天津市和平区2023-2024学年九年级上学期期中数学试题（含解析）

这是一份天津市和平区2023-2024学年九年级上学期期中数学试题（含解析），共5页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题．等内容，欢迎下载使用。

注意事项：
每题选出答案后，用2B铅笔把、“答题卡”上对应题目的答案标号的信息点涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号的信息点．
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的）
1．我国古代数学的许多创新与发明都曾在世界上有重要影响．下列图形“杨辉三角”“中国七巧板”“刘微割圆术”“赵爽弦图”中，中心对称图形是（ ）．
A． B．
C． D．
2．若，是一元二次方程的两个根，则的值为（ ）
A．B．4C．D．3
3．二次函数的开口方向、对称轴和顶点坐标分别为（ ）
A．向下、直线、B．向下、直线、
C．向下、直线、D．向上、直线、
4．已知的半径为，，则点和的位置关系是（ ）
A．点在圆上B．点在圆外C．点在圆内D．不确定
5．把抛物线y＝－x2向下平移1个单位长度，再向左平移1个单位长度，得到的抛物线解析式为( )
A．y＝－ (x＋1)2＋1B．y＝－ (x＋1)2－1C．y＝－ (x－1)2＋ 1D．y＝－ (x－1)2－1
6．用配方法解一元二次方程时，首先把化成（a、b为常数）的形式，则的值为（ ）
A．8B．11C．14D．17
7．如图，要设计一幅宽，长的矩形图案，其中有两横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为．如果要使彩条所占面积是图案面积的三分之一，应如何设计彩条的宽度？
若设每个横彩条的宽度为，则每个竖彩条的宽度为，则根据题意，列方程为（ ）
A．B．
C．D．
8．如图，是的直径，分别以点O和点B为圆心，大于的长为半径作弧（弧所在圆的半径都相等），两弧相交于M，N两点，直线与相交于C，D两点，若，则的长为（ ）
A．B．4C．D．
9．如图，是绕点顺时针旋转得到的，延长与相交于点、若，，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
10．如图，等边的边长为，点从点出发在，边上运动，当点运动到点后停止运动．过作边的垂线，交于，用表示线段的长度，的面积是线段长度的函数，则与的函数图象正确的是( )
A．B．
C．D．
11．如图，都是的半径，，则下列结论不正确的是（ ）

A．B．
C．D．
12．已知抛物线（a，b，c是常数，）经过点，，有下列结论：
①图象的对称轴为直线；
②若一元二次方程的两个根是，，则，；
③若，则；
④无论x取何值，代数式的值都大于0．
其中，正确结论的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
第Ⅱ卷
注意事项：用黑色字迹的签字笔将答案写在“答题卡”上（作图可用2B铅笔），
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13．点关于原点对称点的坐标为 ．
14．如图，五角星围绕中心旋转，至少旋转 （度）能与自身重合．

15．飞机着陆后滑行的距离s（单位：）关于滑行的时间t（单位：）的函数解析式，飞机着陆后滑行 米才能停下来．
16．若方程x2－4084441＝0的两根为±2021，则方程x2－2x－4084440＝0的两根为 ．
17．如图，在四边形中，，点E在线段上运动，点F在线段上，，则线段的最小值为 ．

18．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，内接于圆，且顶点A，B均在格点上，点C在网格线上．

（Ⅰ）线段的长等于 ；
（Ⅱ）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，在圆上画出点D，使平分（不要求证明，保留作图痕迹）
三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）．
19．（Ⅰ）解一元二次方程：；
（Ⅱ）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，．
①求k的取值范围；
②若______（填序号），求k的值．
请同学们从①；②；③中选择一个作为条件，补充完整题目，并完成解答．
20．一个滑雪者从山坡滑下，为了得出滑行距离s（单位：m）与滑行时间t（单位：s）之间的关系式，在滑道上设置了几个固定的计时点，测得一些数据（如表格）．
为观察s与t之间的关系，建立坐标系，以t为横坐标，s为纵坐标，描出表中数据对应的点（如图）．可以看出，其中绝大部分的点都近似的位于某条抛物线上．于是，我们用二次函数来近似的表示s与t的关系．

(1)在位置①处，当时，，所以______；
(2)有一个计时点的计时装置出现了故障，请同学们用平滑曲线连接这些绝大部分的点，通过观察发现故障点的位置编号可能是______；
(3)利用函数图象推测当此滑雪者滑行距离为30m时，用时约为______s（结果保留一位小数）；
(4)求s与t的函数关系式，并求出滑雪者在故障位置的滑行距离．
21．如图，四边形内接于，连接，，．
(1)求的大小；
(2)若的半径为3，求的长．
22．已知，是直径，半径经过弦的中点．
(1)如图①，连接，，若，求和的大小；
(2)如图②，连接并延长交的延长线于点，若，求的大小．
23．2023年杭州亚运会胜利闭幕．本次亚运会中国代表团共获得383枚奖牌，位居奖牌榜第一，创造了新的历史．在亚运会期间，买一件印有亚运会元素的T恤去看比赛，成为了体育迷们的“仪式感”．某商店以每件40元的价格购进一批这样的T恤，以每件60元的价格出售．经统计，4月份的销售量为192件，6月份的销售量为300件．
(1)求该款T恤4月份到6月份销售量的月平均增长率；
(2)从7月份起，商场决定采用降价促销回馈顾客，销售利润不超过30%．经试验，发现该款T恤在6月份销售量的基础上，每降价1元，月销售量就会增加20件．如何定价才能使利润最大？并求出最大利润是多少元？
24．已知矩形，，，将矩形绕A顺时针旋转，得到矩形，点B的对应点是点E，点C的对应点是点F，点D的对应点是点G．
(1)如图①；当时，连接，求的长；
(2)如图②，当边经过点D时，延长交于点P，求的长；
(3)连接，点M是的中点，连接，在旋转过程中，线段的最大值______．
25．已知抛物线（，，是常数，）的顶点为，与轴相交于，两点（点在点的左侧），与轴相交于点．
(1)若点，求点和点的坐标；
(2)将点绕点逆时针方向旋转，点的对应点为，若，两点关于点中心对称，求点的坐标和抛物线解析式：
(3)在（1）的条件下，点为直线下方抛物线上的一个动点，过点作轴，与相交于点，过点作轴，与轴相交于点，求的最大值及此时点的坐标．
参考答案与解析
1．D
【分析】根据中心对称图形的概念进行判断即可．
【详解】解：A．不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B．不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C. 不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D. 是中心对称图形，故此选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查的是中心对称图形．中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
2．D
【分析】直接利用根与系数的关系求解．
【详解】解：，是一元二次方程的两个根，
，
故选D．
【点睛】本题考查了根与系数的关系：若是一元二次方程（）的两根时， ， ．
3．B
【分析】根据顶点式的顶点坐标为，，开口象限，即可求解．
【详解】解：∵，抛物线的开口向下，对称轴为直线、顶点坐标为，
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数顶点式的顶点坐标为，掌握顶点式求顶点坐标是解题的关键．
4．B
【分析】由的半径为，知点到圆心的距离大于半径，从而得出答案．
【详解】解：∵的半径为，，
∴点到圆心的距离大于半径，
∴点在圆外，
故选：B．
【点睛】本题主要考查点与圆的位置关系，点与圆的位置关系有种．设的半径为，点到圆心的距离，则有 ①点在圆外；②点在圆上；③点在圆内．
5．B
【详解】解：根据抛物线的平移规律“左加右减，上加下减”，
可直接求得平移后的抛物线的解析式为：.
故选：B.
6．D
【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，继而得出答案．
【详解】解：
，
∴，
∴，
故选D．
【点睛】本题考查解一元二次方程，能够正确配方是解此题的关键．
7．C
【分析】根据横竖彩条宽度间的关系，可得出竖彩条的宽为，进而可得出除彩条部分外的九块区域可合成长为，宽为的长方形，再结合彩条所占面积是图案面积的三分之一，即可得出关于的一元二次方程，即可得到答案．
【详解】解：横、竖彩条的宽度比为，且横彩条的宽为，则每个竖彩条的宽度为
除彩条部分外的九块区域可合成长为，宽为的长方形，
根据题意可得：，
即，
故选：C．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
8．C
【分析】连接，设和交于点M，根据作图得出垂直平分，利用勾股定理求出，再根据垂径定理得出结果．
【详解】解：连接，设和交于点M，
由作图可知：垂直平分，
∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
故选C．
【点睛】本题考查了尺规作图，垂直平分线，垂径定理以及勾股定理，解题的关键是根据作图过程得出垂直平分线，利用垂径定理得出最后结果．
9．A
【分析】根据已知条件得出，设交于点，根据对顶角相等，三角形内角和定理可得，根据旋转的性质可得，即可求解．
【详解】解：设交于点，如图所示，
∵，，
∴
∵
∴,
∵是绕点顺时针旋转得到的，
∴
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查了旋转的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
10．C
【分析】根据题意可知，点为临界点，分别研究在点两侧时的情况即可．
【详解】解：当时，，
当时，，，
，
综上所述，函数图象在时，是开口向上的抛物线的一部分，当时是开口向下的抛物线的一部分，
故选：C．
【点睛】本题是动点问题的函数图象探究题，考查了二次函数图象性质和锐角三角函数的相关知识，解答关键是分析动点到达临界点前后的图形变化．
11．A
【分析】取的中点D，连接，，，由，易得，继而证得，由垂径定理可得，结合同圆种等弧所对的圆周角相等可得，即可证明，C、D选项根据圆周角定理即可证明．
【详解】解：取的中点D，连接，，，

∵，
∴，
∴ ，
∴，
∵，
∴，故A错误，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴ ，故B正确；
∵，
∴，故C正确；
∵，
∴，故D正确；
故选：A．
【点睛】此本题考查了弧、弦与圆心角的关系、垂径定理以及圆周角定理．熟练掌握辅助线的作法是解题关键．
12．B
【分析】根据二次函数的对称性求出对称轴判断①；根据二次函数的性质可以得到，然后代入求出两根判断②；利用函数的增减性判断③；把代入利用配方法判断④即可解题．
【详解】∵过,
∴对称轴为直线，故①对；
∵过
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
又∵，
∴
解得：，，故②正确；
∵时，；时，
∴ ，
∵，
∴，
∴，
∴当时，，故③错误；
∵，
又∵且，
∴，
∴，故④错误
综上所述正确结论个数为，
故选．
【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
13．
【分析】根据关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数解答．
【详解】解：点关于原点对称点的坐标是．
故答案为：．
【点睛】本题考查了点的坐标，熟记关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数是解题的关键．
14．
【分析】根据旋转对称图形的概念与特征，求出最小旋转角即可．
【详解】解：根据已知图形可知，图形是旋转对称图形，最小旋转角为：，
图形绕中心至少旋转与自身重合；
故答案为：．
【点睛】此题考查了旋转对称图形，熟练掌握旋转对称图形的概念与特征是解答此题的关键．
15．600
【分析】将函数解析式配方成顶点式求出的最大值即可得．
【详解】解：∵，
∴当时，取得最大值600，即飞机着陆后滑行600米才能停下来，
故答案为：600．
【点睛】本题主要考查二次函数的应用，理解题意得出飞机滑行的距离即为的最大值是解题的关键．
16．x1＝2022，x2＝－2020
【分析】利用配方法求解即可．
【详解】解：x2﹣2x﹣4084440＝0，
x2﹣2x＝4084440，
x2﹣2x+1＝4084441，即（x﹣1）2＝4084441，
∵方程x2﹣4084441＝0的两根为±2021，
∴x﹣1＝±2021，
∴x1＝2022，x2＝﹣2020．
故答案为：x1＝2022，x2＝﹣2020．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键，解一元二次方程的方法有直接开平方法、因式分解法、配方法、公式法等．
17．##
【分析】设的中点为O，以为直径画圆，连接，设与的交点为点，证明，可知点F在以为直径的半圆上运动，当点F运动到与的交点时，线段有最小值，据此求解即可．
【详解】解：设的中点为O，以为直径画圆，连接，设与的交点为点，

∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴点F在以为直径的半圆上运动，
∴当点F运动到与的交点时，线段有最小值，
∵，
∴，，
∴，
的最小值为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行线的性质，圆周角定理的推论，勾股定理等知识，根据题意分析得到点F的运动轨迹是解题的关键．
18．（Ⅰ）；（Ⅱ）画图见解析；
【分析】（Ⅰ）直接利用勾股定理进行计算即可；
（Ⅱ）如图，取格点，连接交于，记圆与格线的两个交点为，连接，由，可得为直径，取格点，连接并延长与交于点，由，结合为的中点，可得，可得为圆心，记于格线的交点为，由平行线分线段成比例可得为的中点，连接，并延长交于，连接即可；
【详解】解：（Ⅰ）；
（Ⅱ）如图，即为所求作的角平分线；

【点睛】本题考查的是勾股定理与勾股定理的逆定理的应用，等腰三角形的性质，圆周角定理的应用，矩形的性质，垂径定理的应用，三角形的外接圆的圆心的确定，熟练的利用垂径定理应用于作图是解本题的关键．
19．（Ⅰ），；（Ⅱ）① ②选择①时，
【分析】（Ⅰ）利用公式法解一元二次方程即可解题；
（Ⅱ）①根据一元二次方程根的判别式求解即可；②根据一元二次方程根与系数关系求解即可．
【详解】（Ⅰ）解：，
，
∵，
，
方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得，；
（Ⅱ）解：①∵一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，即，
解得，
②由题可得，，
当选择①时，，解得：或（舍去）；
当选择②时，，解得：；
当选择③时，则，即，解得：；
【点睛】本题考查一元二次方程的解法，根的判别式，根与系数的关系，，熟练掌握一元二次方程根的判别式与根的情况的关系，以及根与系数关系并能灵活运用是解答的关键．
20．(1)
(2)平滑曲线见详解，③
(3)
(4)（），
【分析】（1）将，代入函数解析式，即可求解；
（2）画出图象，观察图象即可求解；
（3）根据图象可找出当时，对应的近似值，即可求解；
（4）图象经过，，可求，验证，是否在抛物线上，从而可以确定s与t的函数关系式，再当即可求解．
【详解】（1）解：当时，，
，
，
故答案：．
（2）解：画图如下，

观察图象可知，除了③号点，其它各点都在同一个抛物线上，故这个计时点的位置编号可能是③．
故答案为：③；
（3）解：如图，

由图象得：当此滑雪者滑行距离为30m时，用时约为，
故答案：．
（4）解：由题意得，图象经过，，则有
，
解得：，
，
当时，
当时，
，
，在抛物线上，
s与t的函数关系式（），
当时，
（），
答：s与t的函数关系式（），滑雪者在故障位置的滑行距离．
【点睛】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，数形结合是解题的关键．
21．(1)
(2)
【分析】（1）直接利用圆周角定理得出的度数，再利用等弧所对的圆周角相等得到求出答案；
（2）连接，，首先求出的度数，得到为等边三角形，再根据等边三角形的性质求出答案．
【详解】（1）∵四边形内接于，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）连接，，
则，
又∵，
∴为等边三角形，
∴．
【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理的推论、等边三角形的判定和性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
22．(1)，；
(2)．
【分析】（1）由垂径定理得出，，求出，由圆周角定理得出，再由即可得出；
（2）同理（1）可求，再由三角形的外角性质即可得出．
【详解】（1）是的中点，
，
，，
，
，
，
∵，
；
（2）是的中点，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了垂径定理、圆周角定理、勾股定理、直角三角形的性质以及三角形的外角性质等知识；熟练掌握圆周角定理和勾股定理是解决问题的关键．
23．(1)
(2)当时，利润最大，最大为5520元
【分析】（1）(1)设4月份到6月份的月平均增长率为x，根据4月份的销售量为192件，6月份的销售量为300件，可列方程，求解即可；
（2）设定价为x元，利润为y元，列出函数关系式，找到对称轴根据二次函数的图象和性质求出最大值即可．
【详解】（1）解：设4月份到6月份销售量的月平均增长率为a，
则，
解得：，（舍去），
答：4月份到6月份销售量的月平均增长率为．
（2）设定价为x元，利润为y元，
则，
对称轴为，
∵销售利润不超过30%，
∴定价不能超过元，
∵，当时，y随x的增大而增大，
∴当时，利润最大，最大为5520元．
【点睛】本题考查二次函数的应用和一元二次方程的应用，找出等量关系式是解题的关键．
24．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）连接、，根据勾股定理先求出对角线的长，再利用旋转得到，，再次利用勾股定理即可解题；
（2）连接，利用勾股定理先求出长，然后得到，即，然后解题即可；
（3）连接，交于点O，连接，，则，即点M在以为圆心，以为半径的圆上运动，根据直径是圆中最长的弦可知，当为直径时，即点M与点D重合时，最大解题即可．
【详解】（1）解：连接、，
∵是矩形，
∴，
又∵，，
∴，
由旋转可得，
∴；
（2）如图，连接，
由题意可知，在 中，，
根据勾股定理得，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴；
（3）解：连接，交于点O，连接，，
∵是矩形，
∴，
∵点M是的中点，
∴是的中位线，
∴，
∴点M在以为圆心，以为半径的圆上运动，
根据直径是圆中最长的弦可知，当为直径时，即点M与点D重合时，最大，最大为：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了矩形的性质，三角形中位线，勾股定理，圆的性质，掌握这些知识点灵活运用是解题关键．
25．(1)，
(2)，
(3)取得最大值，此时
【分析】（1）根据题意，设抛物线解析式为，将点代入，即可求解；
（2）根据题意设设，则，求得的长，表示出的坐标，根据，两点关于点中心对称求得的值，进而得出的坐标，待定系数求得解析式，即可求解；
（3）设交于点，设，则，，得出是等腰直角三角形，，进而表示出，根据二次函数的性质，即可求解．
【详解】（1）解：设抛物线解析式为，将点代入得，
解得：
∴抛物线解析式为
当时，
解得：，
∵点在点的左侧，
∴，；
（2）解：∵，抛物线，与轴相交于，两点
∴，对称轴为直线，
设，则，
∴
∵点绕点逆时针方向旋转得到，则点一定在第四象限，如图所示，
则，，
∵，两点关于点中心对称，
∴
解得：，则
∴，
将点代入得，
解得：
∴抛物线解析式为；
（3）解：如图所示，设交于点，
由（1）可得，，
设直线的解析式为，将点代入得，
解得
所以直线的解析式为，
∵抛物线解析式为，
设，则，
∴,
∵轴，轴，
由∵
则是等腰直角三角形，
∴
∴也是等腰直角三角形，
∴
∴
∴当时，取得最大值
此时，即．
【点睛】本题考查了二次函数综合问题，旋转的性质，中心对称的性质，待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
位置编号
①
②
③
④
⑤
⑥
滑行时间t/s
0
1
2
3
4
滑行距离s/m
0
13
14
48