湘教版（2019）必修 第二册第1章 平面向量及其应用1.4 向量的分解与坐标表示同步练习题

这是一份湘教版（2019）必修 第二册第1章 平面向量及其应用1.4 向量的分解与坐标表示同步练习题，共6页。

1．已知向量a＝(1，3)，且a⊥b，则向量b可以是( )
A．(－3，1) B．(－3，－1)
C．(3，1) D．(－1，－3)
2．若a＝(2，－3)，则与a垂直的单位向量的坐标为( )
A．(3，2)
B． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3\r(13),13)，\f(2\r(13),13)))
C． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3\r(13),13)，\f(2\r(13),13)))或 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3\r(13),13)，－\f(2\r(13),13)))
D．以上都不对
3．已知向量a，b满足a＝(4，0)，b＝(m，1)，且|a|＝a·b，则a，b的夹角大小为( )
A． eq \f(π,4) B． eq \f(π,3)
C． eq \f(π,2) D． eq \f(3π,4)
4．已知向量a＝(k，1)，b＝(4，k)，c＝(k＋1，－2)，其中a∥b且a⊥c，则k＝( )
A．0 B．－2
C．2 D．±2
5．在△ABC中，C＝90°，AC＝4，BC＝3，点P是AB的中点，则 eq \(CB,\s\up6(→))· eq \(CP,\s\up6(→))＝( )
A． eq \f(9,4) B．4
C． eq \f(9,2) D．6
6．(多选)已知a＝(4，2)，b＝(6，3)，则( )
A．4a－3b＝(－2，－1) B．3|a|＝2|b|
C．a∥bD．a⊥b
7．设向量a与b的夹角为θ，且a＝(3，3)，b＝(1，2)，则cs θ＝________．
8．已知向量a＝(1，3)，b＝(3，4)，若(a－λb)⊥b，则λ＝________．
9．平面内给定三个向量a＝(3，2)，b＝(－1，2)，c＝(4，1).
(1)求|3a＋b－2c|；
(2)若(a＋kc)⊥(2b－a)，求实数k.
10．已知向量a＝(－2，1)，b＝(1，－2)，m＝a＋3b，n＝a－kb.
(1)求a·b；
(2)若m∥n，求k的值；
(3)当k＝1时，求m与n夹角的余弦值．
[提能力]
11．定义向量a，b运算a×b结果是一个向量，它的模是|a×b|＝|a||b|sin 〈a，b〉，其中〈a，b〉表示向量a，b的夹角，已知向量|a|＝1，|b|＝2，且〈a，b〉＝ eq \f(5π,6)，则|a×b|＝( )
A．1 B．－1
C． eq \r(3) D．－ eq \r(3)
12．(多选)如图，已知长方形ABCD中，AB＝3，AD＝2， eq \(DE,\s\up6(→))＝λ eq \(DC,\s\up6(→))(0<λ<1)，则下列结论正确的是( )
A．当λ＝ eq \f(1,3)时， eq \(AD,\s\up6(→))＝ eq \f(1,3) eq \(AE,\s\up6(→))＋ eq \f(2,3) eq \(BE,\s\up6(→))
B．当λ＝ eq \f(2,3)时，cs 〈 eq \(AE,\s\up6(→))， eq \(BE,\s\up6(→))〉＝ eq \f(\r(10),10)
C．对任意λ∈(0，1)， eq \(AE,\s\up6(→))⊥ eq \(BE,\s\up6(→))不成立
D．| eq \(AE,\s\up6(→))＋ eq \(BE,\s\up6(→))|的最小值为4
13．已知向量a＝(λ，1)，b＝(－3，5)，且a与b的夹角为锐角，则λ的取值范围是____________________．
14．已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则 eq \(DE,\s\up6(→))· eq \(CB,\s\up6(→))的值为________， eq \(DE,\s\up6(→))· eq \(AC,\s\up6(→))的最大值为________．
15.
如图，在矩形ABCD中，点E是BC边上的中点，点F在边CD上．
(1)若AB＝BC＝2，点F是边CD上且靠近C的三等分点，求 eq \(AE,\s\up6(→))· eq \(EF,\s\up6(→))的值；
(2)若AB＝ eq \r(3)，BC＝2，当 eq \(AE,\s\up6(→))· eq \(BF,\s\up6(→))＝0时，求CF的长．
[培优生]
16．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A，B，C三点满足 eq \(OC,\s\up6(→))＝ eq \f(1,3) eq \(OA,\s\up6(→))＋ eq \f(2,3) eq \(OB,\s\up6(→)).
(1)求 eq \f(|\(AC,\s\up6(→))|,|\(CB,\s\up6(→))|)的值；
(2)已知A(1，sin x)，B(1＋sin x，sin x)，x∈[0，π]，且函数f(x)＝ eq \(OA,\s\up6(→))· eq \(OC,\s\up6(→))＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2m－\f(2,3)))| eq \(AB,\s\up6(→))|的最小值为 eq \f(1,2)，求实数m的值．
课时作业(八) 数量积的坐标表示及其计算
1．解析：不妨设b＝(x，y)，因为a＝(1，3)，且a⊥b，
所以x＋3y＝0
再将各选项依次代入检验得A选项满足，其他选项不满足．
答案：A
2．解析：设与a垂直的单位向量坐标为(x，y)，
则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x2＋y2＝1,2x－3y＝0))
解得：eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝\f(3\r(13),13),y＝\f(2\r(13),13)))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝－\f(3\r(13),13),y＝－\f(2\r(13),13))).
答案：C
3．解析：∵|a|＝4，∴4m＝4，解得：m＝1，即b＝(1，1)，
cs〈a，b〉＝eq \f(a·b,|a||b|)＝eq \f(4,4×\r(2))＝eq \f(\r(2),2)，又0≤〈a，b〉≤π，
所以a和b的夹角大小为eq \f(π,4).
答案：A
4．解析：因为a＝(k，1)，b＝(4，k)，c＝(k＋1，－2)，a∥b，a⊥c
所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(k2－4＝0,k（k＋1）－2＝0))，解得k＝－2.
答案：B
5．解析：如图建立平面直角坐标系，则Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4，0))，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，3))，Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，0))，Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(3,2)))，
所以＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，3))，＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(3,2)))，所以·＝0×2＋3×eq \f(3,2)＝eq \f(9,2).
答案：C
6．解析：4a－3b＝(4×4－3×6，4×2－3×3)＝(－2，－1)，所以A正确；
|a|＝eq \r(42＋22)＝2eq \r(5)，|b|＝eq \r(62＋32)＝3eq \r(5)，所以B正确；
由于4×3－2×6＝0，所以a∥b，所以C正确；
由于4×6＋2×3＝30≠0，所以a与b不垂直，所以D不正确．
答案：ABC
7．解析：csθ＝eq \f(a·b,|a||b|)＝eq \f(3×1＋3×2,\r(18)·\r(5))＝eq \f(3\r(10),10).
答案：eq \f(3\r(10),10)
8．解析：因为a－λb＝(1，3)－λ(3，4)＝(1－3λ，3－4λ)，所以由(a－λb)⊥b可得，
3(1－3λ)＋4(3－4λ)＝0，解得λ＝eq \f(3,5).
答案：eq \f(3,5)
9．解析：(1)3a＋b－2c＝(9，6)＋(－1，2)－(8，2)
＝(0，6)
∴|3a＋b－2c|＝6.
(2)由题意知a＋kc＝(3，2)＋(4k，k)＝(3＋4k，2＋k)
(2b－a)＝(－2，4)－(3，2)＝(－5，2)
又(a＋kc)⊥(2b－a)
∴(a＋kc)·(2b－a)＝(3＋4k，2＋k)·(－5，2)
＝(－5)(3＋4k)＋2(2＋k)
＝－18k－11＝0.
∴k＝－eq \f(11,18).
10．解析：(1)a·b＝－2－2＝－4；
(2)因为a＝(－2，1)，b＝(1，－2)不平行；
m∥n，m＝a＋3b，n＝a－kb，1×(－k)＝3×1，
所以k＝－3；
(3)当k＝1时，m＝a＋3b＝(1，－5)，n＝a－b＝(－3，3)，
cs〈m，n〉＝eq \f(m·n,|m||n|)＝eq \f(－18,\r(26)×\r(18))＝－eq \f(3\r(13),13)，
所以m与n夹角的余弦值为－eq \f(3\r(13),13).
11．解析：因为|a|＝1，|b|＝2，且〈a，b〉＝eq \f(5π,6)，则
|a×b|＝|a||b|sin〈a，b〉＝1×2×sineq \f(5π,6)＝1.
答案：A
12．解析：
如图，以A为坐标原点，AB，AD所在直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系，
则A(0，0)，B(3，0)，C(3，2)，D(0，2)，由＝λ，可得E(3λ，2)，
A项，当λ＝eq \f(1,3)时，E(1，2)，则＝(1，2)，＝(－2，2)，
设＝m＋n，又＝(0，2)，所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(0＝m－2n,2＝2m＋2n))，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m＝\f(2,3),n＝\f(1,3)))，
故＝eq \f(2,3)＋eq \f(1,3)，A错误；
B项，当λ＝eq \f(2,3)时，E(2，2)，则＝(2，2)，＝(－1，2)，
故cs〈，〉＝＝eq \f(－2＋4,2\r(2)×\r(5))＝eq \f(\r(10),10)，B正确；
C项，＝(3λ，2)，＝(3λ－3，2)，
若⊥，则·＝3λ(3λ－3)＋2×2＝9λ2－9λ＋4＝0，
对于方程9λ2－9λ＋4＝0，Δ＝(－9)2－4×9×4<0，
故不存在λ∈(0，1)，使得⊥，C正确；
D项，＋＝(6λ－3，4)，所以|＋|＝eq \r(（6λ－3）2＋42)≥4，
当且仅当λ＝eq \f(1,2)时等号成立，D正确．
答案：BCD
13．解析：由a·b＝－3λ＋5>0得λ故λ的取值范围是eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(λ\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(λ<\f(5,3)))，且λ≠－\f(3,5))).
答案：eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(λ\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(λ<\f(5,3)))，且λ≠－\f(3,5)))
14．解析：如图分别以AB，AD为x，y轴建立平面直角坐标系．
则A(0，0)，B(1，0)，C(1，1)，D(0，1)，设E(x，0)(0≤x≤1)，
所以＝(x，－1)，＝(0，－1)，＝(1，1)，
则·＝0×x＋(－1)×(－1)＝1，
·＝x－1，由0≤x≤1，
所以当x＝1时，·的最大值为0.
答案：1 0
15.
解析：建立如图所示的平面直角坐标系：
(1)AB＝BC＝2，点F是边CD上且靠近C的三等分点，E是BC边上的中点，
所以A(0，0)，B(2，0)，C(2，2)，D(0，2)，E(2，1)，Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,3)，2))；
所以＝(2，1)，＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,3)，1)).
所以·＝－eq \f(4,3)＋1＝－eq \f(1,3).
(2)因为AB＝eq \r(3)，BC＝2，
所以A(0，0)，B(eq \r(3)，0)，E(eq \r(3)，1)，C(eq \r(3)，2)，D(0，2)，
设F(a，2)，所以＝(eq \r(3)，1)，＝(a－eq \r(3)，2)，当·＝0时⇒eq \r(3)(a－eq \r(3))＋2＝0⇒a＝eq \f(\r(3),3)，
所以CF＝eq \r(3)－eq \f(\r(3),3)＝eq \f(2\r(3),3).
16．解析：(1)由题意知A，B，C三点满足＝eq \f(1,3)＋eq \f(2,3)，
可得－＝eq \f(2,3)，
所以＝eq \f(2,3)＝eq \f(2,3)(＋)，
即eq \f(1,3)＝eq \f(2,3)
即＝2，
则||＝2||，所以＝2.
(2)由题意，函数f(x)＝·＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2m－\f(2,3)))||＝sin2x＋2msinx＋1＝(sinx＋m)2＋1－m2因为x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，所以sinx∈[0，1]，
当m≥0时，f(x)取得最小值1，不满足题意；
当－1令1－m2＝eq \f(1,2)⇒m＝－eq \f(\r(2),2)；
当m≤－1时，当sinx＝1时，f(x)最小值为2＋2m，令2＋2m＝eq \f(1,2)⇒m＝－eq \f(3,4)，
不满足m≤－1故舍去．
综上，m＝－eq \f(\r(2),2)．