第14章 整式的乘法与因式分解专题-整式的乘法与因式分解 人教版八年级数学上册课件

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第十四章 整式的乘法与因式分解综合专题讲解专题目录专题二：十字相乘法求因式分解专题三：分组求因式分解专题四：因式分解的应用专题一：乘法公式的几何背景1. 平方差公式的几何背景 例1 如图①，从边长为 a 的正方形中剪去一个边长为 b 的正方形，然后将剩余部分拼成一个长方形(如图②)，则上述操作所能验证的公式是( )A．a2 + ab = a(a + b) B．(a－b)2 = a2 －2ab + b2C．(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 D．a2－b2 = (a + b)(a－b) D1.(东台市期中)如图，大正方形与小正方形的面积之差是 80 ，则阴影部分的面积是( )A．30 B．40 C．50 D．60 B2. 完全平方公式的几何背景 例2 如图，能根据图形中的面积说明的乘法公式是( )A．(a + b)(a－b) = a2－b2 B．(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 C．(a－b)2 = a2 －2ab + b2 D．ab · ab = a2b2 B2.(沙坪坝区校级期中)如图所示，大正方形边长为 a ，小正方形边长为 b ，已知 a2 + b2 = 16，ab = 2，则阴影部分的面积是( )A．6 B．7 C．8 D．9 B3. 如图，将两个边长为 b 的小正方形，放到边长为 a 的大正方形内，若长方形 ABCD 的面积为 80 ，两个正方形重叠部分面积为 48 ， 求 a2 + b2 的值.解：由题意得：长方形 ABCD 的面积为S长 = ab = 80 ，两个正方形重叠部分的面积为S重 = b(2b－a) = 48，即 2b2－ab = 48，解得：b = 8，a = 10，a2 + b2 = 164.[解题策略] 根据题干，找出面积与边长的关系. 已知条件(整式的值)整体带入求值.例3 将式子 x2－x－6 分解因式.一次项系数 －1 = 2 + (－3) ，(x + 2)(x − 3) .解：原式 = (x + 2)(x − 3) .4.(张店区校级期末)已知，多项式 x2－mx + n 可因式分解为 (x + 3)(x－4)，则 m 的值为( )A．－1 B．1 C．－7 D．7 B-m = 3 + (-4) = -1m = 1.方法二：(x + 3)(x－4) = x2－x－125.(万州区期末)若 A、B、C 均为整式，如果 A · B = C ，则称 A 能整除 C . 例如 (x + 3)(x－2) = x2 + x－6，可知(x－2) 能整除 x2 + x －6 . 若 x－3 能整除 x2 + kx－12，则 k 的值为( )A．－1 B．1 C．－4 D．4 B能被 x－3 整除 常数项为 -12k = -12÷(-3)+(-3) [解题策略] ①观察多项式的常数项可以分解成哪几组因式相乘. ②找出“和”等于多项式一次项的那组，因式分解.例4 因式分解：x3 + x2－x－1.解：(1) 原式 = x3－x + x2－1= x(x2－1) + (x2－1)= (x + 1)(x2－1) = (x + 1)2(x－1) .1. 公式法分组求因式分解 6. 把下列各式分解因式：(1) x2 + y2－z2－2xy； (2) a3－a2b－a + b.解：(1) 原式 = x2－2xy + y2－z2= (x－y)2－z2= (x－y + z)(x－y－z) (2) 原式 = a2(a－b)－a + b=a2(a－b)－(a－b)= (a2－1)(a－b) = (a + 1)(a－1)(a－b) 6. (射洪市期末)分解因式：(1) 25(m + n)2－9(m－n)2； (2) 4a2－b2－4a + 1.解：(1) 原式 = [5(m + n)]2－[3(m－n)]2= (5m + 5n + 3m－3n)(5m + 5n－3m + 3n)= (8m + 2n)(2m + 8n) (2) 原式 = 4a2－4a + 1－b2=(2a－1)2－b2= (2a + b－1)(2a－b－1) = 4 (4m + n)(m + 4n) 2. 十字相乘法分组求因式分解 例5 (徐汇区期末)因式分解：xy + (x + 1)(y + 1)(xy + 1).解：原式 = xy + (xy + x + y + 1)(xy + 1)= xy + [(xy + 1) + x + y](xy + 1)=(xy + 1)2 + (x + y)(xy + 1) + xy=(xy + 1+ x)(xy + 1 + y) [解题策略] 把多项式适当分组 ，变形成符合乘法公式、十字相乘法的形式， 再运用公式因式分解. 7. (禅城区校级期中) 若 a + b－1 = 0，则：3a2 + 6ab + 3b2 的值是 ( ).A．－3 B．－1 C．1 D．3 Da + b = 1 3a2 + 6ab + 3b2 3(a + b)2 3a2 + 6ab + 3b2 = 38. (容城县校级一模) 小李在计算 20232023－20232021时，发现其计算结果能被连续三个整数整除，则这三个整数是 ( ).A．2023，2024，2025 B．2022，2023，2024 C．2021，2022，2023 D．2020，2021，2022 B 9. (罗湖区期中修改) 生活中人们经常用到密码，某种设置密码的方法是，将多项式分解因式，如某多项式分解因式后的结果是：(x2＋1)(x＋1)(x－1)，当 x 取 10 时，各个因式的值是：x2＋1 = 101，x＋1 = 11，x－1 = 9. 于是就得到六位数密码“101119”.那么对于多项式 x8－y8 ，当取 x = 3 ，y = －2 时，用上述办法可以产生的六位数密码为( ) A．971315 B．891315 C．971015 D．139715A 10. (怀集县一模) 如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那么称这个正整数为“相数”.如：8 = 32 - 12，16 = 52 - 32，24 = 72 - 52，因此 8，16，24 都是“相数”. (1)判断 32 是相数吗？____.(填“是”或“不是”) (2)求证：所有的“相数”都是 8 的倍数. (提示：两个连续的奇数可以表示为 2n - 1， 2n + 1，其中 n 为正整数.) 解：(1) 32 = 92－72，所以 32 是相数.(2) 2n - 1， 2n + 1 可以表示两个连续的奇数.(2n + 1)2－(2n - 1)2 (1)判断 32 是相数吗？____.(填“是”或“不是”) (2)求证：所有的“相数”都是 8 的倍数. 是= (2n + 1 + 2n - 1)(2n + 1 - 2n + 1) = 4n×2 = 8n∴所有的“相数”都是 8 的倍数.[解题策略] 把多项式适当分组 ，变形成符合乘法公式、十字相乘法的形式， 再运用公式因式分解.