数学3.2 复数的四则运算综合训练题

这是一份数学3.2 复数的四则运算综合训练题，共6页。

1. eq \f(3－6i,i)＝( )
A．－6＋3i B．－6－3i
C．6＋3i D．6－3i
2．复数z＝ eq \f(（1＋i）2,2i)，则z＝( )
A．i B．1
C．－1 D．－i
3．已知(z－i)i＝5，则复数z的实部是( )
A．－4 B．4
C．0 D．－4i
4．复数 eq \f(i2＋i3＋i4,1－i)＝( )
A．－ eq \f(1,2)－ eq \f(1,2)i B．－ eq \f(1,2)＋ eq \f(1,2)i
C． eq \f(1,2)－ eq \f(1,2)i D． eq \f(1,2)＋ eq \f(1,2)i
5．已知复数z满足z(i＋1)＝i2 021－1，则复数z的虚部为( )
A．1 B．－1
C．i D．－i
6．(多选)下列各式的运算结果为纯虚数的是( )
A．i3(1＋i)2 B．i2(1－i)2
C． eq \f(1＋i,1－i)D． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1－i,1＋i))) eq \s\up12(2)
7．若z(1＋i)＝2i，则z＝________．
8．复数z＝ eq \f(1＋i,1－2i)(i为虚数单位)，则z的虚部是________．
9．计算：
(1) eq \f(（－1＋i）（2＋i）,i3)；
(2) eq \f(（1＋2i）2＋3（1－i）,2＋i).
10．已知复数z＝ eq \f(（1－i）2＋3（1＋i）,2－i).
(1)求复数z；
(2)若z2＋az＋b＝1－i，求实数a，b的值．
[提能力]
11．设a是实数，且 eq \f(a,1＋i)＋ eq \f(1＋i,2)是实数，则a等于( )
A． eq \f(1,2) B．1
C． eq \f(3,2) D．2
12．(多选)x2－(3－2i)x－6i＝0，则下列叙述正确的有( )
A．当x∈C时，x＝3
B．当x∈C时，x＝3，或x＝－2i
C．当x∈R时，x＝3，或x＝－2i
D．当x∈R时，x＝3
13．若复数 eq \f(a＋2i,2－i)(i是虚数单位)是纯虚数，则实数a＝________．
14．在复数范围内，方程x2＋4x＋5＝0的解集为________．
15．已知z是复数，z＋2i， eq \f(z,2－i)均为实数(i为虚数单位)，对于复数w＝(z－ai)2，当a为何值时，w为：
(1)实数；
(2)虚数；
(3)纯虚数．
[培优生]
16．在复数集中解关于x的方程：x2＋ax＋4＝0(a∈R).
课时作业(二十四) 复数的四则运算(2)
1．解析：eq \f(3－6i,i)＝eq \f(（3－6i）·（－i）,i·（－i）)＝－(6＋3i)＝－6－3i.
答案：B
2．解析：z＝eq \f(（1＋i）2,2i)＝eq \f(1＋2i＋i2,2i)＝eq \f(2i,2i)＝1.
答案：B
3．解析：由(z－i)i＝5，得z·i－i2＝5，
z＝eq \f(4,i)＝－4i，
所以复数z的实部为0.
答案：C
4．解析：因为i2＝－1，i3＝－i，i4＝1，所以eq \f(i2＋i3＋i4,1－i)＝eq \f(－i,1－i)＝eq \f(－i（1＋i）,2)＝eq \f(1,2)－eq \f(1,2)i.
答案：C
5．解析：因为i2021＝i2020×i＝(i4)505×i＝i，
所以z＝eq \f(i2021－1,i＋1)＝eq \f(i－1,i＋1)＝eq \f(（i－1）2,（i＋1）（i－1）)＝eq \f(－2i,－2)＝i.
故z的虚部为1.
答案：A
6．解析：A中，i3(1＋i)2＝－i(1＋2i＋i2)＝－2i2＝2，不正确；
B中，i2(1－i)2＝－1×(－2i)＝2i，正确；
C中，eq \f(1＋i,1－i)＝eq \f(（1＋i）2,（1－i）（1＋i）)＝i，正确；
D中，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1－i,1＋i)))eq \s\up12(2)＝eq \f(（1－i）2,（1＋i）2)＝eq \f(－2i,2i)＝－1，不正确．
答案：BC
7．解析：由题知z＝eq \f(2i,1＋i)＝eq \f(2i（1－i）,（1＋i）（1－i）)＝1＋i.
答案：1＋i
8．解析：∵z＝eq \f(1＋i,1－2i)＝eq \f(（1＋i）（1＋2i）,（1－2i）（1＋2i）)＝eq \f(－1＋3i,5)＝－eq \f(1,5)＋eq \f(3,5)i，因此，复数z的虚部为eq \f(3,5).
答案：eq \f(3,5)
9．解析：(1)eq \f(（－1＋i）（2＋i）,i3)＝eq \f(－3＋i,－i)＝－1－3i.
(2)eq \f(（1＋2i）2＋3（1－i）,2＋i)＝eq \f(－3＋4i＋3－3i,2＋i)
＝eq \f(i,2＋i)＝eq \f(i（2－i）,5)＝eq \f(1,5)＋eq \f(2,5)i.
10．解析：(1)z＝eq \f(－2i＋3＋3i,2－i)＝eq \f(3＋i,2－i)＝eq \f(（3＋i）（2＋i）,5)＝1＋i.
(2)把z＝1＋i代入z2＋az＋b＝1－i，
得(1＋i)2＋a(1＋i)＋b＝1－i，
整理得a＋b＋(2＋a)i＝1－i，
所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＋b＝1，,2＋a＝－1，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝－3，,b＝4.))
11．解析：∵eq \f(a,1＋i)＋eq \f(1＋i,2)＝eq \f(a（1－i）,2)＋eq \f(1＋i,2)＝eq \f(1＋a,2)＋eq \f(1－a,2)i，
又∵eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,1＋i)＋\f(1＋i,2)))∈R，∴eq \f(1－a,2)＝0，解得a＝1.
答案：B
12．解析：x2－(3－2i)x－6i＝0
当x∈R时，x2－3x－(6－2x)i＝0，
所以x2－3x＝6－2x＝0，解得x＝3；
当x∈C时，设x＝a＋bi，a，b∈R，
(a＋bi)2－(3－2i)(a＋bi)－6i＝(a2－b2－3a－2b)＋(2ab－3b＋2a－6)i＝0，
所以a2－b2－3a－2b＝2ab－3b＋2a－6＝0，
解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝0,b＝－2))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝3,b＝0))，
故x＝3，或x＝－2i.
答案：BD
13．解析：根据复数的除法运算，可得eq \f(a＋2i,2－i)＝eq \f(（a＋2i）（2＋i）,（2－i）（2＋i）)＝eq \f(2a－2,5)＋eq \f(a＋4,5)i，
因为复数eq \f(a＋2i,2－i)是纯虚数，可得eq \f(2a－2,5)＝0且eq \f(a＋4,5)≠0，解得a＝1.
答案：1
14．解析：Δ＝16－4×1×5＝－4，
由求根公式可得x＝eq \f(－b±\r(|Δ|)·i,2a)＝eq \f(－4±\r(4)·i,2)＝eq \f(－4±2i,2)＝－2±i，
所以方程的解集为{－2＋i，－2－i}．
答案：{－2＋i，－2－i}
15．解析：设z＝x＋yi(x，y∈R)，
所以z＋2i＝x＋(y＋2)i为实数，可得y＋2＝0，所以y＝－2，
eq \f(z,2－i)＝eq \f(x－2i,2－i)＝eq \f(（x－2i）（2＋i）,（2－i）（2＋i）)＝eq \f(1,5)(x－2i)(2＋i)＝eq \f(1,5)(2x＋2)＋eq \f(1,5)(x－4)i，
所以eq \f(1,5)(x－4)＝0，可得：x＝4，所以z＝4－2i.
因为w＝(z－ai)2＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(4－（a＋2）i))eq \s\up12(2)＝16－(a＋2)2－8(a＋2)i
＝(12－4a－a2)－8(a＋2)i
(1)当w为实数时，令a＋2＝0，所以a＝－2，
(2)w为虚数，只要a＋2≠0，所以a≠－2，
(3)w为纯虚数，只要eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(12－4a－a2＝0,a＋2≠0))，解得：a＝2或a＝－6.
16．解析：Δ＝a2－16.
当Δ>0时，即a<－4或a>4时，x1＝eq \f(－a＋\r(a2－16),2)，x2＝eq \f(－a－\r(a2－16),2)；
当Δ＝0时，即a＝±4时，x1＝x2＝－2或x1＝x2＝2；
当Δ<0时，即－4综上所述，当a<－4或a>4时，原方程的根为x1＝eq \f(－a＋\r(a2－16),2)，x2＝eq \f(－a－\r(a2－16),2)；
当a＝4时，原方程的根为x1＝x2＝－2；
当a＝－4时，原方程的根为x1＝x2＝2；
当－4