高中物理3 万有引力理论的成就教学设计

这是一份高中物理3 万有引力理论的成就教学设计，共10页。教案主要包含了学习任务，新知探究，课堂小结，学习效果等内容，欢迎下载使用。
第7章 万有引力与宇宙航行
第3节 万有引力理论的成就
目录
一、学习任务
二、新知探究
（一）梳理要点
（二）启发思考
（三）深化提升
三、课堂小结
四、学习效果
第7章 万有引力与宇宙航行
第3节 万有引力理论的成就
一、学习任务
1．了解万有引力定律在天文学上的应用，掌握解决天体运动问题的基本思路。
2．会用万有引力定律计算天体的质量和密度。
3．掌握综合运用万有引力定律和圆周运动知识分析具体问题的方法。
二、新知探究
知识点一：“称量”地球的质量 计算天体质量
（一）梳理要点
1．“称量”地球的质量
(1)合理假设：不考虑地球自转。
(2)“称量”依据：地面上质量为m的物体所受的重力mg等于地球对物体的引力，即mg＝Gmm地R2，由此可解得m地＝gR2G。
(3)结论：只要知道g、R和G的值，就可以算出地球的质量。
2．计算天体质量
(1)计算太阳的质量：行星做匀速圆周运动的向心力由太阳与行星间的万有引力提供，列出方程Gmm太r2＝m4π2rT2，由此可解得m太＝4π2r3GT2。
(2)结论：只要知道行星的公转周期T和它与太阳的距离r，就可以计算出太阳的质量
(3)计算行星的质量：与计算太阳的质量一样，若已知卫星绕行星运动的周期T和轨道半径r，就可计算出行星的质量m行＝4π2r3GT2。
（二）启发思考
1969年7月21日，美国航天员阿姆斯特朗在月球上烙下了人类第一只脚印，迈出了人类征服宇宙的一大步。
(1)若已知月球绕地球转动的周期T和半径r，由此可以求出地球的质量吗？依据是什么？
(2)若已知月球绕地球转动的周期T和半径r，能否求出月球的质量呢？为什么？
(3)若月球半径R已知，航天员身边有些质量已知的钩码、弹簧测力计和停表等一些简单工具，试想一下：航天员若想测出月球的质量，可采用什么方法？
提示：(1)能求出地球的质量。利用GMmr2＝m4π2T2r，求出的质量M＝4π2r3GT2为中心天体即地球的质量。
(2)不能。由GMmr2＝m4π2T2r可知，做圆周运动的月球的质量m在等式中已消掉，所以根据月球的公转周期T、公转半径r无法计算月球的质量。
(3)方法1：航天员在月球上用弹簧测力计测出质量为m的物体重力为F，则F＝GMmR2，故M＝FR2Gm。
方法2：用停表测出航天员驾驶指令舱绕月球表面飞行一周的时间T，由万有引力提供向心力，可知GMmR2＝m4π2T2R，故M＝4π2R3GT2。
（三）深化提升
1．天体质量的计算
(1)重力加速度法
若已知天体(如地球)的半径R及其表面的重力加速度g，根据在天体表面上物体的重力近似等于天体对物体的引力，得mg＝GMmR2，解得天体的质量为M＝gR2G，g、R是天体自身的参量，所以该方法俗称“自力更生法”。
(2)环绕法
借助环绕中心天体做圆周运动的行星(或卫星)计算中心天体的质量，俗称“借助外援法”。常见的情况如下：
2．天体密度的计算
(1)若天体的半径为R，则天体的密度ρ＝M43πR3，将M＝4π2r3GT2代入上式可得ρ＝3πr3GT2R3。
(2)当卫星环绕天体表面运动时，卫星的轨道半径r可认为等于天体半径R，则ρ＝3πGT2。
3. 求解天体质量和密度时的两种常见误区
(1)根据轨道半径r和运行周期T，求得M＝4π2r3GT2是中心天体的质量，而不是围绕中心天体运动的行星(或卫星)的质量。
(2)易出现混淆或乱用天体半径与轨道半径的错误，为了正确并清楚地运用，应一开始就养成良好的习惯，比如通常情况下天体半径用R表示，轨道半径用r表示，这样就可以避免如对ρ＝3πr3GT2R3进行错误约分；只有卫星在天体表面做匀速圆周运动时，如近地卫星，轨道半径r才可以认为等于天体半径R。
知识点二：发现未知天体 预言哈雷彗星回归
（一）梳理要点
1．海王星的发现
英国剑桥大学的学生亚当斯和法国年轻的天文学家勒维耶根据天王星的观测资料，各自独立地利用万有引力定律计算出这颗“新”行星的轨道。1846年9月23日晚，德国的伽勒在勒维耶预言的位置附近发现了这颗行星——海王星。
2．其他天体的发现
近100年来，人们在海王星的轨道之外又发现了冥王星、阋神星等几个较大的天体。
3．预言哈雷彗星回归
英国天文学家哈雷依据万有引力定律，计算了三颗彗星的轨道，并大胆预言这三次出现的彗星是同一颗星，周期约为76年。
（二）启发思考
已知地球、火星都绕太阳转动，火星的公转半径是地球公转半径的1.5倍，根据以上材料思考：
(1)地球、火星遵循什么样的动力学规律？
(2)地球、火星绕太阳运动时的线速度、角速度、周期和向心加速度与自身质量有关吗？为什么？
(3)如何比较火星与地球的线速度、角速度、周期以及向心加速度的大小？
提示：(1)地球、火星等行星绕太阳的运动可看作匀速圆周运动，万有引力提供向心力。
(2)无关。因为在等式GMmr2＝man＝mv2r＝mω2r＝m4π2T2r各项中都含有m，可以消掉。
(3)由Gm太mr2＝man＝mv2r＝mω2r＝m4π2T2r表达式可知，线速度、角速度、周期及向心加速度等各量都与轨道半径有关系。
（三）深化提升
1．基本思路：一般行星或卫星的运动可看作匀速圆周运动，所需向心力由中心天体对它的万有引力提供。
2．常用关系
(1)GMmr2＝man＝mv2r＝mω2r＝m4π2T2r。
(2)忽略自转时，mg＝GMmR2(物体在天体表面时受到的万有引力等于物体重力)，整理可得gR2＝GM，该公式通常被称为“黄金代换式”。
3．四个重要结论：设质量为m的天体绕另一质量为M的中心天体做半径为r的匀速圆周运动。
(1)由GMmr2＝mv2r得v＝GMr，r越大，v越小。
(2)由GMmr2＝mω2r得ω＝GMr3，r越大，ω越小。
(3)由GMmr2＝m(2πT)2r得T＝2π r3GM，r越大，T越大。
(4)由GMmr2＝man得an＝GMr2，r越大，an越小。
4. 解决天体运动问题的关键
(1)建立物理模型——绕中心天体做匀速圆周运动。
(2)应用物理规律——万有引力定律和圆周运动规律。
(3)利用“GM＝gR2”——“gR2”代换“GM”，简化解题方式。
三、课堂小结
回归本节知识，自我完成以下问题：
1．计算天体质量有哪几种方法？
提示：方法1：重力加速度法，即mg＝GMmR2⇒M＝gR2G；
方法2：环绕法，即GMmr2＝mv2r⇒M＝rv2G。
2．为什么说海王星是笔尖下发现的行星？
提示：因为其轨道是根据天王星的观测资料计算出来的。
3．天体运行的速度、周期、角速度和轨道半径有什么关系？
提示：轨道半径越大，速度越小，周期越长，角速度越小。
四、学习效果
1．(多选)一行星绕恒星做圆周运动。由天文观测可得，其运行周期为T，速度为v，引力常量为G，则( )
A．恒星的质量为v3T2πG B．行星的质量为4π2v3GT2
C．行星运动的轨道半径为vT2π D．行星运动的加速度为2πvT
ACD [行星绕恒星转动一圈时，运行的距离等于周长即v·T＝2πr得r＝vT2π，C正确；由万有引力公式及牛顿第二定律知，GMmr2＝mr4π2T2，得M＝4π2r3GT2＝4π2GT2vT2π3＝v3T2πG，A正确；由an＝v2r＝2πvT，D正确；行星绕恒星的运动与其自身质量无关，行星的质量由已知条件无法求出，故B错误。]
2．2022年6月5日，我国神舟十四号载人飞船入轨后，按照预定程序，与在同一轨道上运行的天和核心舱交会对接，航天员将进驻天和核心舱。交会对接后神舟十四号飞船与天和核心舱的组合体轨道不变，将对接前飞船与对接后的组合体对比，下面说法正确的是( )
A．组合体的环绕速度大于神舟十四号飞船的环绕速度
B．组合体的环绕周期大于神舟十四号飞船的环绕周期
C．组合体的向心加速度大于神舟十四号飞船的向心加速度
D．组合体所受的向心力大于神舟十四号飞船所受的向心力
D [由GMmr2＝mv2r＝m4π2T2r可得，v＝GMr，T＝2πr3GM，可见v、T与质量m无关，周期与环绕速度不变，故A、B错误；由GMmr2＝man可得an＝GMr2，可知向心加速度与质量m无关，故C错误；向心力为F＝GMmr2，组合体的质量大于神舟十四号飞船的质量，轨道半径不变，则组合体所受的向心力大于神舟十四号飞船所受的向心力，故D正确。]
3．(多选)在摩洛哥坠落的陨石被证实来自火星，某同学想根据平时收集的部分火星资料(如图所示)计算出火星的密度，再与这颗陨石的密度进行比较。下列计算火星密度的式子中正确的是(引力常量G已知，忽略火星自转的影响)( )
A．ρ＝3g02πGd B．ρ＝g0T23πd C．ρ＝3πGT2 D．ρ＝6Mπd3
ACD [由ρ＝MV，V＝43πd23，得ρ＝6Mπd3，D正确；由GMmd22＝mg0，ρ＝MV，V＝43πd23，联立解得ρ＝3g02πGd，A正确；根据万有引力定律得GMmR2＝m4π2T2R，可得火星质量M＝4π2R3GT2，又火星的体积V＝43πR3，故火星的平均密度ρ＝MV＝3πGT2，C正确。]
4．(2022·安徽合肥宏图中学高一检测)人造卫星绕地球的运动可视为匀速圆周运动，卫星的轨道半径的三次方与绕行周期的二次方的关系如图中甲所示；火星作为航空航天探索的热门研究对象，火星的周围有两个天然卫星和数个人造卫星，它们的运动也可视为绕火星做匀速圆周运动，它们的轨道半径的三次方与绕行周期的二次方的关系如图中乙所示。图中m、n、p、q已知，则地球和火星的质量之比为( )
A．pqmn B．mnpq C．pnqmD．pmqn
C [卫星绕地球、火星做匀速圆周运动时，万有引力提供向心力，有GMmr2＝m2πT2r，解得M＝4π2r3GT2，所以地球和火星质量之比为M地M火＝r甲3T乙2r乙3T甲2＝pnqm，C正确。]
5．有的天文学家倾向于把太阳系外较小的天体叫作“矮行星”，而另外一些人把它们叫作“小行星”，谷神星就是小行星之一。现有两个这样的天体，它们的质量分别为m1和m2，绕太阳运行的轨道半径分别是r1和r2，求：
(1)它们与太阳间的万有引力之比；
(2)它们的公转周期之比。
[解析] (1)设太阳质量为M，由万有引力定律得，两天体与太阳间的万有引力之比F1F2＝GMm1r12GMm2r22＝m1r22m2r12。
(2)两天体绕太阳的运动可看成匀速圆周运动，向心力由万有引力提供，则有GMmr2＝m2πT2r，所以，天体绕太阳运动的周期T＝2πr3GM
则两天体绕太阳的公转周期之比T1T2＝r13r23。
[答案] 1m1r22m2r12 2r13r23
6．若航天员登上月球后，在月球表面做了一个实验：将一片羽毛和一个铁锤从同一高度由静止同时释放，二者几乎同时落地。若羽毛和铁锤是从高度为h处下落，经时间t落到月球表面。已知引力常量为G，月球的半径为R。求：(不考虑月球自转的影响)
(1)月球表面的自由落体加速度大小g月；
(2)月球的质量M；
(3)月球的密度。
[解析] (1)月球表面附近的物体做自由落体运动，有h＝12 g月t2，所以月球表面的自由落体加速度大小g月＝2ht2。
(2)因不考虑月球自转的影响，则有GMmR2＝mg月
月球的质量M＝2hR2Gt2。
(3)月球的密度ρ＝MV＝2hR2Gt243πR3＝3h2πRGt2。
[答案] (1)2ht2 (2)2hR2Gt2 (3)3h2πRGt2
万有引力提供向心力
中心天体的质量
说明
GMmr2＝mv2r
M＝rv2G
r为行星(或卫星)的轨道半径，v、ω、T为行星(或卫星)的线速度、角速度和运行周期
GMmr2＝mrω2
M＝r3ω2G
GMmr2＝mr4π2T2
M＝4π2r3GT2