高中数学湘教版（2019）必修 第二册1.3 向量的数乘课时作业

这是一份高中数学湘教版（2019）必修 第二册1.3 向量的数乘课时作业，共6页。

1．3 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2a－4b))等于( )
A．5a＋7bB．5a－7b
C．6a＋12b D．6a－12b
2．设a是非零向量，λ是非零实数，下列结论中正确的是( )
A．a与λ2a的方向相同 B．a与－λa的方向相反
C．|λa|＝λ|a| D．|－λa|＝－λ|a|
3．设a是任一向量，e是单位向量，且a∥e，则下列表示形式中，正确的是( )
A．e＝ eq \f(a,|a|) B．a＝|a|e
C．a＝－|a|e D．a＝±|a|e
4．已知向量a＝e1－2e2，b＝2e1＋e2，其中e1，e2不共线，则a＋b与c＝6e1－2e2的关系是( )
A．不共线 B．共线
C．相等 D．无法确定
5．已知向量a，b，且 eq \(AB,\s\up6(→))＝a＋2b， eq \(BC,\s\up6(→))＝－5a＋6b， eq \(CD,\s\up6(→))＝7a－2b，则一定共线的三点是( )
A．A，B，D
B．A，B，C
C．B，C，D
D．A，C，D
6．(多选)对于非零向量a，下列说法正确的是( )
A．2a的长度是a的长度的2倍，且2a与a方向相同
B．－ eq \f(a,3)的长度是a的长度的 eq \f(1,3)，且－ eq \f(a,3)与a方向相反
C．若λ＝0，则λa等于零
D．若λ＝ eq \f(1,|a|)，则λa是与a同向的单位向量
7．已知a＝2e1＋e2，b＝e1－2e2，则a－b＝________，2a－3b＝________．
8．已知a、b、c为非零向量，且a与b不共线，若c∥a，则c与b必定________．
9．如图，在四边形ABCD中，E，F，G，H分别为BD，AB，AC，CD的中点，求证：四边形EFGH为平行四边形．
10．设两个非零向量e1，e2不共线，已知 eq \(AB,\s\up6(→))＝2e1＋ke2， eq \(CB,\s\up6(→))＝e1＋3e2， eq \(CD,\s\up6(→))＝2e1－e2.
问：是否存在实数k，使得A，B，D三点共线，若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．
[提能力]
11．已知△ABC的重心为O，则向量 eq \(BO,\s\up6(→))＝( )
A． eq \f(2,3) eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \f(1,3) eq \(AC,\s\up6(→)) B． eq \f(1,3) eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \f(2,3) eq \(AC,\s\up6(→))
C．－ eq \f(2,3) eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \f(1,3) eq \(AC,\s\up6(→)) D．－ eq \f(1,3) eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \f(2,3) eq \(AC,\s\up6(→))
12．(多选)已知D，E，F分别为△ABC的边BC，CA，AB的中点，且 eq \(BC,\s\up6(→))＝a， eq \(CA,\s\up6(→))＝b，给出下列结论，其中正确的有( )
A． eq \(AC,\s\up6(→))＝－bB． eq \(BE,\s\up6(→))＝a－ eq \f(1,2)b
C． eq \(BA,\s\up6(→))＝a＋b D． eq \(EF,\s\up6(→))＝ eq \f(1,2)a
13．已知△ABC和点M满足 eq \(MA,\s\up6(→))＋ eq \(MB,\s\up6(→))＋ eq \(MC,\s\up6(→))＝0.若存在实数m使得 eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \(AC,\s\up6(→))＝m eq \(AM,\s\up6(→))成立，则m＝________．
14．在平行四边形ABCD中， eq \(AB,\s\up6(→))＝a， eq \(AD,\s\up6(→))＝b， eq \(AN,\s\up6(→))＝3 eq \(NC,\s\up6(→))，M为BC的中点，则 eq \(MA,\s\up6(→))＝________， eq \(MN,\s\up6(→))＝________．(用a，b表示)
15．如图所示，在△ABC中，D、F分别是BC、AC的中点， eq \(AE,\s\up6(→))＝ eq \f(2,3) eq \(AD,\s\up6(→))， eq \(AB,\s\up6(→))＝a， eq \(AC,\s\up6(→))＝b.
(1)用a、b表示向量 eq \(AD,\s\up6(→))， eq \(AE,\s\up6(→))， eq \(AF,\s\up6(→))， eq \(BE,\s\up6(→))， eq \(BF,\s\up6(→))；
(2)求证：B，E，F三点共线．
[培优生]
16．设a，b，c为非零向量，其中任意两向量不共线，已知a＋b与c共线，且b＋c与a共线，则b与a＋c是否共线？请证明你的结论．
课时作业(四) 向量的数乘
1．解析：3eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2a－4b))＝6a－12b.
答案：D
2．解析：因为λ2>0，所以a与λ2a的方向相同，故A选项正确；当λ<0时，a与－λa的方向相同，故B选项错误；因为eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(λa))＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(λ))eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a))，当λ<0时，eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(λa))＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(λ))eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a))＝－λeq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a))，故C选项错误；eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(－λa))＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(λ))eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a))，当λ>0时，eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(－λa))＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(λ))eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a))＝λeq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a))，故D选项错误．
答案：A
3．解析：当a＝0时，eq \f(a,|a|)无意义，A错误；当a＝0时，BCD均正确；当a≠0时，由a∥e知：a与e同向或反向，知BC不全面，D正确．
答案：D
4．解析：因为a＝e1－2e2，b＝2e1＋e2，所以a＋b＝3e1－e2＝eq \f(1,2)c，
因此a＋b与c＝6e1－2e2的关系是共线．
答案：B
5．解析：∵＝－5a＋6b，＝7a－2b，∴＝＋＝2a＋4b，
又＝a＋2b，所以＝2，即∥，而，有公共点B，
∴A，B，D三点共线，A选项正确；
＝－4a＋8b，显然，，两两不共线，选项B，C，D都不正确．
答案：A
6．解析：2a的长度是a的长度的2倍，且2a与a方向相同，故A正确；－eq \f(a,3)的长度是a的长度的eq \f(1,3)，且－eq \f(a,3)与a方向相反，故B正确；若λ＝0，则λa等于零向量，不是零，故C错误；若λ＝eq \f(1,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a)))，则λa是与a同向的单位向量，故D正确．
答案：ABD
7．解析：a－b＝2e1＋e2－(e1－2e2)＝e1＋3e2，
2a－3b＝2(2e1＋e2)－3(e1－2e2)＝e1＋8e2.
答案：e1＋3e2 e1＋8e2
8．解析：因为a与b不共线，c∥a，
所以c与b不共线．
答案：不共线
9．证明：∵F，G分别是AB，AC的中点，
∴＝eq \f(1,2).
同理，＝eq \f(1,2).
∴＝，∴FG＝EH，FG∥EH，
∴四边形EFGH为平行四边形．
10．解析：设存在k∈R，使得A，B，D三点共线，
∵＝－＝(e1＋3e2)－(2e1－e2)＝－e1＋4e2，＝2e1＋ke2
又∵A，B，D三点共线，
∴＝λ，
∴2e1＋ke2＝λ(－e1＋4e2)，
∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2＝－λ,k＝4λ))，
解得k＝－8，
∴存在k＝－8，使得A，B，D三点共线．
11．解析：如图，设E，F，D分别是AC，AB，BC的中点，
由于O是三角形ABC的重心，
所以＝eq \f(2,3)＝eq \f(2,3)×＝eq \f(2,3)×＝－eq \f(2,3)＋eq \f(1,3).
答案：C
12.
解析：如图所示：
＝－＝－b，则A项正确；
＝＋＝a＋eq \f(1,2)b，则B项错误；
＝＋＝a＋b，则C项正确；
＝eq \f(1,2)＝－eq \f(1,2)＝－eq \f(1,2)a，则D项错误．
答案：AC
13．解析：由条件知M是△ABC的重心，设D是BC边的中点，
则＋＝2，而＝eq \f(2,3)，
所以2＝m·eq \f(2,3)，∴m＝3.
答案：3
14.
解析：如图，∵四边形ABCD是平行四边形，∴＝，又∵＝3，∴A，N，C三点共线，且＝－eq \f(1,4)，则＝＋＝eq \f(1,2)＋＝－eq \f(1,2)b－a，＝＋＝eq \f(1,2)－eq \f(1,4)＝eq \f(1,2)－eq \f(1,4)＝eq \f(1,2)b－eq \f(1,4)(a＋b)＝－eq \f(1,4)a＋eq \f(1,4)b.
答案：－eq \f(1,2)b－a －eq \f(1,4)a＋eq \f(1,4)b
15.
解析：(1)如图，延长AD到G，使＝eq \f(1,2)，连接BG，CG，得到平行四边形ABGC，所以＝a＋b，
＝eq \f(1,2)＝eq \f(1,2)(a＋b)，＝eq \f(2,3)＝eq \f(1,3)(a＋b)，＝eq \f(1,2)＝eq \f(1,2)b，则＝－＝eq \f(1,3)(a＋b)－a＝eq \f(1,3)(b－2a)，＝－＝eq \f(1,2)b－a＝eq \f(1,2)(b－2a).
(2)证明：由(1)可知＝eq \f(2,3)，因为与有公共点B，所以B，E，F三点共线．
16．解析：b与a＋c共线，证明如下：因为a＋b与c共线，所以存在唯一实数λ，使得a＋b＝λc.①
因为b＋c与a共线，所以存在唯一实数μ，使得b＋c＝μa.②
由①－②，得a－c＝λc－μa，所以(1＋μ)a＝(1＋λ)c，
又因为a与c不共线，所以1＋μ＝0，1＋λ＝0，所以μ＝－1，λ＝－1，所以a＋b＝－c，即a＋b＋c＝0，所以a＋c＝－b，故a＋c与b共线．