高中数学人教A版 (2019)必修 第一册数学建模 建立函数模型解决实际问题同步练习题

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册数学建模 建立函数模型解决实际问题同步练习题，共7页。试卷主要包含了2B．8＝0，5h等内容，欢迎下载使用。
A．8x＝0.2B．8(1－x)＝0.8
C．x8＝0.2D．(1－x)8＝0.8
2．人类已经进入大数据时代．目前，数据量已经从TB(1TB＝1024GB)级别跃升到PB(1PB＝1024TB)，EB(1EB＝1024PB)乃至ZB(1ZB＝1024EB)级别．国际数据公司(IDC)统计了从2008年至2011年全球产生的数据量如下表：
研究表明，从2008年起，全球产生的数据量y(单位：ZB)与时间x(单位：年)的关系满足函数y＝abx，记b1＝eq \f(1,4)×(0.49＋0.8＋1.2＋1.82)，b2＝eq \f(1,3)×(1.63＋1.50＋1.52)，则下列最符合上述数据信息的函数是( )
A．y＝0.49b eq \\al(\s\up1(x),\s\d1(1)) B．y＝0.49b eq \\al(\s\up1(x－2008),\s\d1(1))
C．y＝0.49b eq \\al(\s\up1(x),\s\d1(2)) D．y＝0.49b eq \\al(\s\up1(x－2008),\s\d1(2))
3．Lgistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域，有学者根据公布数据建立了某地区某种疾病累计确诊病例数I(t)(t的单位：天)的Lgistic模型：I(t)＝eq \f(K,1＋e－0.24（t－53）)，其中K为最大确诊病例数．当I(t)＝0.8K时，则t约为(ln4≈1.39)( )
A.48 B．72C．63 D．59
4．某地为了抑制一种有害昆虫的繁殖，引入了一种以该昆虫为食物的特殊动物，已知该动物的繁殖数量y(只)与引入时间x(年)的关系为y＝alg2(x＋1)，若该动物在引入一年后的数量为180只，则15年后它们发展到( )
A．300只 B．400只C．600只 D．720只
5．(多选)甲、乙两位股民以相同的资金进行股票投资，在接下来的交易时间内，甲购买的股票先经历了一次涨停(上涨10%)，又经历了一次跌停(下跌10%)，乙购买的股票先经历了一次跌停(下跌10%)，又经历了一次涨停(上涨10%)，则甲，乙的盈亏情况(不考虑其他费用)为( )
A．甲、乙都亏损B．甲盈利，乙亏损
C．甲亏损，乙盈利D．甲、乙亏损的一样多
6．(多选)常见的《标准对数视力表》中有两列数据，分别表示五分记录和小数记录数据，把小数记录数据记为x，对应的五分记录数据记为y，现有两个函数模型：①y＝5＋2lgx；②y＝5－lgeq \f(1,x).(参考数据：100.1≈1.25)根据如图标准对数视力表中的数据，下列结论中正确的是( )
A．选择函数模型①
B．选择函数模型②
C．小明去检查视力，医生告诉他视力为5，则小明视力的小数记录数据为0.9
D．小明去检查视力，医生告诉他视力为4.9，则小明视力的小数记录数据为0.8
7．2021年3月20日，国家文物局公布，四川三星堆考古发掘取得重大进展，考古人员在三星堆遗址内新发现6座祭祀坑，经碳14测年法测定，这6座祭祀坑为商代晚期遗址，碳14测年法是根据碳14的衰变程度测度样本年代的一种测量方法，已知样本中碳14的原子数N随时间t(单位：年)的变化规律是N＝N02－eq \f(t,5730)，则该样本中碳14的原子数由N0个减少到eq \f(N0,4)个时所经历的时间(单位：年)为________．
8．某生物兴趣小组自2010年起对一湖泊进行监测研究，发现其中某种生物的总数y(单位：亿)与经过的时间x(单位：年)的函数关系与函数模型y＝alg2(x＋1)＋b基本拟合．经过1年，y为3亿，经过3年，y为5亿，预计经过15年时，此种生物总数y为________亿．
9．每年红嘴鸥都从西伯利亚飞越数千公里来到美丽的昆明过冬，科学家经过测量发现候鸟的飞行速度可以表示为函数v＝eq \f(1,2)lg3eq \f(x,100)－lgx0，单位是km/min，其中x表示候鸟每分钟耗氧量的单位数，常数x0表示测量过程中候鸟每分钟的耗氧偏差．(结果保留到整数位．参考数据：lg5≈0.70，31.4≈4.66)
(1)若x0＝5，候鸟停下休息时，它每分钟的耗氧量为多少个单位；
(2)若雄鸟的飞行速度为1.3km/min，雌鸟的飞行速度为0.8km/min，那么此时雄鸟每分钟的耗氧量是雌鸟每分钟耗氧量的多少倍．
10．为落实中央“精准扶贫”政策，让市民吃上放心蔬菜，某企业于2020年在其扶贫基地投入300万元研发资金用于蔬菜的开发与种植，并计划今后10年内在此基础上，每年投入的研发资金数比上一年增长10%.
(1)以2021年为第1年，分别计算该企业第1年、第2年投入的研发资金数，并写出第x年该企业投入的研发资金数y(万元)与x的函数关系式以及函数的定义域；
(2)该企业从哪年开始，每年投入的研发资金数将超过600万元？
(参考数据：lg1.12≈7.3)
11.“学如逆水行舟，不进则退；心似平原跑马，易放难收．”源于《增广贤文》，《增广贤文》是勉励人们专心学习的，每天进步一点点，前进不止一小点．我们可以把式子(1＋1%)365中的1%看作是每天的“进步”率，一年后的值是1.01365；而把式子(1－1%)365中的1%看作是每天的“退步”率，一年后的值是0.99365.照此计算，大约经过多少天“进步”后的值是“退步”后的值的10倍？ ( )
(参考数据：lg1.01≈0.00432，lg0.99≈－0.00436)
A．100天B．108天
C．115天D．124天
12．“双碳”战略倡导绿色、环保、低碳的生活方式.2020年9月中国明确提出2030年实现“碳达峰”，2060年实现“碳中和”，为了实现这一目标，中国持续推进产业结构和能源结构调整，大力发展可再生能源，新型动力电池随之也迎来了蓬勃发展机遇．Peukert于1898年提出蓄电池的容量C(单位：A·h)，放电时间t(单位：h)与放电电流I(单位：A)之间关系的经验公式C＝In0·t，其中n0＝－lgeq \s\d9(\f(2,3))2为Peukert常数．在电池容量不变的条件下，当放电电流I＝15A时，放电时间t＝28h，则当放电电流I＝10A时，放电时间为( )
A．14hB．28.5h
C．29hD．56h
13．某科技研发公司2022年全年投入的研发资金为300万元，在此基础上，计划每年投入的研发资金比上一年增加10%，则该公司全年投入的研发资金开始超过600万元的年份是( )
(参考数据：lg2≈0.301，lg3≈0.477，lg5≈0.699，lg11≈1.041)
A．2027年B．2028年
C．2029年D．2030年
14．(多选)牛顿曾提出了物体在常温环境下温度变化的冷却模型：若物体初始温度是θ0(单位：℃)，环境温度是θ1(单位：℃)，其中θ0>θ1、则经过t分钟后物体的温度θ将满足θ＝f(t)＝θ1＋(θ0－θ1)·e－kt(k∈R且k>0).现有一杯100℃的热红茶置于10℃的房间里，根据这一模型研究红茶冷却情况，下列结论正确的是( )
(参考数值ln2≈0.7，ln3≈1.1)
A．若f(3)＝40℃，则f(6)＝20℃
B．若k＝eq \f(1,10)，则红茶下降到55℃所需时间大约为6分钟
C．5分钟后物体的温度是40℃，k约为0.22
D．红茶温度从80℃下降到60℃所需的时间比从60℃下降到40℃所需的时间多
15.有关数据显示，2022年我国快递行业产生的包装垃圾约为400万吨．有专家预测，如果不采取措施，快递行业产生的包装垃圾年平均增长率将达到50%.由此可知，如果不采取有效措施，则从________年(填具体年份)开始，快递行业产生的年包装垃圾超过4000万吨．(参考数据：lg2≈0.3010，lg3≈0.4771)
16．在国家大力发展新能源汽车产业政策影响下，我国新能源汽车的产销量高速增长．某地区2019年底新能源汽车保有量为1500辆，2020年底新能源汽车保有量为2250辆，2021年底新能源汽车保有量为3375辆．
(1)根据以上数据，试从y＝a·bx(a>0，b>0且b≠1)，y＝a·lgbx，(a>0，b>0且b≠1)两种函数模型中选择一个最恰当的模型来刻画新能源汽车保有量的增长趋势(不必说明理由)，设从2019年底起经过x年后新能源汽车保有量为y辆，求出新能源汽车保有量y关于x的函数关系式；
(2)假设每年新能源汽车保有量按(1)中求得的函数模型增长，且传统能源汽车保有量每年下降的百分比相同，2019年底该地区传统能源汽车保有量为50000辆，预计到2024年底传统能源汽车保有量将下降10%.试估计到哪一年底新能源汽车保有量将超过传统能源汽车保有量．(参考数据：lg2≈0.30，lg3≈0.48)
课时作业44
1．解析：设2015年该企业单位生产总值能耗为a，则2016年该企业单位生产总值能耗为a(1－x)，
2017年该企业单位生产总值能耗为a(1－x)2，2018年该企业单位生产总值能耗为a(1－x)3，
2019年该企业单位生产总值能耗为a(1－x)4，2020年该企业单位生产总值能耗为a(1－x)5，
2021年该企业单位生产总值能耗为a(1－x)6，2022年该企业单位生产总值能耗为a(1－x)7，
2023年该企业单位生产总值能耗为a(1－x)8，由题设可得a(1－x)8＝0.8a即(1－x)8＝0.8.故选D.
答案：D
2．解析：由题得选项AC显然错误，指数不可能是x.
b1＝eq \f(1,4)×(0.49＋0.8＋1.2＋1.82)≈1.08，
b2＝eq \f(1,3)×(1.63＋1.50＋1.52)＝1.55，
如果选D, y＝0.49×1.55x－2008，2009年的数据量为0.49×1.55＝0.7595，
如果选B, y＝0.49×1.08x－2008，2009年的数据量为0.49×1.08＝0.5292，
由于0.7595更接近0.8，故选D.
答案：D
3．解析：由题意得：I(t)＝eq \f(K,1＋e－0.24（t－53）)＝0.8K，
即e－0.24(t－53)＝eq \f(1,4)，
两边取对数得－0.24(t－53)＝lneq \f(1,4)＝－ln4≈－1.39，
即0.24(t－53)≈1.39，
解得t≈59，故选D.
答案：D
4．解析：由题知，该动物的繁殖数量y(只)与引入时间x(年)的关系为y＝alg2(x＋1)，
当x＝1，y＝180代入y＝alg2(x＋1)，得180＝alg2(1＋1)，得a＝180，
所以y＝180·lg2(x＋1)，
所以当x＝15时，y＝180·lg2(15＋1)＝180·4＝720，
所以15年后它们发展到720只．故选D.
答案：D
5．解析：设投资总额为a元，甲先经历一次涨停，再经历一次跌停后的资金为：a(1＋10%)(1－10%)＝0.99a元，
乙先经历一次跌停，再经历一次涨停后的资金为：a(1－10%)(1＋10%)＝0.99a元，故选AD.
答案：AD
6．解析：当x＝0.1时，代入y＝5＋2lgx得：y＝5－2＝3，代入y＝5－lgeq \f(1,x)得：y＝5－1＝4.
故选择函数模型②.A错误；B正确．
对于C：当y＝5时，由y＝5－lgeq \f(1,x)解得：x＝1，则小明视力的小数记录数据为1.0.故C错误；
对于D：当y＝4.9时，由y＝5－lgeq \f(1,x)解得：x＝0.8，则小明视力的小数记录数据为0.8.故D正确．故选BD.
答案：BD
7．解析：当t＝0时，N＝N0，若N＝eq \f(N0,4)，则2－eq \f(t,5730)＝2－2，所以－eq \f(t,5730)＝－2，t＝11460.
答案：11460
8．解析：由题得，点(1，3)和点(3，5)在函数y＝alg2(x＋1)＋b上，代入得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(3＝alg2（1＋1）＋b,5＝alg2（3＋1）＋b))，解得a＝2，b＝1，则函数为y＝2lg2(x＋1)＋1，所以预计经过15年时，此种生物总数y＝2lg2(15＋1)＋1＝9亿元．
答案：9
9．解析：(1)将x0＝5，v＝0代入函数v＝eq \f(1,2)lg3eq \f(x,100)－lgx0，得：eq \f(1,2)lg3eq \f(x,100)－lg5＝0，
因为lg5≈0.70，所以lg3eq \f(x,100)＝2lg5≈1.40，所以eq \f(x,100)＝31.40≈4.66，所以x＝466.所以候鸟停下休息时，它每分钟的耗氧量约为466个单位．
(2)设雄鸟每分钟的耗氧量为x1，雌鸟每分钟耗氧量为x2，由题意可得：
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(1.3＝\f(1,2)lg3\f(x1,100)－lgx0，,0.8＝\f(1,2)lg3\f(x2,100)－lgx0，))
两式相减可得：eq \f(1,2)＝eq \f(1,2)lg3eq \f(x1,x2)，所以lg3eq \f(x1,x2)＝1，即eq \f(x1,x2)＝3.
此时雄鸟每分钟的耗氧量是雌鸟每分钟耗氧量的3倍．
10．解析：(1)由题设，第1年研发资金为：300×(1＋10%)＝330万元；第2年研发资金为：300×(1＋10%)2＝363万元；
∴第x年研发资金：y＝300·(1＋10%)x且定义域为[1，10].
(2)由(1)知：y＝300·(1＋10%)x>600，即(1.1)x>2，
∴x>lg1.12≈7.3>7，故从第8年即2028年开始，每年投入的研发资金数将超过600万元．
11．解析：假设经过n天，“进步”后的值是“退步”后的值的10倍，
则可得(1＋1%)n＝10(1－1%)n，
所以(eq \f(1.01,0.99))n＝10，所以n＝eq \f(1,lg1.01－lg0.99)≈eq \f(1,0.00432－（－0.00436）)≈115，
即经过115天，“进步”后的值是“退步”后的值的10倍．故选C.
答案：C
12．解析：n0＝－lgeq \s\d9(\f(2,3))2＝lgeq \s\d9(\f(3,2))2，因为电池容量不变，则有10n0t＝15n0×28，
即有t＝eq \f(15n0,10n0)×28＝(eq \f(3,2))n0×28＝(eq \f(3,2))lgeq \s\d9(\f(3,2))2×28＝56，
所以当放电电流I＝10A时，放电时间为56h．故选D.
答案：D
13．解析：设n(n∈N*)年后公司全年投入的研发资金为y，
则根据题意有y＝300(1＋0.1)n，
研发资金开始超过600万元，即y＝300(1＋0.1)n>600，解得n>eq \f(lg2,lg11－1)≈7.341，
则n的最小值为8，
则该公司全年投入的研发资金开始超过600万元的年份是2022＋8＝2030年．故选D.
答案：D
14．解析：由题知θ＝f(t)＝10＋90e－kt，
A选项：若f(3)＝40℃，即40＝10＋90e－3k，所以e－3k＝eq \f(1,3)，则f(6)＝10＋90e－6k＝10＋90(e－3k)2＝10＋90×(eq \f(1,3))2＝20℃，A正确；
B选项：若k＝eq \f(1,10)，则10＋90·e－eq \f(1,10)t＝55，则e－eq \f(1,10)t＝eq \f(1,2)，两边同时取对数得－eq \f(1,10)t＝lneq \f(1,2)＝－ln2，所以t＝10ln2≈7，所以红茶下降到55℃所需时间大约为7分钟，B错误；
C选项：5分钟后物体的温度是40℃，即10＋90·e－5k＝40，则e－5k＝eq \f(1,3)，得－5k＝lneq \f(1,3)＝－ln3，所以k＝eq \f(1,5)ln3≈0.22，故C正确；
D选项：f(t)为指数型函数，如图，可得红茶温度从80℃下降到60℃所需的时间(t2－t1)比从60℃下降到40℃所需的时间(t3－t2)少，故D错误．
故选AC.
答案：AC
15．解析：设快递行业产生的包装垃圾为y万吨，n表示从2022年开始增加的年份数，由题意可得y＝400×(1＋50%)n＝400×(eq \f(3,2))n，400×(eq \f(3,2))n>4000，得(eq \f(3,2))n>10，
两边取对数可得n(lg3－lg2)>1，∴n(0.4771－0.3010)>1，得0.176n>1，解得n>5.682，∴从2022＋6＝2028年开始，快递行业产生的包装垃圾超过4000万吨.
答案：2028
16．解析：(1)根据该地区新能源汽车保有量的增长趋势知，应选择的函数模型是y＝a·bx(a>0，b>0且b≠1)，
由题意得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a·b0＝1500,a·b1＝2250))，解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝1500,b＝\f(3,2)))，
所以y＝1500·(eq \f(3,2))x.
(2)设传统能源汽车保有量每年下降的百分比为r，
依题意得，50000(1－r)5＝50000(1－10%)，解得1－r＝0.9eq \s\up6(\f(1,5))，
设从2019年底起经过x年后的传统能源汽车保有量为y辆，
则有y＝50000(1－r)x＝50000(0.9eq \s\up6(\f(1,5)))x，
设从2019年底起经过x年后新能源汽车的数量将超过传统能源汽车，
则有1500·(eq \f(3,2))x>50000(0.9eq \s\up6(\f(1,5)))x，
化简得3·(eq \f(3,2))x>100(0.9eq \s\up6(\f(1,5)))x，
所以lg3＋x(lg3－lg2)>2＋eq \f(x,5)(2lg3－1)，
解得x>eq \f(2－lg3,\f(1,5)＋\f(3,5)lg3－lg2)≈8.09，
故从2019年底起经过9年后，即2028年底新能源汽车的数量将超过传统能源汽车．
基础强化
时间/年
2008
2009
2010
2011
数据量/ZB
0.49
0.8
1.2
1.82
增长比例
1.63
1.50
1.52
能力提升