题意，下列方程正确的是（ ）
A.B.
C.D.
第II卷（非选择题）
二、填空题（共18分）
13.（本题3分）如果，则的值为______.
14.若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是______.
15.（本题3分）若是一元二次方程的其中一个解，则m的值为______.
16.（本题3分）如图，在中，点D、E分别在边、上，，如果=，，那么的长是______.
17.（本题3分）若关于x的方程是一元二次方程，则______.
18.（本题3分）如图，在正方形中，点P是上一动点（不写A、B重合），对角线、相交于点O，过点P分别作、的垂线，分别交、于点E、F，交、于点M、N，下列结论：①；②；③；④当时，点P是的中点，其中一定正确的结论有______.（填上所有正确的序号）
三、解答题（共66分）
19.（本题9分）解方程：
（1）（2）
计算：（3）
20.（本题6分）先化简，再求值，其中.
21.（本题6分）若实数x，y满足，求的值.
22.（本题8分）已知关于x的一元二次方程.
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）如果方程的两实根为，，且，求m的值.
23.（本题8分）如图，正方形中，M为上一点，，交于点N.
（1）求证：；
（2）若，，求的长.
24.（本题8分）有长为30米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为10米），围成中间隔有一道篱笆（平行于）的矩形花圃，设花圃的一边为x米.
（1）如果要围成面积为63平方米的花圃，那么的长是多少米？
（2）能围成面积为78平方米的花圃吗？若能，求出的长，若不能，请说明理由.
25.（本题9分）杭州亚运会的三个吉祥物“琮琮”“宸宸”“莲莲”组合名为“江南忆”，4月份的销售量为256件，6月份的销售量为400件.（1）求该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率；
（2）经市场预测，7月份的销售量将与6月份持平，现商场为了减少库存，采用降价促销方式，调查发现，该吉祥物每降价1元，月销售量就会增加20件，当该吉祥钧售价为多少元时，月销售利润达8400元？
26.（本题12分）如图所示，中，，，点P从点B出发沿向点C以2cm/s的速度移动，点Q从点C出发沿向点A以1cm/s的速度移动，如果P、Q分别从B、C同时出发：
（1）求线段的长度
（2）经过多少秒后，的面积能否为8cm？请说明理由.
（3）经过多少秒时，以C、P、Q为顶点的三角形恰与相似？
参考答案：
1.D
【分析】根据一元二次方程定义，逐项判定即可.
【详解】解：A.整理得：，不是一元二次方程，故此选项错误，
B.当时，不是一元二次方程，故此选项错误，
C.左边不是整式方程，故不是一元二次方程，故此选项错误，
D.是一元二次方程，故此选项正确.
故选：D.
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键.
2.C
【分析】各项化简后，利用同类二次根式定义判断即可.
【详解】解：A.，不符合题意；
B.，不符合题意；
C.，与的被开方数相同；与是同类二次根式是符合题意；
D.，不符合题意，
故选：C.
【点睛】此题考查了同类二次根式，熟练掌握同类二次根式定义是解本题的关键.
3.A
【分析】根据二次根式的性质和绝对值的意义进行化简，即可得到答案
【详解】解：，
，解得：.
故选：A.
【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简以及二次根式非负的知识.熟练掌握二次根式的性质是解决此类问题的关键.
4.D
【分析】根据根的判别式进行计算判断即可.
【详解】原方程为，则其；由此可得原方程无实数根.故答案选D.
【点睛】本题考查根的判别式，看到此类题目要首先想到，根据判别式判断根的个数.
5.C
【分析】由平行线分线段成比例直接得到答案.
【详解】解：
，，，
故选C.
【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例，解题的关键在于能够熟练掌握平行线分线段成比例.
6.C
【分析】由根与系数的关系逐项判断各项方程的两根之和即可.
【详解】解：在方程中，两根之和等于，故A不符合题意；
在方程中，，则该方程无实数根，故B不符合题意；
在方程中，两根之和等于2，故C符合题意；
在方程中，两根之和等于，故D不符合题意.
故选：C.
【点睛】本题主要考查根与系数的关系，掌握一元二次方程的两根之和等于，两根之积等于是解题的关键.
7.A
【分析】由数轴可知，，可得，，再化简即可.
【详解】解：由数轴可知，，，，
，
，
，
，
故选：A.
【点睛】本题考查了二次根式的化简和绝对值的意义，熟练掌握数轴上的点的特征，注意字母的取值范围是解答本题的关键.
8.D
【分析】根据一元二次方程根的判别式大于零构建不等式，求解即可.
【详解】解：由题意得，且，解得，且，
故选：D.
【点睛】此题考查了利用一元二次方程根的情况求参数，熟记一元二次方程根的三种情况并应用是解题的关键.
9.B
【分析】由根与系数的关系得到，，再把式子变形代入求值即可.
【详解】解：分别是方程的两个根，
，，
，
故选B.
【点睛】此题考查了根与系数的关系，掌握根与系数的关系和完全平方式是解答此题的关键.
10.D
【分析】根据相似三角形的判定条件分析即可；
【详解】（1）中，，又有一公共角，故，故（1）正确；
（2）中，，又有一公共角，故，故（2）正确；
（3）中，，为其夹角，故（3）正确；
（4）中不是对应边成比例，故（4）不正确；
故正确的是（1）（2）（3）；
故选D.
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定条件，准确分析判断是解题的关键.
11.C
【分析】解方程，求得方程的两个根，再利用勾股定理的逆定理即可判定这个三角形是直角三角形.
【详解】设三角形的另外两边分别为，
另两边是一元二次方程的的两个根，
解方程得到，
，
此三角形是直角三角形.
故选C.
【点睛】本题考查了一元二次方程的解法及勾股定理的逆定理的应用，正确求得方程的两个根是解决问题的关键.
12.D
【分析】根据“三天累计票房10.82亿元”求解即可得出答案.
【详解】解：设平均每天票房的增长率为，则根据题意可列方程为，
故选：D.
【点睛】本题主要考查由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是掌握理解题意，找到其中蕴含的相等关系.
13.
【分析】根据题意，设，，代入求解即可.
【详解】解：，
若设，
代入得：，
故答案为：.
【点睛】本题主要考查了比例的基本性质，解题的关键是掌握“设值法”，将两个字母统一为一个字母.
14.
【分析】根据二次根式有意义的条件，即可求解.
【详解】解：根据题意得：，
，
实数的取值范围是.
故答案为：.
【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式的被开方数为非负数是解题的关键.
15.3
【分析】把代入方程，可得，再由，即可求解.
【详解】解：把代入方程，
得，
解得，
，，.
故答案为：3.
【点睛】本题考查了一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值.即用这个数代替未知数所得式子仍然成立是解题的关键.
16.6
【分析】根据可求得，再根据平行线分线段成比例定理得到，即可求得的长.
【详解】解：，
，
，，，
故答案为：6.
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例.
17.
【详解】是关于的一元二次方程，
，解得
点睛：解这道题需注意两点：（1）一元二次方程中，二次项系数不能为0；（2）一元二次方程中未知数的最高次数为2.
18.略