高中数学湘教版（2019）必修 第二册3.3 复数的几何表示课后复习题

这是一份高中数学湘教版（2019）必修 第二册3.3 复数的几何表示课后复习题，共6页。

1．函数f(x)＝sin eq \f(x,3)＋cs eq \f(x,3)的最小正周期和最大值分别是( )
A．3π和 eq \r(2) B．3π和2
C．6π和 eq \r(2) D．6π和2
2．已知当x＝θ时，函数f(x)＝2cs x－sin x取得最小值，则cs θ＝( )
A．－ eq \f(\r(5),5) B． eq \f(2\r(5),5)
C．－ eq \f(2\r(5),5) D． eq \f(\r(5),5)
3．若sin θ＋ eq \r(3)cs θ＝2，θ∈(0，π)，则θ为( )
A． eq \f(π,3) B． eq \f(π,6)
C． eq \f(5π,6) D． eq \f(2π,6)
4．函数y＝sin x＋ eq \r(3)cs x的图象可由函数y＝sin x－ eq \r(3)cs x的图象至少向左平移( )个单位长度得到
A． eq \f(5π,6) B． eq \f(2π,3)
C． eq \f(π,3)D． eq \f(π,6)
5．已知函数f(x)＝a sin x＋b cs x满足f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,3)))＝f(3π)＝ eq \r(2)，则f(x)的最小值为( )
A．－3 B．－2
C．－2 eq \r(3) D．－2 eq \r(2)
6．(多选)已知函数f(x)＝sin x＋ eq \r(3)cs x，则下列命题正确的是( )
A．函数f(x)的最大值为4
B．函数f(x)的图象关于点 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)，0))对称
C．函数f(x)的图象关于直线x＝ eq \f(π,6)对称
D．函数f(x)在 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，π))上单调递减
7．函数y＝3sin x－4cs x的值域为________．
8．已知函数y＝a sin x＋cs x的图象关于直线x＝ eq \f(π,6)成轴对称图形，则实数a＝________．
9．已知向量m＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin x，－\f(1,2)))，n＝( eq \r(3)cs x，cs 2x)，求函数f(x)＝m·n的最大值及最小正周期．
10．已知函数f(x)＝a sin x＋a cs x＋1－a，a∈R，x∈ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2))).
(1)求f(x)的对称轴方程；
(2)若f(x)的最大值为 eq \r(2)，求a的值及此时对应x的值．
[提能力]
11．已知函数f(x)＝3sin x＋4cs x的图象与直线y＝m恒有公共点，则实数m的取值范围是( )
A．[－7，7] B．[－5，5]
C．[－4，4] D．[－3，3]
12．(多选)已知函数f(x)＝a sin 2x＋b cs 2x(a>0，b>0)，且f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)))＝0，则下列说法正确的是( )
A．f(x)的最小正周期为π
B．f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,12)))＝2a
C．将f(x)图象向左平移 eq \f(π,3)个单位得到一个偶函数
D．f(x)在 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,12)，\f(7π,12)))上单调
13．已知f(x)＝sin (x－θ)＋ eq \r(3)cs (x－θ)是偶函数，且θ∈[0，π]，则θ＝________．
14．已知函数f(x)＝ eq \r(3)sin 2x＋cs 2x，则f(x)的最小正周期为________，f(x)的图象向左平移m(m>0)个单位可得到g(x)＝sin 2x＋ eq \r(3)cs 2x的图象，则m的最小值为________．
15．已知锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，函数f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))＝a sin 2x＋b cs 2x，且函数f(x)在x＝ eq \f(π,6)处取得最大值4.
(1)求函数f(x)的单调递增区间；
(2)若△ABC的面积为 eq \r(3)，求c.
[培优生]
16．定义“辅助角函数”：fa，b(x)＝a sin x＋b cs x(a，b∈R).
(1)若关于x的方程ft，t＋1(x)＝t＋2(t∈N＋)有解，则t的取值可以是________(写出满足题意的一个t值即可).
(2)若θ是△ABC最小内角，则函数y＝f1，2(θ)·f3，4(θ)的值域为________．
课时作业(二十一) 辅助角公式
1．解析：由题，f(x)＝sineq \f(x,3)＋cseq \f(x,3)＝eq \r(2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)sin\f(x,3)＋\f(\r(2),2)cs\f(x,3)))＝eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,3)＋\f(π,4)))，所以f(x)的最小正周期为T＝eq \f(2π,\f(1,3))＝6π，最大值为eq \r(2).
答案：C
2．解析：函数f(x)＝2csx－sinx，
由辅助角公式化简可得f(x)＝eq \r(5)sin (x＋φ)，tanφ＝－2，sinφ＝eq \f(2\r(5),5)，φ为第二象限角，
因为当x＝θ时，函数取得最小值，
所以θ＋φ＝eq \f(3π,2)＋2kπ，k∈Z，则θ＝eq \f(3π,2)－φ＋2kπ，k∈Z，
所以csθ＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)－φ＋2kπ))＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)－φ))＝－sinφ＝－eq \f(2\r(5),5).
答案：C
3．解析：因为sinθ＋eq \r(3)csθ＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,3)))＝2，
所以sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,3)))＝1，
又因为θ∈(0，π)，所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,3)))∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)，\f(4π,3)))，
所以θ＋eq \f(π,3)＝eq \f(π,2)，所以θ＝eq \f(π,6).
答案：B
4．解析：y＝sinx＋eq \r(3)csx＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,3)))，y＝sinx－eq \r(3)csx＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,3)))，
∴从y＝sinx－eq \r(3)csx＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,3)))到y＝sinx＋eq \r(3)csx＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,3)))，至少向左平移eq \f(2π,3)个单位长度．
答案：B
5．解析：依题知eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(asin\f(5π,3)＋bcs\f(5π,3)＝\r(2)，,asin3π＋bcs3π＝\r(2)，))即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),2)a＋\f(1,2)b＝\r(2)，,－b＝\r(2)，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝－\r(6)，,b＝－\r(2)，))
∴f(x)＝－eq \r(6)sinx－eq \r(2)csx＝－2eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,6)))，∴f(x)的最小值为－2eq \r(2).
答案：D
6．解析：由题意f(x)＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)sinx＋\f(\r(3),2)csx))＝2sin (x＋eq \f(π,3))，
f(x)的最大值是2，A项错误；
feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)))＝2sin (eq \f(π,3)＋eq \f(π,3))＝eq \r(3)≠0，B项错误；
feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)))＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)＋\f(π,3)))＝2，C项正确；
x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，π))时，x＋eq \f(π,3)∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，\f(4π,3)))⊆eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，\f(3π,2)))，f(x)递减，D项正确．
答案：CD
7．解析：y＝3sinx－4csx＝5sin (x＋φ)，其中csφ＝eq \f(3,5)，sinφ＝－eq \f(4,5)，
又x∈R，根据三角函数的有界性，可得－1≤sin (x＋φ)≤1，所以－5≤y≤5，
所以函数y＝3sinx－4csx的值域为[－5，5].
答案：[－5，5]
8．解析：∵函数y＝asinx＋csx的图象关于直线x＝eq \f(π,6)成轴对称图形，故当x＝eq \f(π,6)时，函数值为最值，
∴eq \f(a,2)＋eq \f(\r(3),2)＝±eq \r(a2＋1)，解得a＝eq \f(\r(3),3).
答案：eq \f(\r(3),3)
9．解析：f(x)＝m·n＝eq \r(3)sinxcsx－eq \f(1,2)cs2x
＝eq \f(\r(3),2)sin2x－eq \f(1,2)cs2x＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6))).
所以函数的最大值为1，最小正周期为T＝eq \f(2π,|ω|)＝eq \f(2π,2)＝π.
10．解析：(1)f(x)＝asinx＋acsx＋1－a＝eq \r(2)asineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,4)))＋1－a，
令x＋eq \f(π,4)＝kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z，解得x＝kπ＋eq \f(π,4)，k∈Z，
又x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，则x＝eq \f(π,4)，
即f(x)的对称轴方程为x＝eq \f(π,4).
(2)∵x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，∴x＋eq \f(π,4)∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(3π,4)))
∴sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,4)))∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)，1))
①当a＞0时，f(x)max＝eq \r(2)a＋1－a＝eq \r(2)，∴a＝1，x＝eq \f(π,4)；
②当a＜0时，f(x)max＝eq \r(2)a·eq \f(\r(2),2)＋1－a＝eq \r(2)，则有1＝eq \r(2)，不成立；
③当a＝0时，f(x)max＝1，不成立，
综上所述，a＝1，x＝eq \f(π,4).
11．解析：因为f(x)＝3sinx＋4csx＝5sin (x＋φ)，tanφ＝eq \f(4,3)，
所以函数f(x)＝3sinx＋4csx的值域为[－5，5]，
又因为函数f(x)＝3sinx＋4csx的图象与直线y＝m恒有公共点，
所以实数m的取值范围是[－5，5].
答案：B
12．解析：由题意f(x)＝eq \r(a2＋b2)sin (2x＋φ)，其中csφ＝eq \f(a,\r(a2＋b2))，sinφ＝eq \f(b,\r(a2＋b2))，φ为锐角，
最小正周期是T＝eq \f(2π,2)＝π，A项正确；
feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)))＝eq \r(a2＋b2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)＋φ))＝0，eq \f(2π,3)＋φ＝kπ，k∈Z，而φ为锐角，所以φ＝eq \f(π,3)，eq \r(a2＋b2)＝2a，
feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,12)))＝eq \r(a2＋b2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)＋\f(π,3)))＝eq \r(a2＋b2)＝2a，B项正确；
将f(x)图象向左平移eq \f(π,3)个单位得到的图象的解析式为y＝eq \r(a2＋b2)sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2（x＋\f(π,3)）＋\f(π,3)))＝－eq \r(a2＋b2)sin2x，为奇函数，C项错误；
x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，\f(7π,12)))时，2x＋eq \f(π,3)∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(4π,3)，\f(3π,2)))，f(x)是递减的，D项正确．
答案：ABD
13．解析：f(x)＝2eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)sin（x－θ）＋\f(\r(3),2)cs（x－θ）))＝2sin (x－θ＋eq \f(π,3))，
它为偶函数，则eq \f(π,3)－θ＝kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z，又θ∈[0，π]，所以θ＝eq \f(5π,6).
答案：eq \f(5π,6)
14．解析：由f(x)＝eq \r(3)sin2x＋cs2x＝2sin (2x＋eq \f(π,6))，
∴T＝eq \f(2π,2)＝π，
又g(x)＝sin2x＋eq \r(3)cs2x＝2sin (2x＋eq \f(π,3))＝2sin [2(x＋eq \f(π,12))＋eq \f(π,6)]，
∴g(x)可由f(x)向左平移kπ＋eq \f(π,12)(k∈N*)个单位得到，故m的最小值为eq \f(π,12).
答案：π eq \f(π,12)
15．解析：(1)f(x)＝asin2x＋bcs2x＝eq \r(a2＋b2)sin (2x＋φ)，其中tanφ＝eq \f(b,a).
因为函数f(x)在x＝eq \f(π,6)处取得最大值4，所以eq \r(a2＋b2)＝4，
且tanφ＝eq \f(b,a)＝taneq \f(π,6)＝eq \f(\r(3),3)，所以a＝2eq \r(3)，b＝2，所以f(x)＝4sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6))).
令2kπ－eq \f(π,2)≤2x＋eq \f(π,6)≤2kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z，解得kπ－eq \f(π,3)≤x≤kπ＋eq \f(π,6)，k∈Z，
即函数f(x)的单调递增区间为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(kπ－\f(π,3)，kπ＋\f(π,6)))，k∈Z.
(2)因为a＝2eq \r(3)，b＝2，且△ABC的面积为eq \r(3)，
所以S△ABC＝eq \f(1,2)absinC＝2eq \r(3)sinC＝eq \r(3)，解得sinC＝eq \f(1,2).
因为0c2＝a2＋b2－2abcsC＝12＋4－2×2eq \r(3)×2×eq \f(\r(3),2)＝4，得c＝2.
16．解析：(1)取x＝eq \f(π,6)，则eq \f(1,2)t＋eq \f(\r(3),2)(t＋1)＝t＋2，
解得t＝eq \f(3\r(3)＋1,2)；
(2)若θ是△ABC最小内角，则θ∈eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,3)))，
y＝f1，2(θ)·f3，4(θ)＝(sinθ＋2csθ)·(3sinθ＋4csθ)
＝eq \f(11,2)＋eq \f(5,2)cs2θ＋5sin2θ
＝eq \f(5\r(5),2)sin (2θ＋φ)＋eq \f(11,2)，其中tanφ＝eq \f(1,2)，2θ∈eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(2π,3)))，
所以eq \f(－5\r(5)＋11,2)≤eq \f(5\r(5),2)sin (2θ＋φ)＋eq \f(11,2)≤eq \f(5\r(5)＋11,2)
所以值域为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(－5\r(5)＋11,2)，\f(5\r(5)＋11,2))).
答案：(1)eq \f(3\r(3)＋1,2)(答案不唯一) (2)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(－5\r(5)＋11,2)，\f(5\r(5)＋11,2)))