2021-2022学年福建省泉州第一中学高二第一学期期中考试解析版

这是一份2021-2022学年福建省泉州第一中学高二第一学期期中考试解析版，共21页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

已知直线l的方程为，则直线l的倾斜角为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查直线的倾斜角与斜率，属于基础题.
利用倾斜角和斜率关系即可求解.
【解答】
解：设倾斜角为，
则
在四面体OABC中，空间中一点M满足，若点M，A，B，C共面，则( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
本题主要考查空间中四点共面的向量表示，属基础题.
根据四点M，A，B，C共面的向量表示，可得结果.
【解答】
解：因为M，A，B，C共面，
所以，解得，
故选
已知双曲线的焦距为10，点在C的渐近线上，则双曲线C的标准方程为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查双曲线的性质和标准方程，属于基础题.
由条件求出a，b，即可得双曲线方程.
【解答】
解：由题意，得，
故双曲线方程为
故选

两个圆与圆的公切线有且仅有( )
A. 1条B. 2条C. 3条D. 4条
【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查两圆的公切线条数，属于基础题．
先判定两圆的位置关系，即可判定公切线的条数．
【解答】
解：圆的圆心，半径，
圆，即，圆心为，半径为，
则，
故两圆相交，有2条公切线.

已知点在圆上运动，则的最大值是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
本题主要考查的是直线与圆的位置关系，圆有关的最值问题，属于基础题.
令，即为，可知直线与圆有交点，由此列出不等式求出k的范围，即可得到结果.
【解答】
解：圆，即，
圆心为，半径，
则的几何意义就是圆上一点与原点之间连线的斜率，
令，即为，
可知直线与圆有交点，
则，解得，
所以的最大值为
故选

如图，在平行六面体中，底面是边长为1的正方形，若，且，则的长为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
本题主要考查的是空间向量的基本定理与空间向量的运算，属于中档题.
以为基底，表示出，再利用空间向量的模和数量积运算即可求解.
【解答】
解：设，则
所以
故
即的长为

在平面直角坐标系xOy中，过点向圆引切线，切线长为，设点P到点的距离为，当取最小值时，t的值为( )
A. 2B. C. 3D.
【答案】A
【解析】
【分析】
本题主要考查的是直线与圆的位置关系，直线的两点式方程，两点间的距离公式，属于中档题.
根据切线长与半径之间的关系，得到，即点P到定点的距离，因此可看成点P到定点的距离与到定点距离之和，当三点共线时，距离和最小，求出此时直线MQ方程，求出其与x轴交点即可.
【解答】
解：由题，圆的圆心，半径，
所以过的切线长，
则的几何意义就是点P到定点的距离，
则的几何意义为动点P到定点的距离与到定点距离之和，
当三点共线时，最小，
此时点P为直线MQ与x轴的交点，
直线MQ的方程为：，化简得，
令，则，
故
故选

已知，分别为双曲线的左、右焦点，A，B是C上右支上的两点，且直线AB经过点若，以为直径的圆经过点B，则C的离心率为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
本题主要考查了双曲线的性质，以及圆的性质，属于中档题．
由以为直径的圆经过点B，可得，再结合双曲线的性质和勾股定理，即可推得，再结合离心率公式，即可求解．
【解答】
解：设，
，
为直径的圆经过点B，
，
，，
，，
在，中，
运用勾股定理可得，，解得，
故离心率
故选：
二、多选题
已知为直线l的方向向量，分别为平面的法向量不重合，那么下列说法中正确的有( )
A. B. C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】
本题考查直线的方向向量与平面的法向量，以及利用直线的方向向量与平面的法向量判断空间的平行、垂直关系，属于基础题.
根据直线的方向向量与平面的法向量的定义以及空间线面、面面的平行和垂直关系的判断方法，逐项判断，即可得到答案.
【解答】
解：因为为直线l的方向向量，分别为平面的法向量不重合，
A.或，故错误；
B.正确；
C.正确；
D.或，故错误.
故选

已知方程，则( )
A. 当时，方程表示两条直线
B. 当时，方程表示双曲线
C. 当时，方程表示椭圆
D. 方程表示的曲线可能为圆
【答案】ABD
【解析】
【分析】
本题考查方程表示的曲线，注意运用分类讨论思想，属于基础题.
由椭圆方程和双曲线方程、圆方程的特点，可判断结论.
【解答】
解：方程，
当，时方程为，表示两条直线，故A正确；
当时，方程表示双曲线，故B正确;
当，且时，方程表示椭圆，
当，时不表示任何图形，故C错误；
当时，方程表示圆.故D正确.
故选：

已知圆，直线，下面命题中正确的是( )
A. 对任意实数k与，直线l和圆M有公共点；
B. 对任意实数k与，直线l与圆M都相离；
C. 存在实数k与，直线l和圆M相交；
D. 对任意实数k，必存在实数，使得直线l与圆M相切
【答案】ACD
【解析】
【分析】
本题考查直线与圆的位置关系的应用，是中档题，解题时要认真审题，注意点到直线的距离公式的合理运用．
由题意求得圆M与直线l有公共点；求得圆心到直线l的距离为；即可得出答案.
【解答】
解：对于A，圆M：的圆心为，半径为；
无论取何值，都有，圆过定点；
又直线l：可化为，过定点；
直线l和圆M有公共点，A正确；
对于B，圆心M到直线l的距离为，其中；
，故B错误，C、D正确.
故选

如图，点O是正四面体PABC底面ABC的中心，过点O且平行于平面PAB的直线分别交AC，BC于点M，N，S是棱PC上的点，平面SMN与棱PA的延长线相交于点Q，与棱PB的延长线相交于点R，
则 ( )
A. 若平面PAB，则
B. 存在点S与直线MN，使
C. 存在点S与直线MN，使平面SRQ
D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】
本题考查空间中的平行、垂直关系、空间向量数量积和共面向量定理，属于中档题.
利用线面平行的性质可判断A，由空间向量数量积可判断B，由线面垂直的判定可判断C，由共面向量定理可判断
【解答】
解：对于A，
平面PAB，平面平面，且平面ABC，
，
又面面，面SQR，
；
，
故A正确；
对于B，
，
故B不正确;
对于C，
设正四面体的棱长为a，
当时，点O是正四面体PABC底面ABC的中心，且MN过点O，
，
在棱PC上取点S，使得，则，即，
同理，，
而，且平面MNS，平面MNS，
平面MNS，
即平面SRQ，
故C正确；
对于D，设D为BC的中点，则
，
又，A，Q三点共线，，
，B，R三点共线，，
，S，C三点共线，，
设，，，
则，
，Q，R，S四点共面，
，
又，
，
，
即，
故D正确.
故选
三、填空题
过点且与直线垂直的直线方程__________.
【答案】
【解析】
【分析】
本题考查直线的一般式方程，考查两直线垂直的条件，属于基础题.
根据题意设出和已知直线垂直的方程为，代入点的坐标可求出c，即可得到答案.
【解答】
解：与直线垂直的直线方程可设为，
因为点在所求直线上，所以，所以，
所以所求直线为

点，若，的夹角为锐角，则的取值范围为__________.
【答案】
【解析】
【分析】
本题考查向量的概念，向量的夹角，属于基础题.
根据题意可求出和，因为，的夹角为锐角，可得，且不能是同向共线，列出不等式求解即可.
【解答】
解：根据题意有，，
，的夹角为锐角，
，且不能是同向共线，
解得，且，
则的取值范围为

唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马再回到军营，怎样走才能使总路程最短?在如图所示的直角坐标系xOy中，设军营所在平面区域为，河岸线所在直线方程为假定将军从点处出发，只要到达军营所在区域即回到军营，当将军选择最短路程时，饮马点A的纵坐标为__________.最短总路程为__________
【答案】

【解析】
【分析】
本题主要考查与圆有关的最值，考查了点关于直线的对称点问题，是中档题.
先求出点关于直线的对称点的坐标，所以，故问题转化为求点到营区的最短距离，再根据圆的几何特征即可求出最短距离；A点为直线与直线的交点，求出的方程，联立方程组可得A点纵坐标.
【解答】
解：设点关于直线的对称点，
则，解得，
，
将军从P出发到达直线上点A再到营区，，
本题问题转化为求点到营区的最短距离，
根据圆的几何特征可知最短距离为
A点为直线与直线的交点，直线的方程为，
由，解得，
故A点纵坐标为
故答案为；

在正方体中，M是棱的中点，P是底面ABCD内包括边界的一个动点，若平面，则异面直线MP与所成角的取值范围是 __________.
【答案】
【解析】
【分析】
本题考查异面直线所成角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养，属于中档题．
取AD中点E，DC中点F，连接ME，MF，EF，取EF中点O，连接MO，推导出平面平面EFM，从而P的轨迹是线段EF，当P与O重合时，异面直线MP与所成角取最大值，当P与E或F重合时，异面直线MP与所成角取最小值
【解答】
解：取AD中点E，DC中点F，连接ME，MF，EF，取EF中点O，连接MO，
在正方体中，M是棱的中点，
，，
平面，，平面，
平面，同理可得平面，
，ME，MF是平面EFM内两相交直线，
平面平面EFM，
是底面ABCD内包括边界的一个动点，平面，
的轨迹是线段EF，
，O是EF中点，，，，
当P与O重合时，异面直线MP与所成角取最大值，
，P是EF上动点，，
当P与E或F重合时，异面直线MP与所成角取最小值
异面直线MP与所成角的取值范围是

四、解答题
已知空间中三点，设
若且，求向量；
已知向量与互相垂直，求k的值；
【答案】
解：，，，
，
又，且，
存在非零实数m，使得，
，
，
或
，，
，
向量与互相垂直，
，
解得
【解析】本题考查了空间向量的坐标运算，向量的模，向量平行与垂直，属于中档题.
由，可得存在非零实数m，使得，根据向量的坐标运算结合即可求解；
根据向量垂直的条件即可解答.
已知直线l方程为，其中
当m变化时，求点到直线l的距离的最大值；
若直线l分别与x轴、y轴的负半轴交于A，B两点，求面积的最小值及此时的直线l的方程．
【答案】
解：直线方程为即为，
由可得，
则已知直线恒过定点，
可得到直线的最大距离为；
设直线的斜率为，则其方程为，
可得，，
则
由，可得，
所以
当且仅当，即时取等号．
则的面积最小值是4，
直线的方程为，即

已知四棱柱的底面为菱形，，，，平面，
证明：平面；
求钝二面角的余弦值．
【答案】
证明：连接交于点Q，连接OQ，
四棱柱的侧面为平行四边形，
为中点，为AC中点，
在中，OQ为中位线，，
平面，平面，
平面；
平面，
，
且O为BD的中点，
，
、平面ABCD，且，
平面ABCD，
如图，以OA，OB，分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
易得：，，，，
，，
设平面的一个法向量为
则 ，
，
令，得，

同理可得平面的一个法向量为，
，
结合图形知，二面角为钝角，
钝二面角的余弦值为
【解析】本小题主要考查空间中面与面垂直的证明和二面角的求解，属于中档题.
由题意得，直接运用面与面平行的判定方法即可求解；
由题意得，直接运用求二面角的步骤即可求解.
如图，某海面上有O、A、B三个小岛面积大小忽略不计，A岛在O岛的北偏东方向处，B岛在O岛的正东方向20km处.
以O为坐标原点，O的正东方向为x轴正方向，1km为单位长度，建立平面直角坐标系，写出A、B的坐标，并求A、B两岛之间的距离；
已知在经过O、A、B三个点的圆形区域内有未知暗礁，现有一船在O岛的南偏西方向距O岛20km处，正沿着北偏东行驶，若不改变方向，试问该船有没有触礁的危险？
【答案】
解：在O的东北方向处，B在O的正东方向20km处，
，，
由两点间的距离公式得
；
设过O、A、B三点的圆的方程为，
将、、代入上式得
，
解得，，，
所以圆的方程为，圆心为，半径
设船起初所在的位置为点C，则，
且该船航线所在直线的斜率为，
由点斜式得船航行方向为直线l：，
圆心到l：的距离为，
，，
即，
所以该船有触礁的危险.
如图，在多面体ABCDEF中，平面平面四边形ADEF为正方形，四边形ABCD为梯形，且，是边长为1的等边三角形，M为线段BD三等分点靠近点，
求证：；
求直线MF与平面CDE所成角的正弦值；
线段BD上是否存在点N，使得直线平面AFN？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.
【答案】
证明：因为ADEF为正方形，所以平面ADEF，
又因为平面平面ABCD，且平面平面，
所以平面ABCD，平面
所以
解：取AD中点O，EF中点K，连接OB，
因为是等边三角形，所以，
在正方形ADEF中，，
又平面平面ABCD，平面平面，，
故平面ADEF，平面ADEF，进而，即OB，OD，OK两两垂直.
分别以OB，OD，OK为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，
于是，，，，，，，
所以，，，
设平面CDE的一个法向量为，
则，即，
令，则，则，
设直线MF与平面CDE所成角为，
，
解：且平面AFN，平面AFN，
平面AFN，
要使直线平面AFN，只需，
设，，
则，，
所以，又，
由得，
解得，
所以线段BD上存在点N，使得直线平面AFN，且

已知椭圆的左､右顶点分别为，，离心率为，点在椭圆C上.求椭圆C的方程.
若过点且斜率不为0的直线与椭圆C交于M，N两点，已知直线与相交于点G，试判断点G是否在定直线上？若是，请求出定直线的方程；若不是，请说明理由.
【答案】
解：依题意可得解得，
所以椭圆C的方程为
设，，直线MN的方程为：，
联立方程组可得，得到，，
由根与系数的关系得到，，
因为直线：，
直线：，
联立两直线方程得到：，
即，
即，整理得：，
所以点G在定直线上.