湘教版（2019）必修 第二册第4章 立体几何初步4.2 平面习题

这是一份湘教版（2019）必修 第二册第4章 立体几何初步4.2 平面习题，共6页。
1．设α，β是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，且l⊂α，m⊂β( )
A．若l⊥β，则α⊥β B．若α⊥β，则l⊥m
C．若l∥β，则α∥β D．若α∥β，则l∥m
2．如图所示，在三棱锥P ­ ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC＝90°，则二面角B ­ PA ­ C的大小为( )
A．90° B．60°
C．45° D．30°
3．已知直线a，b与平面α，β，γ，下列能使α⊥β成立的条件是( )
A．α⊥γ，β⊥γ B．α∩β＝a，b⊥a，b⊂β
C．a∥β，a∥α D．a∥α，a⊥β
4．如图所示，在四面体D ­ ABC中，若AB＝BC，AD＝CD，E是AC的中点，则下列命题中正确的是( )
A．平面ABC⊥平面ABD
B．平面ABD⊥平面BDC
C．平面ABC⊥平面BDE，且平面ADC⊥平面BDE
D．平面ABC⊥平面ADC，且平面ADC⊥平面BDE
5．过两点与一个已知平面垂直的平面( )
A．有且只有一个 B．有无数个
C．有且只有一个或无数个 D．可能不存在
6．(多选)已知α，β是空间两个不同的平面，m，n是空间两条不同的直线，则给出的下列说法中正确的是( )
A．m∥α，n∥β，且m∥n，则α∥β
B．m∥α，n∥β，且m⊥n，则α⊥β
C．m⊥α，n⊥β，且m∥n，则α∥β
D．m⊥α，n⊥β，且m⊥n，则α⊥β
7.
如图，检查工件的相邻两个面是否垂直时，只要用曲尺的一边紧靠在工件的一个面上，另一边在工件的另一个面上转动，观察尺边是否和这个面密合就可以了，其原理是利用了________________．
8.
如图，已知PD垂直于正方形ABCD所在的平面，连接PB，PC，PA，AC，BD，则一定互相垂直的平面有________对．
9．如图所示，四边形ABCD是边长为a的菱形，PC⊥平面ABCD，E是PA的中点，求证：平面BDE⊥平面ABCD.
10．如图，在空间四边形ABCD中，AB＝BC，CD＝DA，E，F，G分别是CD，DA，AC的中点，求证：平面BEF⊥平面BGD.
[提能力]
11.
如图，在四棱锥S­ABCD中，底面ABCD为正方形，SA⊥平面ABCD，AC与BD相交于点O，点P是侧棱SC上一动点，则一定与平面PBD垂直的平面是( )
A．平面SAB B．平面SAC
C．平面SCD D．平面ABCD
12.
(多选)如图，AC为圆O的直径，∠PCA＝45°，PA垂直于圆O所在的平面，B为圆周上不与点A，C重合的点，AS⊥PC于S, AN⊥PB于N，则下列选项正确的是( )
A．平面ANS⊥平面PBC
B．平面ANS⊥平面PAB
C．平面PAB⊥平面PBC
D．平面ABC⊥平面PAC
13.
如图所示，在四棱锥P ­ ABCD中，PA⊥平面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上一动点．当点M满足____________时，平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为正确的条件即可)
14．以等腰直角三角形斜边上的高为棱，把它折成直二面角，则折叠后原等腰直角三角形两条直角边的夹角为________．
15．如图，在三棱柱ABC­A1B1C1中，A1A＝A1B＝A1C＝2 eq \r(2)，AB＝AC＝2，∠BAC＝90°.
证明：平面A1BC⊥平面A1B1C1.
[培优生]
16．如图，在矩形ABCD中，AB＝ eq \r(2)，BC＝2，E为BC的中点，把△ABE和△CDE分别沿AE，DE折起，使点B与点C重合于点P.
(1)求证：平面PDE⊥平面PAD；
(2)求二面角P ­ AD ­ E的大小．
课时作业(三十九) 平面与平面垂直的判定
1．解析：因为l⊥β，l⊂α，所以α⊥β(面面垂直的判定定理)，故A正确．
答案：A
2．解析：因为PA⊥平面ABC，BA，CA⊂平面ABC，所以BA⊥PA，CA⊥PA，
因此∠BAC即为二面角BPAC的平面角．
又∠BAC＝90°，所以二面角BPAC的大小为90°.
答案：A
3．解析：由a∥α，知α内必有直线l与a平行．而a⊥β，所以l⊥β，所以α⊥β.
答案：D
4．解析：因为AB＝BC，且E是AC的中点，所以BE⊥AC.同理，DE⊥AC.又BE∩DE＝E，所以AC⊥平面BDE.
因为AC⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面BDE.
因为AC⊂平面ACD，所以平面ACD⊥平面BDE.
答案：C
5．解析：设两点为A，B，平面为α，若直线AB⊥α，则过A、B与α垂直的平面有无数个；若直线AB与α不垂直，即直线AB与α平行、相交或在平面α内，均存在唯一平面垂直于已知平面．
答案：C
6．解析：若m∥α，n∥β，且m∥n，则α，β可能相交或平行，故A错误；若m∥α，n∥β，且m⊥n，则α，β可能相交，也可能平行，故B错误；若m⊥α，m∥n，则n⊥α，又n⊥β，则α∥β，故C正确；若m⊥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α，又n⊥β，根据面面垂直的判定定理可得：α⊥β，故D正确．
答案：CD
7．解析：如图，因为OA⊥OB，OA⊥OC，OB⊂β，OC⊂β，OB∩OC＝O，根据线面垂直的判定定理，可得OA⊥β.又OA⊂α，根据面面垂直的判定定理，可得α⊥β.
答案：面面垂直的判定定理
8．解析：在四棱锥PABCD中，
①因为PD⊥平面ABCD，PD⊂平面PAD，所以平面PAD⊥平面ABCD；
同理可证：平面PBD⊥平面ABCD；平面PCD⊥平面ABCD；
②因为PD⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，所以PD⊥AB.
因为ABCD为正方形，所以AB⊥AD.
又PD，AD在平面PAD内，且相交于点D，所以AB⊥平面PAD.
又AB⊂平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAD.
同理可证：平面PCB⊥平面PCD，平面PAC⊥平面PBD，平面PCD⊥平面PAD.
所以一定互相垂直的平面有7对．
答案：7
9．证明：连接AC，设AC∩BD＝O，连接OE.因为O为AC中点，E为PA的中点，所以EO是△PAC的中位线，所以EO∥PC.因为PC⊥平面ABCD，所以EO⊥平面ABCD.
又因为EO⊂平面BDE，
所以平面BDE⊥平面ABCD.
10．证明：∵AB＝BC，G为AC中点，所以AC⊥BG.同理可证AC⊥DG.
又∵BG∩DG＝G，∴AC⊥平面BGD.
∵E，F分别为CD，DA的中点，∴EF∥AC，∴EF⊥平面BGD.
又∵EF⊂平面BEF，∴平面BEF⊥平面BGD.
11．解析：因为在四棱锥SABCD中，底面ABCD为正方形，所以BD⊥AC.
因为SA⊥平面ABCD，所以SA⊥BD.
因为SA∩AC＝A，所以BD⊥平面SAC.
因为BD⊂平面PBD，
所以平面PBD⊥平面SAC.
答案：B
12．解析：∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC，∵圆O中，AC是直径，∴BC⊥AB，∵PA∩AB＝A，∴BC⊥平面PAB，
∴BC⊥AN，∵AN⊥PB，PB∩BC＝B，∴AN⊥平面PBC，
∵AN⊂平面ANS，∴平面ANS⊥平面PBC，故A正确；∵AN⊥PB，则要使平面ANS⊥平面PAB，则必有PB⊥平面ANS，但无法判断PB⊥NS，故无法判断平面ANS⊥平面PAB，故B错误；由A选项知BC⊥平面PAB，∵BC⊂平面PBC，∴平面PAB⊥平面PBC，故C正确；∵PA⊥平面ABC，PA⊂平面PAC，
∴平面ABC⊥平面PAC，故D正确．
答案：ACD
13．解析：
如图，连接AC，则BD⊥AC.由PA⊥平面ABCD，可知BD⊥PA，所以BD⊥平面PAC，所以BD⊥PC，所以当DM⊥PC(或BM⊥PC)时，即有PC⊥平面MBD.而PC⊂平面PCD，所以平面MBD⊥平面PCD.
答案：DM⊥PC(或BM⊥PC等)
14．解析：
如图所示，是等腰直角三角形ABC以斜边AB上的高CD为棱，折成直二面角后的图形，折叠后AD⊥CD，BD⊥DC，∠ADB即所成二面角的平面角，故∠ADB＝90°.设AD＝a，则有BD＝CD＝a，所以AB＝AC＝BC＝eq \r(2)a，所以△ABC是等边三角形，所以折叠后原等腰直角三角形两条直角边AC，BC的夹角为60°.
答案：60°
15．证明：
如图，取BC的中点M，连AM，A1M，
因为AB＝AC＝2，∠BAC＝90°，
所以BC＝2eq \r(2)，AM＝eq \r(2)，
又因为A1B＝A1C＝2eq \r(2)，所以A1M＝eq \r(6)，
在△A1AM中，由A1A＝2eq \r(2)，满足A1A2＝AM2＋A1M2，
所以A1M⊥AM，且A1M⊥BC，BC∩AM＝M，BC，AM⊂平面ABC，
所以A1M⊥平面ABC，
又A1M⊂平面A1BC，所以平面A1BC⊥平面ABC，
又平面ABC∥平面A1B1C1，所以平面A1BC⊥平面A1B1C1.
16．解析：(1)证明：由AB⊥BE，得AP⊥PE.
同理可得DP⊥PE.
又∵AP∩DP＝P，∴PE⊥平面PAD.
又PE⊂平面PDE，∴平面PDE⊥平面PAD.
(2)如图，取AD的中点F，连接PF，EF，则PF⊥AD，EF⊥AD.
∴∠PFE就是二面角PADE的平面角．又PE⊥平面PAD，∴PE⊥PF.
∵EF＝AB＝eq \r(2)，PF＝eq \r(（\r(2)）2－1)＝1，
∴cs∠PFE＝eq \f(PF,EF)＝eq \f(\r(2),2).
∴二面角PADE的大小为45°.