高中数学湘教版(2019)必修 第二册4.2 平面习题
展开1.已知平面α∥平面β,a⊂α,b⊂β,则直线a,b的位置关系是( )
A.平行 B.相交
C.异面 D.平行或异面
2.两个平行平面与另两个平行平面相交得四条直线的位置关系是( )
A.两两相互平行
B.两两相交于同一点
C.两两相交但不一定交于同一点
D.两两相互平行或交于同一点
3.如图,已知平面α∥平面β,点P为α,β外一点,直线PB,PD分别与α,β相交于A,B和C,D,则AC与BD的位置关系为( )
A.平行 B.相交
C.异面 D.平行或异面
4.在长方体ABCD A1B1C1D1中,若经过D1B的平面分别交AA1和CC1于点E,F,则四边形D1EBF的形状是( )
A.矩形 B.菱形
C.平行四边形 D.正方形
5.平面α∥平面β,点A,C在平面α内,点B,D在平面β内,若AB=CD,则AB,CD的位置关系是( )
A.平行 B.相交
C.异面 D.以上都有可能
6.(多选)下列命题正确的是( )
A.平面α∥平面β,一条直线a平行于平面α,则a一定平行于平面β
B.平面α∥平面β,则平面α内的任意一条直线都平行于平面β
C.一个三角形有两条边所在的直线分别平行于一个平面,那么该三角形所在的平面与这个平面平行
D.分别在两个平行平面内的两条直线只能是平行直线或异面直线
7.
用一个平面去截三棱柱ABCA1B1C1,交A1C1,B1C1,BC,AC分别于点E,F,G,H.若A1A>A1C1,则截面的形状可以为________.(把你认为可能的结果的序号填在横线上)
①一般的平行四边形;②矩形;③菱形;④正方形;⑤梯形.
8.如图,平面α∥平面β,△PAB所在的平面与α,β分别交于CD,AB,若PC=2,CA=3,CD=1,则AB=________.
9.如图所示,A1B1C1D1ABCD是四棱台,求证:B1D1∥BD.
10.如图,在四棱柱ABCD A1B1C1D1中,底面ABCD为等腰梯形,AB∥CD,AB=2CD,E,E1分别是棱AD,AA1上的点.设F是棱AB的中点.
求证:直线EE1∥平面FCC1.
[提能力]
11.如图所示,P是三角形ABC所在平面外一点,平面α∥平面ABC,α分别交线段PA、PB、PC于A′、B′、C′,若PA′∶AA′=2∶3,则S△A′B′C′∶S△ABC等于( )
A.2∶25 B.4∶25
C.2∶5 D.4∶5
12.设α∥β,A∈α,B∈β,C是AB的中点,当A、B分别在平面α、β内运动时,得到无数个AB的中点C,那么所有的动点C( )
A.不共面
B.当且仅当A、B分别在两条直线上移动时才共面
C.当且仅当A、B分别在两条给定的异面直线上移动时才共面
D.不论A、B如何移动,都共面
13.正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为3,点E在A1B1上,且B1E=1,平面α∥平面BC1E,若平面α∩平面AA1B1B=A1F,则AF的长为________.
14.在正方体ABCDA1B1C1D1中,AB=4,M,N分别为棱A1D1,A1B1的中点,过点B的平面α∥平面AMN,则平面α截该正方体所得截面是________形,面积为________.
15.如图,在三棱柱ABCA1B1C1中,E,F,G分别为B1C1,A1B1,AB的中点.若平面A1C1G∩BC=H,求证:H为BC的中点.
[培优生]
16.如图,已知正方体ABCDA1B1C1D1.
(1)求证:平面AB1D1∥平面C1BD;
(2)试找出体对角线A1C与平面AB1D1和平面C1BD的交点E,F,并证明A1E=EF=FC.
课时作业(三十八) 平面与平面平行的性质
1.解析:∵平面α∥平面β,∴平面α与平面β没有公共点.∵a⊂α,b⊂β,∴直线a,b没有公共点,∴直线a,b的位置关系是平行或异面.
答案:D
2.解析:根据平面与平面平行的性质可知,所得四条直线两两相互平行.
答案:A
3.解析:由题意知:P,A,B,C,D在同一平面内,且平面PBD∩平面α=AC,平面PBD∩平面β=BD,∵平面α∥平面β,∴AC∥BD.
答案:A
4.解析:如图,在长方体ABCDA1B1C1D1中,
平面ABB1A1∥平面CDD1C1,过D1B的平面BED1F与平面ABB1A1交于直线BE,与平面CDD1C1交于直线D1F.
由面面平行的性质定理,知BE∥D1F.
同理BF∥D1E.
所以四边形D1EBF为平行四边形.
答案:C
5.解析:可将AB与CD想象为同高圆台的母线,显然相交、平行、异面都有可能.
答案:D
6.解析:平面α∥平面β,一条直线a平行于平面α,则a可能在平面β内,故A错误;平面α∥平面β,则α内的任意一条直线都平行于平面β,故B正确;一个三角形有两条边所在的直线平行于一个平面,由面面平行的判定知,三角形所在的平面与这个平面平行,故C正确;分别在两个平行平面内的两条直线只能是平行直线或异面直线,不可能相交,故D正确.
答案:BCD
7.解析:当FG∥B1B时,四边形EFGH为矩形;当FG不与B1B平行时,四边形EFGH为梯形.
答案:②⑤
8.解析:∵平面α∥平面β,∴CD∥AB,则eq \f(PC,PA)=eq \f(CD,AB),
∴AB=eq \f(PA×CD,PC)=eq \f(5×1,2)=eq \f(5,2).
答案:eq \f(5,2)
9.证明:根据棱台的定义可知,BB1与DD1相交,
所以BD与B1D1共面.
又因为平面ABCD∥平面A1B1C1D1,
且平面BB1D1D∩平面ABCD=BD,
平面BB1D1D∩平面A1B1C1D1=B1D1,
所以B1D1∥BD.
10.证明:因为F为AB的中点,所以AB=2AF,
又因为AB=2CD,所以CD=AF,
因为AB∥CD,所以CD∥AF,所以AFCD为平行四边形,
所以FC∥AD,又FC⊄平面ADD1A1,
AD⊂平面ADD1A1所以FC∥平面ADD1A1,
因为CC1∥DD1,CC1⊄平面ADD1A1,
DD1⊂平面ADD1A1,
所以CC1∥平面ADD1A1,又FC∩CC1=C,
所以平面ADD1A1∥平面FCC1.
又EE1⊂平面ADD1A1,所以EE1∥平面FCC1.
11.解析:∵平面α∥平面ABC,平面PAB与它们的交线分别为A′B′,AB,∴AB∥A′B′,
同理B′C′∥BC,易得△ABC∽△A′B′C′,
S△A′B′C′∶S△ABC=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(A′B′,AB)))eq \s\up12(2)=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(PA′,PA)))eq \s\up12(2)=eq \f(4,25).
答案:B
12.解析:
如图所示,A′、B′分别是A、B两点在α、β上运动后的两点,此时AB中点C变成A′B′的中点C′,连接A′B,取A′B的中点E.连接CE、C′E、AA′、BB′、CC′,则CE∥AA′,∴CE∥α.
又C′E∥BB′,∴C′E∥β.
又∵α∥β,∴C′E∥α.
∵C′E∩CE=E,∴平面CC′E∥平面α,
∴CC′∥平面α.
∴不论A、B如何移动,所有的动点C都在过C点且与α、β平行的平面上.
答案:D
13.解析:因为平面α∥平面BC1E,平面α∩平面AA1B1B=A1F,平面BC1E∩平面AA1B1B=BE,所以A1F綊BE,
所以Rt△A1AF≌Rt△BB1E,
所以AF=B1E=1.
答案:1
14.
解析:如图所示,截面为等腰梯形BDPQ,且PQ=2eq \r(2),BD=4eq \r(2),等腰梯形的高为eq \r((42+22)-(\r(2))2)=3eq \r(2),
故截面的面积为eq \f(1,2)×(2eq \r(2)+4eq \r(2))×3eq \r(2)=18.
答案:等腰梯 18
15.解析:∵E,F分别为B1C1,A1B1的中点,∴EF∥A1C1,
∵A1C1⊂平面A1C1G,EF⊄平面A1C1G,∴EF∥平面A1C1G,
又F,G分别为A1B1,AB的中点,∴A1F=BG,
又A1F∥BG,∴四边形A1GBF为平行四边形,则BF∥A1G,
∵A1G⊂平面A1C1G,BF⊄平面A1C1G,∴BF∥平面A1C1G,
又EF∩BF=F,EF,BF⊂面BEF,
∴平面A1C1G∥平面BEF;
∵平面ABC∥平面A1B1C1,
平面A1C1G∩平面A1B1C1=A1C1,
平面A1C1G与平面ABC有公共点G,则有经过G的直线,设交BC于点H,
则A1C1∥GH,得GH∥AC,
∵G为AB的中点,∴H为BC的中点.
16.解析:(1)因为在正方体ABCDA1B1C1D1中,AD∥B1C1,
所以四边形AB1C1D是平行四边形,
所以AB1∥C1D,
又因为C1D⊂平面C1BD,AB1⊄平面C1BD,
所以AB1∥平面C1BD.
同理B1D1∥平面C1BD.
又因为AB1∩B1D1=B1,AB1⊂平面AB1D1,B1D1⊂平面AB1D1,
所以平面AB1D1∥平面C1BD.
(2)如图,连接A1C1交B1D1于点O1,连接AO1与A1C交于点E.
又因为AO1⊂平面AB1D1,
所以点E也在平面AB1D1内,
所以点E就是A1C与平面AB1D1的交点.
连接AC交BD于点O,连接C1O,与A1C交于点F,则点F就是A1C与平面C1BD的交点.
下面证明A1E=EF=FC.
因为平面A1C1C∩平面AB1D1=EO1,平面A1C1C∩平面C1BD=C1F,而平面AB1D1∥平面C1BD,
所以EO1∥C1F.
在△A1C1F中,O1是A1C1的中点,
所以E是A1F的中点,即A1E=EF.
同理可证OF∥AE,又因为O为AC的中点,
所以F是CE的中点,即CF=FE.
因此A1E=EF=FC.
高中数学4.2 平面测试题: 这是一份高中数学4.2 平面测试题,共6页。
高中数学湘教版(2019)必修 第二册4.2 平面课后作业题: 这是一份高中数学湘教版(2019)必修 第二册4.2 平面课后作业题,共6页。
高中湘教版(2019)第4章 立体几何初步4.2 平面课后测评: 这是一份高中湘教版(2019)第4章 立体几何初步4.2 平面课后测评,共6页。