高中数学湘教版（2019）必修 第二册第6章 数学建模6.2 数学建模——从自然走向理性之路课后作业题

这是一份高中数学湘教版（2019）必修 第二册第6章 数学建模6.2 数学建模——从自然走向理性之路课后作业题，共6页。试卷主要包含了38，xB＝5，72，即对应时刻约为6，75等内容，欢迎下载使用。


(1)选用一个三角函数来近似地描述这个港口的水深值与时间的函数关系，给出整点时水深的近似数值；
(2)一条货船的吃水深度(船底与水面的距离)为4 m，安全条例规定至少要有1.5 m的安全间隙(船底与海底的距离)，该船何时能进入港口？在港口能停多久？
(3)某船的吃水深度为4 m．安全间隙为1.5 m，该船在2：00开始卸货，吃水深度以每小时0.3 m的速度减小，那么该船在什么时间必须停止卸货，将船驶向较深的水域？
课时作业(五十二) 数学建模案例(三)：周期问题
解析：(1)将这个港口的水深值与时间的关系表用Excel作出散点图，以时间为x轴，以水深值为y轴，建立直角坐标系，如下图所示．
经观察，发现散点的变化规律比较符合正弦型函数图象变化规律．
设y＝Asin (ωx＋φ)＋h，显然A＝2.5，ω＝eq \f(π,6)，φ＝0，h＝5，所以函数解析式为y＝2.5sineq \f(πx,6)＋5，所以整点时水深的近似数值如下表所示．
(2)货船的吃水深度为4m．加上安全间隙1.5m，水深值要大于5.5m，即y＝2.5sineq \f(πx,6)＋5>5.5，用软件作出函数y＝2.5sineq \f(πx,6)＋5和y＝5.5的图象，找到四个交点A，B，C，D，如下图所示．
通过菜单度量四个点横坐标分别为xA＝0.38，xB＝5.62，xC＝12.38，xD＝17.62，即分别对应的时刻约为00：23，5：37，12：23，17：37.因此，该船在00：23至5：37或12：23至17：37能安全进港．若欲于当天安全离港，每次在港内最多停留5h14min.
(3)设在时刻x该船安全水深为z，则z＝4＋1.5－0.3(x－2)(x≥2)，这时水深y＝2.5sineq \f(πx,6)＋5.若使该船安全，则4＋1.5－0.3(x－2)≤2.5sineq \f(πx,6)＋5，即6.1－0.3x≤2.5sineq \f(πx,6)＋5.如下图所示，由Excel画出两个函数的图象，得到交点E，F，G.
通过菜单度量点F的横坐标为xF＝6.72，即对应时刻约为6：43.因此，该船在6：43必须停止卸货，驶向较安全的水域．
时刻
0：00
3：00
6：00
9：00
12：00
15：00
18：00
21：00
24：00
水深
5.0
7.5
5.0
2.5
5.0
7.5
5.0
2.5
5.0
时间
0：00
1：00
2：00
3：00
4：00
5：00
6：00
水深值
5.00
6.25
7.17
7.50
7.17
6.25
5.00
时间
7：00
8：00
9：00
10：00
11：00
12：00
13：00
水深值
3.75
2.83
2.50
2.83
3.75
5.00
6.25
时间
14：00
15：00
16：00
17：00
18：00
19：00
水深值
7.17
7.50
7.17
6.25
5.00
3.75
时间
20：00
21：00
22：00
23：00
24：00
水深值
2.83
2.50
2.83
3.75
5.00