2022-2023学年高二上学期期中模拟卷（选择性必修第一册）（拔高卷）

这是一份2022-2023学年高二上学期期中模拟卷（选择性必修第一册）（拔高卷），共25页。试卷主要包含了本试卷分第Ⅰ卷两部分，测试范围，已知双曲线等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
4．测试范围：选择性必修第一册
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知向量，，且，，，则一定共线的三点是（ ）
A．A，B，DB．A，B，CC．B，C，DD．A，C，D
【答案】A
【解析】因为，，，
选项A，，，若A，B，D三点共线，则，即，解得，故该选项正确；
选项B，，，若A，B，C三点共线，则，即，解得不存在，故该选项错误；
选项C，，，若B，C，D三点共线，则，即，解得不存在，故该选项错误；
选项D，，，若A，C，D三点共线，则，即，解得不存在，故该选项错误；
故选：A.
2．瑞士数学家欧拉（LenhardEuler）年在其所著的《三角形的几何学》一书中提出，任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上.后人称这条直线为欧拉线，已知的顶点、，其欧拉线方程为，则顶点的坐标是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】设点，则的重心为，
由题意可得，可得，①
线段的中点为，，
所以，线段的中垂线方程为，即，
联立，解得，故的外心为，
因为，即，②
联立①②可得或.
当时，点与点重合.
因此，点的坐标为.
故选：A.
3．已知的一条内角平分线的方程为，两个顶点为、，则顶点的坐标为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】设点关于直线的对称点为，
线段的中点为，则点在直线上，
所以，，即，①
因为直线与直线垂直，直线的斜率为，则，②
联立①②可得，，即点，
，所以，直线的方程为，
由题意可知，点为直线、的交点，联立，解得，
因此，点的坐标为.
4．已知正方体ABCD—A1B1C1D1中，点E是线段A1D1靠近点D1的三等分点，点F，G分别为C1D1，B1C1的中点.下列说法中正确的是（ ）
A．A，C，E，F四点共面
B．AD1与B1D所成夹角为60°
C．BG平面ACD1
D．三棱锥D—ACD1与三棱锥B—ACD1体积相等
【答案】D
【解析】
建立如图所示的空间直角坐标系；设正方体的棱长为3，则
,
,
取的中点为,则又，因此,故四点共面，又平面,假如直线平面，则这与平面与平面的交线是矛盾，故四点不共面，错误；
故,所以，进而AD1与垂直，故B错误；
因为平面,平面,所以平面，若平面，则平面平面，显然矛盾，故C错误；
由于,故底面和高均相等，因此体积相等，正确.
故选：D
5．下列结论正确的是（ ）
①过点且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为；
②圆上有且仅有3个点到直线：的距离都等于1；
③已知，为坐标原点，点是圆：外一点，且直线的方程是，则直线与圆相交；
④已知直线和以，为端点的线段相交，则实数的取值范围为；
A．①③B．②③C．②④D．③④
【答案】B
【解析】对①，当截距为零时，易得直线l为，①错；
对②，圆的圆心为，半径，则圆心到l的距离为，
故圆上有且仅有3个点到直线：的距离都等于1，②对；
对③，点P在圆外，则有，圆心到直线m的距离为，故直线与圆相交，③对；
对④，直线，过定点，则，
直线和以，为端点的线段相交，则或，④错；
故选：B
6．人造地球卫星绕地球运行遵循开普勒行星运动定律：卫星在以地球为焦点（不妨设为椭圆右焦点）的椭圆轨道上绕地球运行时，其运行速度是变化的，速度的变化服从面积守恒规律，即卫星的向径（卫星与地球的连线）在相同的时间内扫过的面积相等.1970年4月24日，我国发射了自己的第一颗人造地球卫星“东方红一号”，从此我国开始了人造卫星的新篇章，设椭圆的长轴长、焦距分别为2a，2c，则下列结论不正确的是（ ）
A．卫星向径的最小值与最大值的比值越小，椭圆轨道越扁
B．卫星运行速度在近地点时最大，在远地点时最小
C．卫星向径的取值范围是
D．卫星在右半椭圆弧的运行时间大于其在左半椭圆弧的运行时间
【答案】D
【解析】卫星向径的最小值与最大值的比值越小，即越小，则e越大，椭圆轨道越扁，故A正确；
因为运行速度是变化的，速度的变化服从卫星的向径（卫星与地球的连线）在相同的时间内扫过的面积相等，则向径越大，速度越小，所以卫星在近地点时向径最小，故速度最大，在远地点时向径最大，故速度最小，故B正确；
由题意可得卫星的向径是椭圆上的点到右焦点的距离，所以最小值为，最大值为，故C正确；
当卫星在左半椭圆弧的运行时，对应的面积更大，根据面积守恒规律，速度更慢，所以运行时间大于在右半椭圆弧的运行时间，故D不正确，
故选：D．
7．已知双曲线（，）的两条渐近线与抛物线（）的准线分别交于A，两点，为坐标原点，若双曲线的离心率为，的面积为，则的内切圆半径为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由，可得，
所以双曲线的渐近线方程为
由得，由得，
∴，解得，
∴，，则的三边长分别为，，．
设的内切圆半径为，由，解得.
故选：C．
8．已知分别为双曲线的左､右焦点，为双曲线的右顶点.过的直线与双曲线的右支交于两点（其中点在第一象限），设分别为的内心，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】设上的切点分别为H､I､J，
则.
由，得，
∴，即.
设内心M的横坐标为，由轴得点J的横坐标也为，则，
得，则E为直线与x轴的交点，即J与E重合.
同理可得的内心在直线上，
设直线的领斜角为，则，
，
当时，；
当时，由题知，，
因为A，B两点在双曲线的右支上，
∴，且，所以或，
∴且，
∴，
综上所述，.
故选：B.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．在平行六面体中，底面是边长为1的正方形，侧棱，且，则（ ）
A．B．
C．底面D．直线底面所成的角为
【答案】ACD
【解析】设，则，
，
因为底面是边长为1的正方形，侧棱，且，
所以，，，，，
，，，
所以；所以，A对，
；所以，B错，
，
所以，，又，平面，
故底面；C对，
因为底面，所以直线在平面上的投影为为直线，
所以直线与平面的夹角为，在中，，，，所以是等腰直角三角形，其中，所以，
所以直线与平面的夹角为，又，所以直线底面所成的角为，D对，
故选：ACD.
10．在平面直角坐标系中，，点满足，设点的轨迹为，则（ ）
A．的周长为
B．（不重合时）平分
C．面积的最大值为6
D．当时，直线与轨迹相切
【答案】ABD
【解析】设，因为，且点满足，可得，整理得，即曲线的方程为．
对于A中，曲线为半径为的圆，所以周长为，所以A正确；
对于B中，因为，所以，所以，
延长到，使，连结，如图所示，
因为，所以，所以，
所以，，
因为，所以，所以，
即平分，所以B正确．
对于C中，由的面积为，
要使得的面积最大，只需最大，
由由点的轨迹为，可得，
所以面积的最大值为，所以C错误；
对于D中，当时，或，
不妨取，则直线，即，
因为圆心到直线的距离为，
所以，即直线与圆相切，所以D正确．
故选：ABD．
11．油纸伞是中国传统工艺品，至今已有1000多年的历史，为宣传和推广这一传统工艺，某市文化宫于春分时节开展油纸伞文化艺术节.活动中，某油纸伞撑开后摆放在户外展览场地上，如图所示，该伞的伞沿是一个半径为1的圆，圆心到伞柄底端的距离为1，阳光照射油纸丛在地面上形成了一个椭圆形的影子（春分时，该市的阳光照射方向与地面的夹角为），若伞柄底端正好位于该椭圆的左焦点位置，则（ ）
A．该椭圆的离心率为B．该椭圆的离心率为
C．该椭圆的焦距为D．该椭圆的焦距为
【答案】BC
【解析】，
如图，分别是椭圆的左､右顶点，是椭圆的左焦点，是圆的直径，为该圆的圆心.
因为，所以，
设椭圆的长轴长为，焦距为，则.
因为，
由正弦定理得，
解得，所以，
所以.
故选：BC
12．如图，在棱长为的正方体中，点为线段上的动点（含端点），下列四个结论中，正确的有（ ）
A．存在点，使得平面
B．存在点，使得直线与直线所成的角为
C．存在点，使得三棱锥的体积为
D．不存在点，使得，其中为二面角的大小，为直线与所成的角
【答案】ACD
【解析】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系（如图所示），
则、、、、、、
、，设，即点，其中.
对于A：假设存在点，使得平面，
因为，，，
则，解得，
故当点为线段的中点时，平面，
即选项A正确；
对于B：假设存在点，使得直线与直线所成的角为，
，，
因为，即，
所以不存在点，使得直线与直线所成的角为，
即选项B错误；
对于C：假设存在点，使得三棱锥的体积为，
，且点到平面的距离为，
则，解得，
所以当点为线段的靠近的四等分点时，
三棱锥的体积为，即选项C正确；
对于D：，，
设平面的法向量为，
则，
取，可得，
易知平面的一个法向量为，
则，
，，
，
因为，，
则，
因为、，且余弦函数在上单调递减，
则，即不存在点，使得，即选项D正确.
故选：ACD.
第Ⅱ卷
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．过直线上一点作圆的两条切线，切点分别为，则直线过定点__________.
【答案】
【解析】设，则有①，又由圆的圆心为，直线，是圆的两条切线，为切点，则，，则点均在以为直径的圆上，设的中点为，则圆的方程为，
化简得；直线即为两圆的公共弦，所以，对于和，两式相减可得直线的方程为，由①可得，，整理得，故直线过定点
故答案为：
14．如图，在三棱锥中，点G为底面的重心，点M是线段上靠近点G的三等分点，过点M的平面分别交棱，，于点D，E，F，若，，，则_______.
【答案】【解析】由题意可知，
因为D，E，F，M四点共面，所以存在实数，，使，所以，所以，所以
所以.
故答案为：
15．在四棱锥中，平面平面，四边形为等腰梯形，为等边三角形，，则四棱锥的外接球球心到平面的距离是___________.
【答案】
【解析】取的中点，连接
∵为等边三角形，则
平面平面，平面平面
∴平面
取的中点，由于四边形为等腰梯形，且，
则可以得到，即为等腰梯形的外接圆的圆心
过作的平行线，则外接球球心必在上
，设，在梯形中，，则
∵，即，解出，
建系如图，则
设平面的法向量，则
令，则，则
∵，则到平面的距离
故答案为：.
16．平面直角坐标系中，双曲线的渐近线与抛物线交于点，，．若的垂心为的焦点，且点在双曲线上，则双曲线的方程为________．
【答案】
【解析】双曲线的渐近线为，
由，解得或，所以，
由，解得或，所以．
∵为的垂心，，即，解得，
∵点双曲线上，即，∴，即双曲线方程为；
故答案为：
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
17．（10分）
已知直线：.
(1)证明无论为何值，直线与直线总相交；
(2)若为坐标原点，直线与，轴的正半轴分别交于两点，求面积的最小值.
【解析】（1）对于，化简得，取，得到，
对于点，直线与直线都是必过点，所以，无论为何值，直线与直线总相交
（2）设，由（1）得，
，整理得，因为，则，得，（当且仅当时，即时，等号成立），面积的最小值为
18．（12分）
如图，已知正三棱柱中，所有棱长均为2，点E，F分别为棱，的中点.
(1)求与平面AEF所成角的正弦值；
(2)过A、E、F三点作一个平面，则平面AEF与平面有且只有一条公共直线，在图中作出这条公共直线，简略写清作图过程，并求这条公共直线在正三棱柱底面内部的线段长度.
【解析】（1）正三棱柱中，取AC中点O，连接OB，OF，而F为的中点，则，
四边形是平行四边形，即，又平面，则有平面，即OA，OB，OF两两垂直，
以O为原点，射线OA，OB，OF分别为x，y，z轴非负半轴建立空间直角坐标系，如图，
则，，，，，，，
设平面AEF的一个法向量为，则，令，得，
设与平面AEF所成角为，则，
所以与平面AEF所成角的正弦值为.
（2）如图，延长交延长线于点M，经过点F，M画直线FM，则直线FM即为所作，
因点直线，而平面，则点平面，同理点平面，
而点平面，点平面，因此直线FM是平面AEF与平面的公共直线，
令，因是中点，则且，即是的一条中位线，
因此是中点，又是中点，则是的重心，，
在中，，由余弦定理得：，
所以这条公共直线在正三棱柱底面内部的线段长度为.
19．（12分）
如图，已知圆，点为直线上一动点，过点引圆的两条切线，切点分别为，．
(1)求直线的方程，并判断直线是否过定点若是，求出定点的坐标，若不是，请说明理由；
(2)求线段中点的轨迹方程；
(3)若两条切线，与轴分别交于，两点，求的最小值．
【解析】（1），，，
故以为圆心，为半径的圆的方程为，
显然线段为圆和圆的公共弦，
则直线的方程为，即，
经判断直线过定点，即所以直线过定点
（2）因为直线过定点，的中点为直线与直线的交点，
设的中点为点，直线过的定点为点，
易知始终垂直于，所以点的轨迹为以为直径的圆，又，，故该圆圆点，半径，且不经过.
点的轨迹方程为
（3）设切线方程为，即，
故到直线的距离，即，
设，的斜率分别为，，则，，
把代入，得，
则，
故当时，取得最小值为．
20．（12分）
如图所示，三棱柱中，所有棱长均为2，，，分别在，上（不包括两端），．
（1）求证：平面；
（2）设与平面所成角为，求的取值范围．
【解析】（1）作，交于点，设，则，
∵，∴，即，
∵且，连接，
所以四边形为平行四边形，∴，
∵平面，且平面，
∴平面．
（2）取中点，连接、、，
∵，，，
根据余弦定理得：，
∴，则，
∵是等边三角形，∴，
∵，∴平面，平面
∴平面平面，
在中，，，
作，交于点，因为平面平面，
所以平面，
则，∴，
∵平面，所以点到平面距离，
，
，
∴．
，
∵，∴，
∴．
21．（12分）
已知双曲线的离心率为，且点在上.
(1)求双曲线的方程：
(2)试问：在双曲线的右支上是否存在一点，使得过点作圆的两条切线，切点分别为，直线与双曲线的两条渐近线分别交于点，且？若存在，求出点；若不存在，请说明理由.
【解析】（1）因为，所以，即，
又点在双曲线的图像上，
所以，即，解得，
所以双曲线；
（2）设，
由已知点在以为直径的圆上，
又点在上，则有方程组
解得直线的方程为，
设直线与渐近线的交点分别为，
由解得，
由解得，
所以，
又点到直线的距离为，
则三角形的面积，
又因为，所以，
由已知，解得，即，
因为点在双曲线右支上，解得，
即点或.
22．（12分）
已知椭圆的离心率为，椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合．
(1)求椭圆的方程；
(2)如图，、是椭圆的左、右顶点，过点且斜率不为的直线交椭圆于点、，直线与直线交于点．记、、的斜率分别为、、，是否存在实数，使得？
【解析】（1）抛物线的焦点为，
由题意可得，，，故，
因此，椭圆的方程为.
（2）设、，设直线的方程为，其中，
联立，得，，
由韦达定理可得，，
所以，
易知点、，，
所以，直线的方程为，
将代入直线的方程可得，即点，
，，
所以，，
所以，.