湘教版（2019）必修 第二册第3章 复数3.4 复数的三角表示同步测试题

这是一份湘教版（2019）必修 第二册第3章 复数3.4 复数的三角表示同步测试题，共6页。
1．下列复数是三角形式的是( )
A．2 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs \f(π,3)－isin \f(π,3)))
B．2 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs \f(π,3)＋isin \f(π,6)))
C．－2 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs \f(π,3)＋isin \f(π,3)))
D．2 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs \f(7π,5)＋isin \f(7π,5)))
2．复数 eq \f(\r(3),2)＋ eq \f(1,2)i化成三角形式，正确的是( )
A．cs eq \f(π,3)＋isin eq \f(π,3)
B．cs eq \f(π,6)＋isin eq \f(π,6)
C．cs eq \f(2π,3)＋isin eq \f(2π,3)
D．cs eq \f(11π,6)＋isin eq \f(11π,6)
3．将复数4 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(cs \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)))＋isin \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)))))化成代数形式，正确的是( )
A．4 B．－4
C．4i D．－4i
4．2÷2(cs 60°＋isin 60°)＝( )
A． eq \f(1,2)＋ eq \f(\r(3),2)i B． eq \f(1,2)－ eq \f(\r(3),2)i
C． eq \f(\r(3),2)＋ eq \f(1,2)i D． eq \f(\r(3),2)－ eq \f(1,2)i
5．若复数z的模为2，其辐角为 eq \f(2π,3)，则 eq \f(z,i)＝( )
A． eq \r(3)＋i B． eq \r(3)－i
C．1－ eq \r(3)i D．1＋ eq \r(3)i
6．棣莫弗公式(cs x＋i·sin x)n＝cs (nx)＋i·sin (nx)(其中i为虚数单位)是由法国数学家棣莫弗(1667～1754)发现的，根据棣莫弗公式可知，复数 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs \f(π,3)＋i·sin \f(π,3))) eq \s\up12(4)在复平面内所对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
7．复数－i的三角形式为________．
8．复数sin 1－ics 1的辐角主值是________．
9．如图，向量 eq \(OZ,\s\up6(→))对应的复数为－1＋i，把 eq \(OZ,\s\up6(→))绕点O按逆时针方向旋转150°，得到OZ1，求向量OZ1对应的复数(用代数形式表示).
10．设复数z＝(1－ eq \r(3) i)5，求z的模和辐角的主值．
[提能力]
11. eq \f(1,2)(cs 30°＋isin 30°)×2(cs 60°＋isin 60°)×3(cs 45°＋isin 45°)＝( )
A． eq \f(3\r(2),2)＋ eq \f(3\r(2),2)i B． eq \f(3\r(2),2)－ eq \f(3\r(2),2)i
C．－ eq \f(3\r(2),2)＋ eq \f(3\r(2),2)i D．－ eq \f(3\r(2),2)－ eq \f(3\r(2),2)i
12．复数－i的一个立方根是i，它的另外两个立方根是( )
A． eq \f(\r(3),2)± eq \f(1,2)i B．－ eq \f(\r(3),2)± eq \f(1,2)i
C．± eq \f(\r(3),2)＋ eq \f(1,2)i D．± eq \f(\r(3),2)－ eq \f(1,2)i
13．复数z＝cs eq \f(π,15)＋isin eq \f(π,15)是方程x5－α＝0的一个根，那么α的值等于________．
14．已知复数z＝sin eq \f(π,6)－ics eq \f(π,6)，若zn＝z(n∈N*，且n≠1)，则n的最小值为________．
15．设复数z1＝ eq \r(3)＋i，复数z2满足|z2|＝2，且z1·z eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) 在复平面内对应的点在虚轴的负半轴上，且argz2∈(0，π)，求z2的代数形式．
[培优生]
16．欧拉公式eix＝cs x＋isin x(e为自然对数的底数，i为虚数单位，x∈R)是由瑞士著名数学家欧拉提出的，它将指数函数的定义域扩大到复数，阐述了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式：
(1)判断复数e2i在复平面内对应的点位于第几象限，并说明理由；
(2)若eix0，A，B，C均不是这种形式，其中A选项，2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(π,3)－isin\f(π,3)))中－isineq \f(π,3)不满足；
B选项，2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(π,3)＋isin\f(π,6)))中eq \f(π,3)≠eq \f(π,6)不满足；
C选项，－2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(π,3)＋isin\f(π,3)))中－2