2024版新教材高中数学第四章指数函数与对数函数单元素养水平监测新人教A版必修第一册

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第四章　单元素养水平监测(时间：120分钟　满分：150分)一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．函数f(x)＝eq \r(x－1)＋log3(4－x)的定义域为(　　)A．{x|1eq \f(1,b)B．(eq \f(1,4))a<(eq \f(1,3))bC．ln (a－b)>0D．3a－b>111．图①是某大型游乐场的游客人数x(万人)与收支差额y(万元)(门票销售额减去投入的成本费用)的函数图象，销售初期该游乐场为亏损状态，为了实现扭亏为盈，游乐场采取了两种措施，图②和图③中的虚线为采取了两种措施后的图象，则下列说法正确的是(　　)A.图①中点A的实际意义表示该游乐场的投入的成本费用为1万元B．图①中点B的实际意义表示当游客人数为1.5万人时，该游乐场的收支恰好平衡C．图②游乐场实行的措施是降低门票的售价D．图③游乐场实行的措施是减少投入的成本费用12．函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（\f(1,3)）x，x≤a,－x2＋2x＋1，x>a))，则下列结论正确的是(　　)A．当a＝0时，函数f(x)的单调递增区间为(0，1)B．不论a为何值，函数f(x)既没有最小值，也没有最大值C．不论a为何值，函数f(x)的图象与x轴都有交点D．存在实数a，使得函数f(x)为R上的减函数三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．)13．已知函数f(x)＝(eq \f(1,5))ax，其中a为常数，且函数的图象过点(－1，5)，则a＝________．14．已知函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3x（x≤0）,log2x，（x>0）))，则f(f(eq \f(1,16)))＝________．15．已知函数f(x)＝ax(a>0，a≠1)在[0，1]上的最大值与最小值的和为3，则函数y＝loga(－x2＋2x＋3)的单调递减区间为________．16．函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x，x≥0,－x2－2x＋1，x<0))，函数f(x)有________个零点，若函数y＝f(x)－m有三个不同的零点，则实数m的取值范围是________．四、解答题(本题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．)17．(本小题10分)计算下列两个小题：(1)eln3＋2lgeq \r(2)＋lg15＋lgeq \f(1,3)；(2)80.25×eq \r(4,2)＋(eq \r(2)×eq \r(3,3))6＋π0.18．(本小题12分)己知f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x＋1，x≤0,log2（x＋1），x>0)).(1)作出函数f(x)的图象；(2)写出函数f(x)的单调区间；(3)若函数y＝f(x)－m有两个零点，求实数m的取值范围．19．(本小题12分)已知函数f(x)＝loga(x－1)＋2(a>0，且a≠1)的图象过定点P.(1)求P的坐标；(2)若f(x)在[2，4]上的图象始终在直线y＝－x＋8的下方，求a的取值范围．20．(本小题12分)已知函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1).(1)若函数f(x)的图象经过点(2，eq \f(1,4))，求f(x)在区间[－1，1]上的值域；(2)求使得不等式f(x2－x)>1成立的实数x的取值范围．21．(本小题12分)Logistic模型是常用的预测区域人口增长的模型之一，其形式为Pt＝eq \f(K,1＋C×e－rt)，其中Pt是间隔年份t时的人口数量，K是有关人口极限规模的待定参数，r、C是有关人口增长率和初始人口数量的特定参数，已知某地区的人口数据如下表；该地区某中学学生组成的建模小组对以上数据进行分析和计算，发现Logistic函数Pt＝eq \f(120,1＋0.5×e－0.05t)能比较好地描述2010年起该地区的人口数量Pt(单位：万)与间隔年份t(单位：年)的关系．(1)请估计该地区2030年的人口数量(结果保留3位小数)；(2)请估计该地区2020年到2030年的年平均增长率a(结果保留3位小数).参考数据：e－0.5≈0.607，e－1≈0.368，(eq \f(101.351,92.076))0.1≈1.010.22．(本小题12分)已知函数f(x)＝log2x.(1)若a>b>0，证明：eq \f(f（a）＋f（b）,2)0时，g(x)＝f(x＋2)－1.(ⅰ)求g(x)的解析式；(ⅱ)求方程2g(x)－x＝0的所有根.第四章　单元素养水平监测1．解析：由题意得，eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－1≥0，,4－x>0，))解得1≤x<4，所以函数的定义域为{x|1≤x<4}．故选D.答案：D2．解析：由表格中的数据，作出数据的散点图，如图所示，数据散点图和对数函数v＝log2t的图象类似，所以选项D最能反映t，v之间的函数关系．故选D.答案：D3．解析：由题意知ab<0, aeq \r(－\f(b,a))＋beq \r(－\f(a,b))＝aeq \r(－\f(ab,a2))＋beq \r(－\f(ab,b2))＝aeq \r(\f(5,a2))＋beq \r(\f(5,b2))＝aeq \f(\r(5),|a|)＋beq \f(\r(5),|b|)，由于ab<0，故eq \f(a,|a|)＝－eq \f(b,|b|)，则原式＝0.故选B.答案：B4．解析：因为f(x)在R上单调递减，且f(1)＝1>0，f(2)<0，所以f(x)的零点所在区间为(1，2).故选A.答案：A5．解析：∵0<0.32<0.30＝1，30.3>30＝1，∴00，所以f(x)在区间(－2，－1)内存在零点，B正确；令f(x)＝0，得x3－x2＋x2－2x＋1＝(x－1)(x2＋x－1)＝0，因为方程x2＋x－1＝0的判别式Δ>0，且1不是x2＋x－1＝0的根，所以f(x)有3个零点，C正确；由零点的定义可知D不正确．故选BC.答案：BC10．解析：由题设a>b>0，则eq \f(1,a)<eq \f(1,b)，A错误；3a－b>30＝1，D正确；由(eq \f(1,4))a<(eq \f(1,4))b<(eq \f(1,3))b，B正确；由于a－b与1的大小未知，C错误．故选BD.答案：BD11．解析：A：图①中A的实际意义表示游乐场的投入成本为1万元，正确；B：图①中B的实际意义表示当游客人数为1.5万人时，游乐场的收支恰好平衡，正确；C：图②游乐场实行的措施是提高门票的售价，错误；D：图③游乐场实行的措施是减少投入的成本费用，正确．故选ABD.答案：ABD12．解析：对于A，当a＝0时，函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（\f(1,3)）x，x≤0,－x2＋2x＋1，x>0))，当x≤0时，f(x)＝(eq \f(1,3))x为减函数，当x>0时，f(x)＝－x2＋2x＋1的单调递增区间为(0，1)，故A正确；对于B，当x≤a时，f(x)＝(eq \f(1,3))x为减函数，所以不论a为何值，当x趋近于负无穷时，f(x)趋近于正无穷，即f(x)没有最大值；当x>a时，f(x)＝－x2＋2x＋1的图象是开口向下的抛物线的一部分，所以不论a为何值，当x趋近于正无穷时，f(x)趋近于负无穷，即f(x)没有最小值；故B正确；对于C，当x≤a时，函数f(x)＝(eq \f(1,3))x的图象与x轴没有交点，当x>a时，由－x2＋2x＋1＝0得x＝1＋eq \r(2)或x＝1－eq \r(2)，所以当a≥1＋eq \r(2)时，函数f(x)＝－x2＋2x＋1＝0(x>1＋eq \r(2))的图象与x轴没有交点，故C不正确；对于D，当a≥1＋eq \r(2)时，函数f(x)＝(eq \f(1,3))x在(－∞，a]上为减函数，函数f(x)＝－x2＋2x＋1在(a，＋∞)上为减函数，且(eq \f(1,3))a>0，－a2＋2a＋1＝－(a－1)2＋2≤0，(eq \f(1,3))a>－a2＋2a＋1，所以此时函数f(x)为R上的减函数，故D正确．故选ABD.答案：ABD13．解析：由题知，将点(－1，5)代入f(x)＝(eq \f(1,5))ax中有：(eq \f(1,5))－a＝5，解得：a＝1.答案：114．解析：由分段函数可知，f(eq \f(1,16))＝log2eq \f(1,16)＝－4，f(－4)＝3－4＝eq \f(1,81)，即f(f(eq \f(1,16)))＝eq \f(1,81).答案：eq \f(1,81)15．解析：当a>1时，f(x)在[0，1]单调递增，可得a＋1＝3，即a＝2；当01时，f(x)在[2，4]上单调递增，则f(4)＝loga3＋2<4，得a>eq \r(3).当00，且a≠1)的图象经过点(2，eq \f(1,4))，所以a2＝eq \f(1,4)，所以a＝eq \f(1,2)，所以f(x)＝(eq \f(1,2))x，所以f(x)在[－1，1]上为减函数，所以f(x)的最小值为f(1)＝eq \f(1,2)，最大值为f(－1)＝2，所以f(x)的值域为[eq \f(1,2)，2].(2)因为函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)，所以f(x2－x)>1即为ax2－x>1，所以ax2－x>a0，当a>1时，所以f(x)在区间R上单调递增，则x2－x>0，解得x<0或x>1；当01时，x的范围是(－∞，0)∪(1，＋∞)；当0b>0，所以f(a)＋f(b)＝log2a＋log2b＝log2ab，f(eq \f(a＋b,2))＝log2eq \f(a＋b,2)，由基本不等式，当a≠b时，eq \r(ab)<eq \f(a＋b,2)，即eq \f(log2a＋log2b,2)＝log2eq \r(ab)0时，g(x)＝log2(x＋2)－1，因为g(x)是定义在R上的奇函数，所以g(0)＝0，代入上式成立，即当x≥0时，g(x)＝log2(x＋2)－1，设x<0，则－x>0，所以g(x)＝－g(－x)＝1－log2(2－x)，所以g(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1－log2（2－x），x<0,log2（x＋2）－1，x≥0))；(ⅱ)方程2g(x)－x＝0的根转化成曲线y＝g(x)与直线y＝eq \f(1,2)x的交点的横坐标，当x≥0时，y＝g(x)与y＝eq \f(1,2)x交于点(0，0)和点(2，1)，由(1)知y＝g(x)的图象总是向上凸的，所以除(2，1)外不会有其它交点，同理，当x<0时，根据对称性，两个图象还有一个交点(－2，－1)，所以方程2g(x)－x＝0有三个根－2，0，2.t3.06.09.012.015.0v1.52.52.93.64.0时间2010年2015年2020年…间隔年份t(单位：年)0510…人口数量Pt(单位：万)8086.36892.076…