2021-2022学年重庆广益中学高二上学期期中考试数学试题解析版

这是一份2021-2022学年重庆广益中学高二上学期期中考试数学试题解析版，共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
直线的倾斜角 ( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【解答】解：直线的斜率为，所以，又因为
，故直线的倾斜角为
故选：

已知直线的斜率为5，且，则该直线方程为 ( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
本题主要考查直线的一般式方程，属于基础题.
由斜率和确定A、B、C的关系，即可求出结果.
【解答】
解：由题意，直线的斜率为5，且，
可得，
所以，
所以直线方程为，
即
故选

两平行直线 ，之间的距离为 ( )
A. B. 3C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查两条直线平行的斜率关系以及平行直线之间的距离公式的应用，属于基础题.
先根据两直线平行，求出参数a，然后利用两平行线间的距离公式，求出距离.
【解答】
解：因为直线 与平行，
所以，则直线的方程为，
所以与之间的距离为

过点的直线l与圆相切，则直线l的方程为( )
A. 或B. 或
C. 或D. 或
【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查圆的切线方程，属于基础题．
由圆心到直线的距离等于半径列出方程即可．
【解答】
解：圆的圆心为，半径，
当直线l的斜率不存在时，设为，经检验符合题意;
当直线l的斜率存在时，设斜率为k，直线方程为，
即，
则圆心到直线的距离为
，
解得，
则直线方程为
故选

设x，，向量，，，且，，则 ( )
A. B. 3C. 4D.
【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查空间向量垂直和平行的坐标运算，以及空间向量的模的计算，属于基础题.
根据空间向量垂直和平行的坐标运算解得x，y，可得，解得，再由模长公式求解.
【解答】
解：，
因为，则，
解得，
所以，
则，
所以
故选

如图，在正方体中，分别是的中点，则下列说法正确的是( )
A. MN与垂直B. MN与AC垂直C. MN与BD平行D. MN与平行
【答案】ABC
【解析】
【分析】
本题考查正方体的结构特征，空间中直线与直线的位置关系，属于中档题.
连接，BD，AC，得出MN与BD平行，从而可分析各个选项.
【解答】
解：如图，连接，BD，AC，
由N为的中点，又M为的中点，所以，故C正确;
易知，所以，故B正确;
根据正方体的结构特征可得平面ABCD，又平面ABCD，所以，所以，故A正确;
显然，，即BD和不平行，所以MN与不平行，故D错误.
故本题选

已知圆：截直线所得线段的长度是，则圆与圆：的位置关系是( )
A. 内切B. 相交C. 外切D. 相离
【答案】C
【解析】
【分析】
本题主要考查直线和圆相交的应用，以及两圆位置关系的判断，根据相交弦长公式求出a的值是解决本题的关键．
由题可知圆的圆心为，半径为，根据弦长公式可求得a，再根据两圆的圆心距为判断两圆的位置关系.
【解答】
解：由题可知圆的圆心为，半径为，
则到直线的距离 ，
则，
解得，则，，
又因为，，
所以圆心距，两圆外切.
故选：

在平面直角坐标系xOy中，A为直线上在第一象限内的点，，以AB为直径的圆C与直线l交于另一点若，则点A的横坐标为( )
A. 4B. 3C. 2D. 1
【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查了向量的数量积运算，也考查了圆的标准方程，属于一般题.
先设A点坐标，然后表示出圆的方程，将直线与圆的方程联立，求出点D坐标，然后根据向量垂直求出参数a，求出A点坐标.
【解答】
解：设，因为，所以，
则圆C的方程为，
联立
解得，
由，
得，解得或，
又，所以，即，
所以点A的横坐标为
故选：
二、多选题
已知圆M：，则下列说法正确的是( )
A. 点在圆M外B. 圆M的半径为
C. 圆M关于对称D. 直线截圆M的弦长为3
【答案】BC
【解析】
【分析】
本题考查圆的方程，点与圆的位置关系，直线与圆的位置关系，是基础题.
化圆方程为标准方程，再利用点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系逐个判断即可.
【解答】
解：由题意，得圆M标准方程是，圆心为，半径为，
对于A、因为，故点在圆M内，故错误；
对于B、正确；
对于C、因为圆心在直线上，故圆M关于直线对称，故正确；
对于D、点M到的距离为，
弦长为，故D错误，
故选

直线l的方向向量为，两个平面的法向量分别为，则下列命题为真命题的是 ( )
A. 若，则直线平面
B. 若⟨⟩，则直线l与平面所成角的大小为
C. 若，则直线平面
D. 若，则平面夹角的大小为
【答案】BC
【解析】
【分析】
本题考查线面平行的向量表示、直线与平面所成角的向量求法、线面垂直的向量表示、平面与平面夹角的向量求法，属于一般题.
由，得到直线平面或，可判定A不正确;根据平面法向量的概念及空间角的求解方法，可判定B、C、D正确.
【解答】
解：由题意知，直线l的方向向量为，两个平面，的法向量分别为，
对于A中，若，则直线平面或，所以A不正确;
对于B中，若⟨⟩，因为⟨⟩，所以⟨⟩，
设直线l与平面所成角为，可得，即直线l与平面所成角的大小为，所以B正确;
对于C中，若，则直线平面，所以C正确;
对于D中，若，因为，，所以，，
所以平面，夹角的大小为，所以D不正确.
故选：

已知圆O：和圆M：相交于A、B两点，下列说法正确的是( )
A. 圆M的圆心为，半径为1
B. 直线AB的方程为
C. 线段AB的长为
D. 取圆M上点，则的最大值为
【答案】ABD
【解析】
【分析】
本题考查了圆与圆位置关系中的最值问题，圆的公共弦、公切线，由标准方程确定圆心和半径，点到直线的距离，圆的一般方程与标准方程之间的转化，辅助角公式，求余弦型函数的值域或最值，属于中档题.
将圆M的一般方程化为标准方程，求出圆心坐标与半径，即可判断A；将两圆的方程相减可得公共弦AB所在直线的方程，即可判断B；利用点到直线的距离公式及垂径定理求出弦长AB，即可判断C；利用圆M的参数方程求得的取值范围，即可判断D.
【解答】
解：圆M：，即，
所以圆M的圆心为，半径为1，故A正确；
圆O：和圆M：的方程相减可得，
故直线AB的方程为，故B正确；
圆O：的圆心为，半径，
圆心到直线AB的距离为，
所以线段AB的长为，故C错误；
圆M：，则，
设，，
则，其中，
所以的最大值为，故D正确.
故选：ABD.

如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，底面ABCD，且，M、N分别为PC、PB的中点，则( )
A.
B.
C. 平面ANMD
D. BD与平面ANMD所在的角为
【答案】CD
【解析】
【分析】
本题主要考查了利用空间向量求证直线与直线垂直关系，直线与平面垂直的判断，以及直线与平面所成的角，属于中档题.
以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，利用向量逐个判断即可.
【解答】
解：以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
设，则，，，，，
，，
从而，，，，，，
，错误；
，错误；
设平面ANMD的法向量为，
则由得
令，得
，平面ANMD，正确；
设BD与平面ANMD所成的角为
，
，
与平面ANMD所成的角为，正确.
故选
三、填空题
纵截距为，与两坐标轴围成的三角形面积为20的直线的一般式方程为__________.
【答案】
或
【解析】
【分析】
本题考查利用待定系数法解决数学问题，能根据条件设出直线的斜截式方程，然后转化为一般式．属于基础题.
根据直线l在y轴上的截距为，设出直线l的方程，求出与x轴的截距，根据它与两坐标轴围成的三角形的面积为20，列出等式求出k的值，得到l的方程．
【解答】
解：由已知得l的斜率存在，
由题意可知，直线l在y轴上的截距为，则设直线l的方程为
当时，
由题可知，，
解得，
所以直线l的方程为或，
故答案为或

圆关于直线的对称的圆的方程为__________.
【答案】

【解析】
【分析】
本题考查圆关于直线的对称圆方程的求解，也考查了点关于直线的对称问题，属于基础题.
先将圆的方程化为标准式，得到圆心和半径，然后求出圆心关于直线的对称点，然后写出对称圆的方程.
【解答】
解：圆可变形为，
故圆心坐标为，设点P关于直线的对称点为，
则有，解得，，故，
所以圆的圆心关于直线的对称圆的方程为：

已知两定点，，如果动点P满足，则点P的轨迹所包围的图形的面积等于__________.
【答案】

【解析】
【分析】
本题考查了轨迹方程的求解，也考查了圆的方程，属于基础题．
先设出P点坐标，然后根据，列出方程化简得出轨迹方程，得出答案．
【解答】
解：设，
则，，
，即，
化简得，即，
点轨迹为圆，且圆的半径，
圆的面积为，
故答案为

已知直线l：，则圆截直线l所得的弦长的取值范围是__________.
【答案】

【解析】
【分析】
本题主要考查了圆的标准方程，直线与圆的位置关系的应用，属于基础题.
求出直线l恒过的定点P，圆的圆心C和半径r，再判定点P与圆C的位置关系，根据圆的性质即可得弦长范围.
【解答】
解：依题意，直线恒过定点，圆的圆心，半径，
因，则点P在圆C内，由圆的性质知，过点P的最长弦是圆C的直径，即过点P的弦长最大值为6，
过点P的最短弦是圆C内过点P垂直于过点P的直径的弦，该弦长为，即过点P的弦长最小值为，
所以所求弦长的取值范围是
四、解答题
在三角形ABC中，已知点，，
求BC边上中线的方程．
若某一直线过B点，且x轴上截距是y轴上截距的2倍，求该直线的一般式方程．
【答案】
解：，，
线段BC的中点D的坐标为，
又BC边上的中线经过点，
该中线的方程为，即
当直线在x轴和y轴上的截距均为0时，可设直线的方程为，
代入点，则，解得，
所以所求直线的方程为，即；
当直线在x轴和y轴上的截距均不为0时，可设直线的方程为，
代入点，则，解得，
所以所求直线的方程为，即，
综上所述，该直线的一般式方程为或

如图，正三棱柱中，底面边长为.
设侧棱长为1，求证：；
设与的夹角为，求侧棱的长．
【答案】
证明：，
，
平面ABC，
，
又为正三角形，
，，
，
，
解：由知，
又，
，，
，即侧棱长为

已知圆C：与直线l：相交于M，N两点且
求m的值；
过点P作圆C的切线，切点为Q，再过P作圆：的切线，切点为R，若，求的最小值其中O为坐标原点
【答案】
解：圆C：，
圆心C到直线l的距离，
则，解得
设圆C的半径为r，圆的半径为，
由于圆C：，则切线，同理，切线
由，化简得
易知直线与两圆都无公共点，故P为直线上任意点都符合题意．
因此最小值即为原点O到直线距离，
即
如图，在多面体ABCEF中，平面BCE，平面平面BCE，是边长为4的正三角形，是直角三角形，且
求证：平面ABC；
若多面体ABCEF的体积为，求直线AF与平面BEF所成角的正弦值.
【答案】
证明：设点O为BC中点，连接OA，
由是正三角形，可知，
因为平面平面BCE，平面平面，平面ABC，
所以平面BCE，
又平面BCE，
所以，
又平面ABC，平面ABC，
所以平面
由平面平面BCE，
过点O作BC的垂线，以O为原点，OA所在方向为x轴，OC所在方向为y轴，BC的垂线为z轴建立如图所示空间直角坐标系，
因为是边长为4的正三角形，是直角三角形，且，
则，
所以，
则点，
，，
设平面BEF的法向量为，
则，
又，若与平面BEF所成角为，
则
所以直线AF与平面BEF所成角的正弦值为
如图，在三棱锥中，是等腰直角的斜边.
证明：平面平面ABC；
过AC的平面交BP于点Q，若Q为棱异于P，上的点，且，求二面角的余弦值.
【答案】
证明：如图所示，取AC的中点O，连接BO，
是等边三角形，
是等腰直角的斜边是二面角的平面角.
又
平面平面
解：连接OQ，由知平面POB，
平面，则，
，
由余弦定理得，
即，解得或，
是PB的中点.
分别以OA，OB，OP所在直线为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系.
则
设平面APQ的法向量为，则，即，
令，得，同理可得平面ACQ的一个法向量为
⟨⟩h
因为二面角为锐二面角，所以二面角的余弦值为
已知过原点的动直线L与圆相交于不同的两点A、
求线段AB的中点M的轨迹C的方程；
是否存在实数k，使得直线与曲线C只有一个交点？若存在，求出k的取值范围；若不存在，说明理由．
【答案】
解：将圆化为标准方程：，
圆心坐标为，
当直线L与圆的交点A，B在x轴上时，M点与重合，此时；
当直线L与圆的交点A，B不在x轴上时，设，则，
，即，
整理可得：，
经检验，满足上式，
所以线段AB的中点M的轨迹C的方程为
当动直线L与圆相切时，设直线L的方程为，
联立，得，
由，得，
此时等价于，解得，
切点的横坐标为，
由圆的性质可得：M点横坐标的取值范围为
综上所述，线段AB的中点M的轨迹的方程为
由知点M的轨迹是以为圆心，为半径的部分圆弧如图所示，不包括两端点，且，，
当直线l与圆C相切时，由得，
又直线l：过定点，
所以，，
由图可知当时，直线l：与曲线C只有一个交点．