人教A版 (2019)必修 第一册1.4 充分条件与必要条件习题

这是一份人教A版 (2019)必修 第一册1.4 充分条件与必要条件习题，共5页。

A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
2．对任意的实数x，y，则“x＋y＝0”是“x2＋y2＝0”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
3．若a，b∈R，则“eq \f(a,b)>1”是“a>b”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
4．a<0是方程ax2＋1＝0有一个负数根的( )
A．必要不充分条件
B．充要条件
C．充分不必要条件
D．既不充分也不必要条件
5．(多选)下列说法中正确的有( )
A．“x>3”是“x>2”的必要条件
B．“x>1”是“x2>1”的充分不必要条件
C．“x＝2或x＝－3”是“x2＋x－6＝0”的充要条件
D．“a>b”是“a2>b2”的必要不充分条件
6．(多选)下列各选项中，p是q的充要条件的是( )
A．p：m<－2或m>6，q：方程x2＋mx＋m＋3＝0有两个不同的实数根
B．p：x－3＝0，q：(x－2)(x－3)＝0
C．p：两个三角形相似，q：两个三角形全等
D．p：A∩B＝A，q：A⊆B
7．“a，b至少有一个为0”是“ab＝0”的____________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)
8．函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象过原点的充要条件是________．
9．在下列各题中，判断p是q的什么条件．(请用“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”回答，不必证明)
(1)p：0<－x<2，q：－1(2)在平行四边形ABCD中，p：AC＝BD，
q：四边形ABCD是正方形；
(3)p：(x，y)∈{(x，y)|eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝x－3,y＝x2－5x＋2))}，
q：(x，y)∈{(1，－2)，(5，2)}．
10．设a，b，c∈R，求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根是1的充要条件为a＋b＋c＝0.
11.已知“p：一元二次方程x2＋bx＋c＝0有一正根和一负根；q：c<0.”则p是q的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
12．已知x1，x2是方程x2＋mx＋n＝0的两个实根，x1·x2＝2是n＝2的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
13．设a，b∈R，则“ab＋a＋b＋1＝0”的充要条件是( )
A．a，b都为－1
B．a，b不都为－1
C．a，b中至少有一个为－1
D．a，b都不为0
14．(多选)已知关于x的方程x2＋(m－3)x＋m＝0，下列结论正确的是( )
A．方程x2＋(m－3)x＋m＝0有实数根的充要条件是m∈{m|m<1或m>9}
B．方程x2＋(m－3)x＋m＝0有两正实数根的充要条件是m∈{m|0C．方程x2＋(m－3)x＋m＝0无实数根的必要条件是m∈{m|m>1}
D．当m＝3时，方程的两实数根之和为0
15.若“x≤－1或x≥1”是“x16．已知命题p：A＝{x|2a－1(1)若p是q的充分条件，求实数a的取值范围．
(2)是否存在实数a，使得p是q的充要条件？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．
课时作业7
1．解析：由题意可得，“x2>0”与“x≠0”是等价的，故“x2>0”是“x≠0”的充分必要条件．故选C.
答案：C
2．解析：取x＝－1，y＝1，此时x＋y＝0，但x2＋y2≠0，故“x＋y＝0”不是“x2＋y2＝0”的充分条件．
当x2＋y2＝0时，x＝y＝0，此时x＋y＝0，故“x＋y＝0”是“x2＋y2＝0”的必要条件．
故“x＋y＝0”是“x2＋y2＝0”的必要不充分条件．故选B.
答案：B
3．解析：若eq \f(a,b)>1，当b>0时，a>b，当b<0时，a又当a>b>0时，两边除以b，得eq \f(a,b)>1，当a>b且b<0时，两边除以b，得eq \f(a,b)<1.
故“eq \f(a,b)>1”是“a>b”的既不充分也不必要条件．故选D.
答案：D
4．解析：方程ax2＋1＝0有一个负数根，若a＝0，此时1＝0，不成立，舍去；
若a>0，则x2＝－eq \f(1,a)<0，此时方程在R上无解，舍去；
若a<0，则x2＝－eq \f(1,a)，故x＝±eq \r(－\f(1,a))，满足题意，
综上：a<0是方程ax2＋1＝0有一个负数根的充分必要条件．故选B.
答案：B
5．解析：对于A，“x>2”成立，“x>3”不一定成立，A错误；
对于B，“x>1”可以推出“x2>1”，取x＝－2，得x2>1，但－2<1，所以“x2>1”不能推出“x>1”，B正确；
对于C，x2＋x－6＝0的两个根为x＝2或x＝－3，C正确；
对于D，“a>b”不能推出“a2>b2”，同时“a2>b2”也不能推出“a>b”，D错误．故选BC.
答案：BC
6．解析：A选项，若m<－2或m>6，则方程判别式Δ＝m2－4m－12＝(m－6)(m＋2)>0，得方程x2＋mx＋m＋3＝0有两个不同的实数根，则p⇒q.若方程x2＋mx＋m＋3＝0有两个不同的实数根，则Δ＝m2－4m－12＝(m－6)(m＋2)>0⇒m<－2或m>6，则q⇒p.故p是q的充要条件，故A正确；
B选项，若x－3＝0，则x＝3，得(x－2)(x－3)＝0，则p⇒q.若(x－2)(x－3)＝0，则x＝3或x＝2，则由q不能得到p.故p是q的充分不必要条件，故B错误；
C选项，由两个三角形相似不能得到两个三角形全等，而两个三角形全等可以得到两个三角形相似，故p是q的必要不充分条件，故C错误；
D选项，由A∩B＝A，可得A⊆B，则p⇒q.由A⊆B，可得A∩B＝A，则q⇒p.故p是q的充要条件，故D正确．故选AD.
答案：AD
7．解析：ab＝0⇔a＝0或b＝0，即a，b至少有一个为0，故“a，b至少有一个为0”是“ab＝0”的充要条件．
答案：充要
8．解析：当x＝0时，y＝a·02＋b·0＋c＝c，即函数图象过(0，c)点，
充分性：因为函数图象过(0，0)点，所以c＝0；
必要性：因为c＝0，所以(0，c)点与(0，0)点重合，即函数图象过原点．
答案：c＝0
9．解析：(1)p是q的既不充分也不必要条件．
原因如下(不需写出)：
0<－x<2即－2－1故p是q的既不充分也不必要条件．
(2)p是q的必要不充分条件．
原因如下(不需写出)：
对角线相等的平行四边形是矩形，因此在平行四边形ABCD中，AC＝BDD⇒/四边形ABCD是正方形，
正方形的对角线相等，因此四边形ABCD是正方形⇒AC＝BD，
故p是q的必要不充分条件．
(3)p是q的充要条件．
原因如下(不需写出)：
{(x，y)|eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝x－3,y＝x2－5x＋2))}即y＝x－3与y＝x2－5x＋2的交点组成的集合，
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝x－3,y＝x2－5x＋2))解得交点为(1，－2)和(5，2)，
即{(x，y)|eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝x－3,y＝x2－5x＋2))}＝{(1，－2)，(5，2)}，
∴(x，y)∈{(x，y)|eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝x－3,y＝x2－5x＋2))}⇒(x，y)∈{(1，－2)，(5，2)}，
(x，y)∈{(1，－2)，(5，2)}⇒(x，y)∈{(x，y)|eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝x－3,y＝x2－5x＋2))}，
故p是q的充要条件．
10．证明：充分性：∵a＋b＋c＝0，∴c＝－a－b，
代入方程ax2＋bx＋c＝0得ax2＋bx－a－b＝0，即(x－1)(ax＋a＋b)＝0.
∴关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1；
必要性：∵方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1，∴x＝1满足方程ax2＋bx＋c＝0，
∴a×12＋b×1＋c＝0，即a＋b＋c＝0.
故关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根是1的充要条件为a＋b＋c＝0.
11．解析：因为方程x2＋ax＋1＝0有一正根和一负根，则有eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(Δ＝b2－4c>0,c<0))⇔c<0，所以p⇒q，q⇒p，故p是q的充分必要条件．故选C.
答案：C
12．解析：因为x1，x2是方程x2＋mx＋n＝0的两个实根，则Δ≥0.
则x2＋mx＋n＝(x－x1)(x－x2)＝x2－(x1＋x2)x＋x1x2＝0，则n＝x1x2，
所以，x1x2＝2⇔n＝2.
所以，x1x2＝2是n＝2的充要条件．故选C.
答案：C
13．解析：a，b∈R，ab＋a＋b＋1＝0⇔(a＋1)(b＋1)＝0，于是得a＝－1或b＝－1，因此a，b中至少有一个为－1，反之当a，b中至少有一个为－1时，ab＋a＋b＋1＝0，“a，b中至少有一个为－1”是“ab＋a＋b＋1＝0”的充要条件，C正确；而“a＝－1或b＝－1”可以是“a，b中只有一个为－1”，A不正确；“a＝－1或b＝－1”可以是“a，b都为－1”，B不正确；“a＝－1或b＝－1”可以是“a，b中一个为－1，另一个为0”，D不正确．故选C.
答案：C
14．解析：对A：若x2＋(m－3)x＋m＝0有实数根，则Δ≥0，解得m≤1或m≥9，故A错误；
对B：由题意，eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(Δ≥0,x1＋x2＝－（m－3）>0,x1x2＝m>0))，解得0对C：若方程x2＋(m－3)x＋m＝0无实数根，则Δ<0，解得11}，故C正确；
对D：当m＝3时，方程无实数根，故D错误．故选BC.
答案：BC
15．解析：令A＝{x|x≤－1或x≥1}，B＝{x|x若“x≤－1或x≥1”是“x则集合B是A的真子集，
所以a≤－1，
所以实数a的最大值为－1.
答案：－1
16．解析：(1)集合A＝{x|2a－1因为p是q的充分条件，所以A⊆B，
∴集合A可以分为A＝∅或A≠∅两种情况来讨论：
当A＝∅时，满足题意，此时2a－1≥3a＋1，解得：a≤－2；
当A≠∅时，要使A⊆B成立，
需满足eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2a－1≥－1,3a＋1≤4,2a－1<3a＋1))⇒0≤a≤1，
综上所得，实数a的取值范围为{a|a≤－2或0≤a≤1}．
(2)假设存在实数a，使得p是q的充要条件，那么A＝B，
则必有eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2a－1＝－1,3a＋1＝4))，解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝0,a＝1))，综合得a无解．
故不存在实数a，使得A＝B，
即不存在实数a，使得A是B的充要条件．
基础强化
能力提升