北师大版七年级上册第四章 基本平面图形4.3 角课时练习

这是一份北师大版七年级上册第四章 基本平面图形4.3 角课时练习，共47页。

专题4.2 角的旋转问题

【典例1】已知如图1，∠AOB=40°

(1)若∠AOC=13∠BOC，则∠BOC= ;
(2)如图2，∠AOC=20°，OM为∠AOB内部的一条射线，ON是∠MOC四等分线，且3∠CON=∠NOM，
求4∠AON+∠COM的值；
(3)如图3，∠AOC=20°，射线OM绕着O点从OB开始以5度/秒的速度逆时针旋转一周至OB结束，在旋转过程中，设运动的时间为t，ON是∠MOC四等分线，且3∠CON=∠NOM，当t在某个范围内4∠AON+
∠BOM会为定值，请直接写出定值，并指出对应t的范围（本题中的角均为大于0°且小于180°的角）．
【思路点拨】
（1）分两种情况讨论：①OC在∠AOB内部时，由∠AOC=13∠BOC得到∠BOC=34∠AOB；②OC在∠AOB外部时，由∠AOC=13∠BOC得到∠BOC=32∠AOB．
（2）设∠CON=x°，根据题意用x表示有关角的度数，最终得4∠AON+∠COM的值；
（3）按OM和ON的不同位置分五种情况分别讨论，记OM转过的角度为α，第一种情况：当0＜α≤60°，即0＜t≤12时；第二种情况：当60°＜α≤180°时，即12＜t≤36时；第三种情况：当180°＜α≤240°时，即36＜t≤48时；第四种情况：当240°＜α≤340°，即48＜t≤68时；第五种情况：当340°＜α≤360°，即68＜t≤72时．用t表示出有关角的度数，再求4∠AON+∠BOM的最后结果．
【解题过程】
解：（1）分两种情况讨论：①C在∠AOB内部时，如下图，

∵∠AOC=13∠BOC，
∴∠BOC=34∠AOB=×40°=30°，
②OC在∠AOB外部时，如下图，

∠AOC=13∠BOC，
∴∠BOC=32∠AOB=32×40°=60°，
综上所述：∠BOC=30°或60°；
故答案为：30°或60°．
（2）
证明：设∠AON=x° ，
则∠CON=（20-x）°，
∠NOM=3∠CON=(60-3x）°，
∠COM=(80-4x）° ，
所以4∠AON+∠COM=80°．
（3）记OM的旋转角度为α，分五种情况讨论：
第一种，当0°＜α≤60°，即0＜t≤12时，如下图，

射线OM绕着O点从OB开始以5度/秒的速度逆时针旋转得∠MOB=5t°，
∴∠COM=∠COA+∠AOB-∠MOB=60°-5t°，
∵ON是∠MOC四等分线，且3∠CON=∠NOM，
∴∠CON=14∠COM，
∴∠AON=∠COA-∠CON=∠COA-14∠COM=20°-14（60°-5t°）=5°+54t°，
∴4∠AON+∠BOM=4（5°+54t°）+5t°=20°+10t°，
∴0≤t≤12时，4∠AON+∠BOM=20°+10t°，不是定值．
第二种情况：当60°＜α＜180°，即12＜t＜36时，如下图，

∵∠MOB=5t°，
∴∠COM=∠MOB-∠BOC=5t°-60°，
∵∠CON=14∠COM，
∴∠AON=∠COA+∠CON=∠COA+14∠COM=20°+14（5t°-60°）=5°+54t°，
∴4∠AON+∠BOM=4（5°+54t°）+5t°=10t°+20°，
∴12＜t＜36时，4∠AON+∠BOM不是定值．
第三种情况：当180°≤α≤240°，即36≤t≤48时，如下图，

由∠MOB=360°-5t°得，∠COM=5t°-60°，
∵ON是∠MOC四等分线，且3∠CON=∠NOM，
∴∠AON=∠CON+∠COA=14∠COM+∠COA=14（5t°-60°）+20°=5°+54t°，
∴4∠AON+∠BOM=4（5°+54t°）+360°-5t°=380°，
∴当36≤t≤48时，4∠AON+∠COM为定值380°；
第四种情况：当240°＜α＜340°时，即48＜t＜68，如下图，

由∠MOB=360°-5t°得，∠COM=∠MOB+∠BOC=360°-5t°+60°=420°-5t°，
∴∠AON=∠CON-∠COA=14∠COM-∠COA=14（420°-5t°）-20°=85°-54t°，
∴4∠AON+∠BOM=4（85°-54t°）+360°-5t°=700°-10t°，
∴48＜t＜68时，4∠AON+∠COM不是定值；
第五种情况：当340°≤α≤360°，即68≤t≤72时，如下图，

由∠MOB=360°-5t°得，∠COM=∠MOB+∠BOC=360°-5t°+60°=420°-5t°，
∴∠AON=∠COA-∠CON=∠COA-14∠COM=20°-14（420°-5t°）=54t°-85°，
∴4∠AON+∠BOM=4（54t°-85°）+360°-5t°=20°，
∴68≤t≤72时，4∠AON+∠COM为定值20°．
综上所述：当36≤t≤48时，4∠AON+∠COM为定值380°；当68≤t≤72时，4∠AON+∠COM=20°，为定值20°．







1．（2022·全国·七年级专题练习）如图1，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠AOC：∠BOC=2：1，将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边ON在射线OA上，另一边OM在直线AB的下方，将图1中的三角板绕点O按顺时针方向旋转一周．

(1)三角板从图1位置旋转到图2位置（OM落在射线OA上），ON旋转的角度为  ______；
(2)在三角板从图1旋转到图3位置的过程中，若三角板绕点O按每秒钟15°的速度旋转，当OM所在直线恰好平分∠BOC时，求出三角板绕点O运动的时间．
【思路点拨】
（1）根据旋转的性质知，旋转角∠MON=90°；
（2）分两种情况，画出图形，根据角的和差可得答案．
【解题过程】
（1）解：依题意知，旋转角是∠MON，且∠MON=90°．
故答案为：90；
（2）解：设运动时间为t秒，
∵∠AOC：∠BOC=2：1，
∴∠AOC=120°，∠BOC=60°，
如图，

当ME平分∠BOC时，
∴∠AOM=∠BOE=12∠BOC=30°，
∴15t=60°，解得t=4；
如图，

当OM平分∠BOC时，
∴∠BOM=12∠BOC=30°，
∴15t=360°-120°，解得t=16．
答：当t 运动4秒或16秒，OM所在直线恰好平分∠BOC．
2．（2022·陕西·西安辅轮中学七年级期末）已知：O是直线AB上的一点，∠COD是直角，OE平分∠BOC．

(1)如图1，当∠AOC＝40°时，求∠DOE的度数；
(2)如图2，OF平分∠BOD，求∠EOF的度数；
(3)如图3，∠AOC=36°，此时∠COD绕点O以每秒6°沿逆时针方向旋转t秒（0≤t<60），请直接写出∠AOC和∠DOE之间的数量关系
【思路点拨】
(1)由补角及直角的定义可求得的∠BOC度数，结合角平分线的定义可求解∠DOE的度数；
(2)由角平分线的定义可得∠EOF=∠BOE−∠BOF=12(∠BOC−∠BOD)=12∠COD，进而可求解；
(3)可分两种情况：①当0＜t≤6时，∠AOC=36°−6°t，求出∠DOE=18°−3°t，得出答案；②当6＜t＜60时，∠AOC=6°t−36°，得出∠DOE=198°−3°t，进而得到答案．
【解题过程】
解：（1）∵∠AOC=40°，
∴∠BOC=180°−∠AOC=180°−40°=140°，
∵OE平分∠BOC，
∴∠COE=12∠BOC=12×140°=70°，
∵∠COD=90°，
∴∠DOE=∠COD−∠COE=90°−70°=20°；
（2）∵OE平分∠BOC，OF平分∠BOD，
∴∠BOE=12∠BOC，∠BOF=12∠BOD，
∴∠EOF=∠BOE−∠BOF=12(∠BOC−∠BOD)=12∠COD，
∵∠COD=90°，
∴∠EOF=45°；
（3）①当0＜t≤6时，由题意可得
∴∠AOC=36°−6°t，
∴∠DOE=∠COD−∠COE=∠COD−12(180°−∠AOC)，
=90°−12[180°−(36°−6°t)]
=18°−3°t，
∴∠AOC=2∠DOE；
②当6＜t＜60时，如下图，

∴∠AOC=6°t−36°，
∴∠DOE=∠COD+∠COE
=90°+12[180°−(6°t−36°)]=198°−3°t，
∴∠AOC+2∠DOE=360°
3．（2022·江苏·七年级专题练习）【阅读理解】
如图①，射线OC在∠AOB内部，图中共有三个角∠AOC、∠AOB、∠BOC，若其中有两个角的度数之比为1：2，则称射线OC为∠AOB的“幸运线”．

(1)∠AOB的角平分线 这个角的“幸运线”；（填“是”或“不是”）
(2)若∠AOB＝120°，射线OC为∠AOB的“幸运线”，则∠AOC＝ ．
【问题解决】
(3)如图②，已知∠AOB=150°，射线OP从OA出发，以20°/s的速度顺时针方向旋转，射线OQ从OB出发，以10°/s的速度逆时针方向旋转，两条射线同时旋转，当其中一条射线旋转到与∠AOB的边重合时，运动停止，设旋转的时间为t（s），当t为何值时，射线OP是以射线OA、OQ为边构成角的幸运线？试说明理由．
【思路点拨】
（1）由角平分线的定义可得；
（2）分三种情况讨论，即∠AOC=2∠BOC，2∠AOC=∠BOC，∠AOB=2∠AOC或∠AOB=2∠BOC三种情况，结合∠AOC+∠BOC=∠AOB =120°可以求出∠AOC．
（3）分三种情况讨论，由“幸运线”的定义，列出方程可求t的值．
【解题过程】
解：（1）∵一个角的平分线平分这个角，且这个角是所分两个角的两倍，
∴一个角的角平分线是 这个角的“幸运线”，
故答案为：是．
（2）解：∵射线OC在∠AOB内部，
∴∠AOC+∠BOC=∠AOB =120°．
①当∠AOC=2∠BOC时，∠AOC+∠BOC=3∠BOC =120°，
∴∠BOC=40°，
∴∠AOC=80°．
②当2∠AOC=∠BOC，且∠AOC+∠BOC=3∠AOC =120°，
∴∠AOC=40°．
③当∠AOB=2∠AOC或∠AOB=2∠BOC时，OC平分∠AOB，
∴∠AOC =12∠AOB =60°．
综上所述：∠AOC=40°或60°或80°．
故答案为： 40°或60°或80°．
（3）解：∵射线OP是以射线OA、OQ为边构成角的“幸运线”，
∴射线OP在以射线OA、OQ为边构成角的内部．如下图所示：

∴∠AOP=20t°，∠BOQ =10t°，
∴∠POQ=∠AOB-∠AOP-∠BOQ= (150-20t-10t)°=(150-30t)°,
∠AOQ=∠AOB -∠BOQ==(150-10t)°．
①当∠AOP=2∠POQ时，则20t =2×(150-30t)，
∴t=154．
②若∠POQ=2∠AOP，则150-30t =2×20t，
∴t=157．
③若2∠AOP=∠AOQ或2∠POQ=∠AOQ，则2×20t=150-10t，
∴t=3．
综上所述：t=154或157或3．
4．（2022·湖南永州·七年级期末）如图所示，是某一种旋转灯光聚合装置简易图，光线的多少可由控制器控制，已知AO⊥BC，垂足为O．现从点O同时发出两条旋转光线，一条光线为OD，从OB开始，绕点O顺时针方向旋转，旋转速度为每秒3°，另一条光线OE，从OC开始，绕点O逆时针旋转，旋转速度为每秒2°；设两条光线同时旋转的时间为t秒．

(1)旋转多少秒，两条光线第一次重合？
(2)当0 (3)0 【思路点拨】
（1）两条光线第一次重合，转过的角度和为180°，根据题意列出方程即可；
（2）当0＜t≤60时，若OD⊥OE，则转过的角度和90°或270°，根据题意列出方程即可；
（3）容易发现，0＜t≤240时，两条光线有7次夹角是60°，第一次可得2t°+3t°=180°-60°，第二次可得2t°+3t°=180°+60°，第三次在第一次的基础上加360°，据此可得转过的度数和分别是120°、240°、480°、600°、840°、960°、1200°，分别列出方程解答即可．
【解题过程】
解：（1）两条光线第一次重合，转过的角度和为180°，
由题意得，2t°+3t°=180°，
解得t=36（秒），
答：旋转36秒时两条光线第一次重合；
（2）若OD⊥OE，则转过的角度和90°或270°，
第一次OD⊥OE时，2t°+3t°=90°，
解得t=18（秒），
第二次OD⊥OE时，2t°+3t°=270°，
解得t=54（秒），
答：当0＜t≤60时，若OD⊥OE时，t的值为18秒或54秒；
（3）当0＜t≤240时，两条光线有7次夹角是60°，转过的度数和分别是120°、240°、480°、600°、840°、960°、1200°，
第一次夹角为60°时，2t°+3t°=180°-60°，解得t=24（秒），
第二次夹角为60°时，2t°+3t°=180°+60°，解得t=48（秒），
第三次夹角为60°时，2t°+3t°=480°，解得t=96（秒），
第四次夹角为60°时，2t°+3t°=600°，解得t=120（秒），
第五次夹角为60°时，2°t+3°t=840°，解得t=168（秒），
第六次夹角为60°时，2°t+3°t=960°，解得t=192（秒），
第七次夹角为60°时，2°t+3°t=1200°，解得t=240（秒），
综上所述，0＜t≤240时，当两条光线在绕点O的旋转过程中，∠DOE=60°，t的值为24秒或48秒或96秒或120秒或168秒或192秒或240秒．
5．（2022·成都市龙泉驿区四川师范大学东区上东学校七年级期末）如图所示，OA,OB,OC是以直线EF上一点O为端点的三条射线，且∠FOA=20°，∠AOB=60°,∠BOC=10°．以点O为端点作射线OP,OQ分别与射线OF,OC重合，射线OP从OF处开始绕点O逆时针匀速旋转，转速为1°/s，射线OQ从OC处开始绕点O顺时针匀速旋转（射线OQ旋转至与射线OF重合时停止），两条射线同时开始旋转，设旋转时间为t秒．（旋转速度＝旋转角度÷旋转时间）

(1)当射线OP平分∠AOC时，求射线OP旋转的时间．
(2)当射线OQ的转速为4°/s,t=21s时，求∠POQ的值．
(3)若射线OQ的转速为3°/s，
①当射线OQ和射线OP重合时，求∠COQ的值．
②当∠POQ=70°时，求射线OP旋转的时间．
【思路点拨】
（1）∠AOC=∠AOB+∠BOC=70°，当射线OP平分∠AOC时，∠AOP=∠POC=35°，此时OP旋转的度数为：∠AOF+∠AOP=55°，旋转的时间：55÷1=55s．
（2）求出射线OP、射线OQ旋转的度数，画出图形，根据角的和差即可求解；
（3）①根据OP和OQ的转速，即可求解；
②设射线OP旋转的时间为ts，则分为2种情况讨论：①当OP和OQ在未重合之前；②当OP和OQ在重合之后．
【解题过程】
（1）解：∵∠AOC=∠AOB+∠BOC=60°+10°=70°，
∴当射线OP平分∠AOC时，∠AOP=∠POC=35°，
∴此时OP旋转的度数为：∠AOF+∠AOP=20°+35°=55°，
∵射线OP从OF处开始绕点O逆时针匀速旋转，转速为1°/s,，
∴旋转的时间：55÷1=55s．
（2）∵射线OQ的转速为4°/s,，射线OQ从OC处开始绕点O顺时针匀速旋转，
∴t=21s时，∠COQ=21×4=84°，
∵射线OP从OF处开始绕点O逆时针匀速旋转，转速为1°/s，
∴t=21s时，∠FOP=21×1=21°，
如图，

∴∠FOQ=∠FOA+∠AOB+∠BOC−∠COQ=6°，
∴∠POQ=∠FOP−∠FOQ=15°；
（3）①当射线OQ和射线OP重合时，t=10+20+603+1=452(s)；
∴∠COQ=452×3=135°2；
②设射线OP旋转的时间为ts，
当OP和OQ在未重合之前，90−t−3t=70，t=5；
当OP和OQ在重合之后，3t+t−70=90，解得t=40；
∵OQ按题目条件射线OQ旋转至与射线OF重合时停止，
∴.t≤90÷3，即t≤30，
∴t=40时，OQ早已停止运动，但OP未停止，因此第二种情况t=70．
故当∠POQ=70°时，射线OP旋转的时间为5秒或70秒
6．（2022·辽宁大连·七年级期末）已知O为直线AB上一点，射线OD、OC、OE位于直线AB上方，OD在OE的左侧，∠AOC＝120°，∠DOE＝80°．

(1)如图1，当OD平分∠AOC时，求∠EOB的度数；
(2)点F在射线OB上，若射线OF绕点O逆时针旋转n°（0＜n＜180且n≠60），∠FOA＝3∠AOD．当∠DOE在∠AOC内部（图2）和∠DOE的两边在射线OC的两侧（图3）时，∠FOE和∠EOC的数量关系是否改变，若改变，说明理由，若不变，求出其关系．
【思路点拨】
（1）由∠AOC＝120°，得到∠BOC＝60°，又OD平分∠AOC，则∠DOC＝60°，由∠DOE＝80°，得到∠EOC＝20°，最后得到∠EOB=40°；
（2）分两种情况，∠DOE在∠AOC内部时，令∠AOD=x°，则∠DOF=2x°, ∠EOF=80°－2x°，∠EOC==40°－x°，结论成立；∠DOE的两边在射线OC的两侧时，令∠AOD=x°，则∠DOF=2x°, ∠DOC=120°-x°，∠EOF=2x°-80°，∠EOC==x°-40°，结论得证．
【解题过程】
（1）解：如图1，

∵∠AOC＝120°，
∴∠BOC＝180°－∠AOC＝60°，
∵OD平分∠AOC时，
∴∠DOC＝12∠AOC＝60°，
∵∠DOE＝80°，
∴∠EOC＝∠DOE －∠DOC＝20°， .
∴∠EOB=∠BOC －∠EOC＝40°.
（2）解：不变，∠EOF=2∠EOC.
当∠DOE在∠AOC内部时，如图2，

令∠AOD=x°，则∠DOF=2x°, ∠EOF=80°－2x°，
∴∠EOC=120°－（∠AOD＋DOF＋∠EOF）＝120°－（x°+2x°+80°－2x°）=40°－x°，
∴∠EOF=2∠EOC，
当∠DOE的两边在射线OC的两侧时，如图3，

令∠AOD=x°，则∠DOF=2x°, ∠DOC=120°-x°，∠EOF=2x°-80°,
∠EOC=∠DOE－∠DOC＝80°-（120°-x°）=x°-40°，
∴∠EOF=2∠EOC，
综上可得∠EOF=2∠EOC．
7．（2022·全国·七年级专题练习）已知射线OC在∠AOB的内部，若∠AOB，∠AOC和∠BOC三个角中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线OC是∠AOB的奇妙线．

(1)一个角的平分线________这个角的奇妙线；（填“是”或“不是”）
(2)如图，∠MPN=60°．
①若射线PQ是∠MPN的奇妙线，则∠QPN的度数为________度；
②射线PF从PN位置开始，以每秒旋转3°45′的速度绕点P按逆时针方向旋转，当∠FPN首次等于180°时停止旋转，设旋转的时间为t(s)．当t为何值时，射线PM是∠FPN的奇妙线？
【思路点拨】
（1）根据其妙线的定义进行判断即可；
（2）①根据奇妙线的定义分三种情况讨论计算即可；
②射线PM是∠FPN的奇妙线，PM在∠FPN的内部，PF在∠NPM的内部，然后分三种情况求解即可．
【解题过程】
（1）解：一个角的平分线中，大角是小角的2倍，满足奇妙线的定义，
故答案为：是；
（2）①∠MPN=60°，射线PQ是∠MPN的奇妙线，根据奇妙线的定义分三种情况讨论：
当∠NPQ=2∠MPQ时，
∠QPN=40°；
当∠MPQ=2∠NPQ时，
∠QPN=20°；
当∠NPM=2∠MPQ时，
∠QPN=30°；
故答案为：20或30或40；
②∵射线PM是∠FPN的奇妙线  
∴PM在∠FPN的内部
∴PF在∠NPM的内部
分三种情况：
（Ⅰ）如图，当∠NPM=2∠FPM时，

∠FPM=12∠NPM=12×60°=30°
∴∠FPN=∠NPM+∠FPM=60°+30°=90°
∵3°45'=3.75°
∴t=90÷3.75=24(s)
（Ⅱ）如图，当∠FPN=2∠MPN时，
∠FPN=2×60°=120°

∴t=120÷3.75=32(s)
（Ⅲ）如图3，当∠FPN=2∠NPM时，
∠FPN=2×60°=120°

∴∠FPN=∠NPM+∠FPM=60°+120°=180°
∴t=180÷3.75=48(s)
综上：当t为24或32或48时，射线PM是∠FPN的奇妙线．
8．（2022·浙江台州·七年级阶段练习）如图，直线CD，EF相交于点O，射线OA在∠COF的内部，∠DOF=13∠AOD．

(1)如图1，若∠AOC=120°，求∠EOC的度数；
(2)如图2，若∠AOC=α（60°<α<180°），将射线OA绕点O逆时针旋转60°，到OB，
①求∠EOB的度数（用含α的式子表示）；
②观察①中的结果，直接写出∠AOC，∠EOB之间的数量关系．
(3)如图3 ，0°<∠AOC <120°，将射线OA绕点O顺时针旋转60°，到OB，请直接写出∠AOC，∠EOB之间的数量关系．
【思路点拨】
（1）根据补角的定义求出∠AOD，结合已知求出∠DOF，然后根据对顶角相等得出答案；
（2）①根据补角的定义求出∠AOD，结合已知求出∠DOF，然后根据对顶角相等求出∠EOC，再根据∠BOC＝α－60°，求出∠EOB的度数即可；②根据题意结合补角的定义求出∠AOD＝180°－∠AOC，∠BOC＝∠AOC－60°，然后可得∠DOF＝13∠AOD＝60°－13∠AOC，再根据对顶角相等计算得出答案；
（3）分情况讨论：①当0°<∠AOC ≤90°时，根据题意结合补角的定义求出∠AOD＝180°－∠AOC，∠BOC＝∠AOC＋60°，然后可得∠DOF＝13∠AOD＝60°－13∠AOC，再根据对顶角相等计算得出答案；②当90°<∠AOC ≤120°时，根据题意结合补角的定义求出∠AOD＝180°－∠AOC，∠BOC＝∠AOC＋60°，然后可得∠DOF＝13∠AOD＝60°－13∠AOC，再根据对顶角相等计算得出∠EOC＋∠BOC＝23∠AOC＋120°，最后根据周角的定义计算得出答案．
【解题过程】
（1）解：∵∠AOC＝120°，
∴∠AOD＝180°－∠AOC＝180°－120°＝60°，
∴∠DOF＝13∠AOD＝20°，
∴∠EOC＝∠DOF＝20°；
（2）解：①∵∠AOC＝α，
∴∠AOD＝180°－α，
∴∠DOF＝13∠AOD＝60°－13α，
∴∠EOC＝∠DOF＝60°－13α，
由题意得：∠AOB＝60°，
∴∠BOC＝α－60°，
∴∠EOB＝∠EOC＋∠BOC＝60°－13α＋α－60°＝23α；
②观察①中结果可得：∠EOB＝23∠AOC，
证明：∵∠AOD＝180°－∠AOC，∠BOC＝∠AOC－∠AOB＝∠AOC－60°，
∴∠DOF＝13∠AOD＝60°－13∠AOC，
∴∠EOC＝∠DOF＝60°－13∠AOC，
∴∠EOB＝∠EOC＋∠BOC＝60°－13∠AOC＋∠AOC－60°＝23∠AOC；
（3）解：①当0°<∠AOC ≤90°时，如图，

∵∠AOD＝180°－∠AOC，∠BOC＝∠AOC＋∠AOB＝∠AOC＋60°，
∴∠DOF＝13∠AOD＝60°－13∠AOC，
∴∠EOC＝∠DOF＝60°－13∠AOC，
∴∠EOB＝∠EOC＋∠BOC＝60°－13∠AOC＋∠AOC＋60°＝23∠AOC＋120°．
②当90°<∠AOC ≤120°时，如图，

∵∠AOD＝180°－∠AOC，∠BOC＝∠AOC＋∠AOB＝∠AOC＋60°，
∴∠DOF＝13∠AOD＝60°－13∠AOC，
∴∠EOC＝∠DOF＝60°－13∠AOC，
∴∠EOC＋∠BOC＝60°－13∠AOC＋∠AOC＋60°＝23∠AOC＋120°，
∴∠EOB＝360°－（∠EOC＋∠BOC）＝360°－23∠AOC－120°＝240°－23∠AOC．
9．（2022·湖北武汉·七年级期末）已知∠COD在∠AOB的内部，∠AOB＝150°，∠COD＝20°．

(1)如图1，求∠AOD+∠BOC的大小；
(2)如图2，OM平分∠BOC，ON平分∠AOD，求∠MON的大小．
(3)如图3，若∠AOC＝30°，射线OC绕点O以每秒10°的速度顺时针旋转，当与射线OB重合后，再以每秒15°的速度绕点O逆时针旋转；同时射线OD以每秒30°的速度绕点O顺时针旋转．设射线OD，OC运动的时间是t秒（0＜t≤22），当∠COD＝120°时，直接写出t的值．
【思路点拨】
（1）∠AOD+∠BOC可化为∠AOB+∠COD，计算即可；
（2）根据角平分线的定义得到∠AON=12AOD，∠BOM=12∠BOC，进而得到∠MON=∠AOB-12(∠AOD+∠BOC)，计算可得；
（3）根据射线的运动可知，需要分四种情况：当OC未到达OB时，分两种情况；当OC到达OB后返回时，分两种情况；分别画出图形列方程解答．
【解题过程】
解：(1)∵∠AOB＝150°，∠COD＝20°．
∴∠AOD+∠BOC=∠AOB+∠COD=170°；
(2)∵OM平分∠BOC，ON平分∠AOD，
∴∠AON=12AOD，∠BOM=12∠BOC，
∴∠MON=∠AOB-∠AON-∠BOM=∠AOB-12(∠AOD+∠BOC)=150°-85°=65°；
(3)当OC未到达OB时，分两种情况：
①如图：

此时30t+20-10t=120，
解得t=5；
②如图：

360-30t-20+10t=120，
解得t=11；
当OC到达OB后返回时，分两种情况：
①如图：

此时30t-360-（300-15t-20）=120，
解得t=1689；
②如图：

此时（720-30t）-20+（300-15t）=120，
解得t=1959，
综上，t的值为5或11或1689或1959．
10．（2022·江苏·七年级专题练习）如图1，点A，O，B依次在直线MN上，将射线OA绕点O沿顺时针方向以每秒15°的速度旋转，同时射线OB绕点O沿顺时针方向以每秒6°的速度旋转（如图2），设旋转时间为t（0⩽t⩽48，单位秒）．

(1)当t=12时，∠AOB= °．
(2)在旋转过程中是否存在这样的t，使得射线OM是由射线OB、射线OA组成的角（指大于0°而不超过180°的角）的平分线？如果存在，请求出t的值；如果不存在，请说明理由．
(3)在运动过程中，当∠AOB=60°时，求t的值．
【思路点拨】
（1）t=12时，∠AOM=15°×12=180°，即OA与ON重合，故∠AOB=∠BON=5°×12=60°．
（2）①求OA追上OB的大致时刻，得到OM平分∠AOB时的图形，用t表示此时∠AOM与∠BOM的度数，列方程即可求t；②当OA超过OB将要旋转到第二圈，OB旋转过OM时，此时OM可以是∠AOB的角平分线，列第二个方程求t。
（3）OA、OB都是顺时针旋转，可理解为初始路程差为180°的追及问题：当∠AOB第一次达到60°时，即OA差60°追上OB，路程差为（180-60）°，即15t-5t=180-60；第二次达到60°时，即OA追上OB且超过60°，路程差为（180+60）°；第三次达到60°时，OA再走一圈差60°追上OB，路程差为（180+360-60）°，此时求出的t．
【解题过程】
（1）解：当t=12时,∠AOM=15°×12=180°,∠BON=5°×12=60°，
∴∠AOB=180°−∠AOM+∠BON=60°，
故答案为：60°．
（2）存在满足条件的t值。
①∵OA旋转一周所需时间为：360°÷15°=24(秒)，
此时,∠BON=5°×24=120°，即OA已经旋转过OB的位置，
若OM平分∠AOB且0°<∠AOB<180°，位置如图1，
∴∠AOM=(15t−360)°,∠BOM=(180−5t)°，
∴15t−360=180−5t，解得：t=27，

②若OM平分∠BOA且0°<∠BOA<180°，位置如下图2，
∴∠AOM=(720-15t)°,∠BOM=(5t-180)°，
∴720-15t=5t-180，解得：t=45，

（3）(3)①如图3,当∠AOB第一次达到60°时,OA比OB多转了(180−60)°，得：
15t−5t=180°−60°，解得：t=12，

②如图3,当∠AOB第二次达到60°时,OA比OB多转了(180+60)°，得：
15t−5t=180°+60°，解得：t=24，

③如图5，当∠AOB第三次达到60°时,OA比OB多转了(180+360−60)°，
得：15t−5t=180°+360°−60°，
解得：t=48，符合题意，
综上所述,当∠AOB=60°时,t=12或24或48．

11．（2022·全国·七年级专题练习）如图，∠AOB=100°，射线OC以2°/s的速度从OA位置出发，射线OD以10°/s的速度从OB位置出发，设两条射线同时绕点O逆时针旋转t s．

(1)当t=10时，求∠COD的度数；
(2)若0≤t≤15．
①当三条射线OA、OC、OD构成的三个度数大于0°的角中，有两个角相等，求此时t的值；
②在射线OD，OC转动过程中，射线OE始终在∠BOD内部，且OF平分∠AOC，当∠EOF=110°，求∠BOE∠AOD的值．
【思路点拨】
（1）根据题意求得OD与OA重合，∠AOC＝20°，即可得到∠COD的度数；
（2）①分三种情况，列出方程，解方程即可得到答案；②先证明OD运动至∠AOB外部．由∠AOB=∠AOE+∠BOE=100°，∠EOF=∠AOE+∠AOF=110°，可以得到∠AOF−∠BOE=10°，又因为OF平分∠AOC，则∠AOF=12∠AOC=t°，从而求出∠BOE=t−10°，再求得∠AOD=∠BOD−∠AOB=(10t−100)°，即可求得答案．
【解题过程】
（1）解：依题意，当t=10s时，射线OD运动的度数为10t=100°，
∵∠AOB=100°，
∴此时OD与OA重合，
射线OC运动的度数为2t=20°，
即∠AOC=20°，
∴当t=10s时，∠COD=20°．
（2）①若0≤t≤15时，分下面三种情形讨论：
（i）如图1，

当∠DOA=∠COA时，100−10t=2t，
∴t=253，符合0≤t≤15．
（ii）如图2，

当∠AOD=∠COD时，10t−100=12⋅2t，
∴t=1009，符合0≤t≤15．
（iii）如图3，

当∠AOC=∠COD时，2t=10t−100−2t，
∴t=503，不在0≤t≤15范围内，舍去．
综上所得t=253s或t=1009s．
②如图4，

∵0≤t≤15，
∴0°≤2t≤30°，0°≤10t≤150°，
∴∠AOC最大度数为30°，∠BOD最大度数为150°．
∵∠AOB=100°，
∴当∠EOF=110°时，∠AOF>10°，
∴∠AOC>20°，即t>10，
∴OD运动至∠AOB外部．
此时，∠AOB=∠AOE+∠BOE=100°，∠EOF=∠AOE+∠AOF=110°，
∴∠AOF−∠BOE=10°，
∵OF平分∠AOC，
∴∠AOF=12∠AOC=t°，
∴∠BOE=t−10°，
又∠AOD=∠BOD−∠AOB=(10t−100)°，
∴∠BOE∠AOD=t−1010t−100=110．
12．（2022·浙江·七年级专题练习）沿河县某初中七年级的数学老师在课外活动中组织学生进行实践探究，用一副三角尺（分别含45°，45°，90°和30°，60°，90°的角）按如图所示摆放在量角器上，边PD与量角器180°刻度线重合，边AP与量角器0°刻度线重合，将三角尺ABP绕量角器中心点P以每秒10°的速度顺时针旋转，当边PB与180°刻度线重合时停止运动，设三角尺ABP的运动时间为t秒．

(1)当t=5时，∠BPD=__________°；
(2)若在三角尺ABP开始旋转的同时，三角尺PCD也绕点P以每秒2°的速度逆时针旋转，当三角尺ABP停止旋转时，三角尺PCD也停止旋转．
①当t为何值时，边PB平分∠CPD；
②在旋转过程中，是否存在某一时刻使∠BPD=2∠APC，若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．
【思路点拨】
（1）当t=5秒时，计算出边BP旋转的角度的大小即可得出结论；
（2）①如图1，根据PB平分∠CPD，利用角平分线的定义可得∠CPB=∠BPD=12∠CPD=30°，利用含t的代数式分别表示出∠MPB和∠BPD的度数，列出关于t的方程，解方程即可求解；
②设时间为t秒，则∠APM=10°t，∠DPN=2°t，分两种情况说明：Ⅰ）当PA在PC左侧时，如图2所示：Ⅱ）当PA在PC右侧时，如图3，根据旋转过程得出的角度的大小列出方程即可求得结论．
【解题过程】
（1）解：当t=5秒时，由旋转知，边BP旋转的角度为：10°×5=50°，
∴∠BPD= 180°-（45°+50°）=85°，
故答案为：85；
（2）解：①如图1所示：

由题意得：∠MPB=10°t+45°，∠DPN=2°t．
∵PB平分∠CPD；
∴∠CPB=∠BPD=12∠CPD=30°，
由∠MPN=∠MPB+∠BPD+∠DPN=180°得：
10°t+45°+30°+2°t=180°，
解得，t=354，
∴当t=354时，边PB平分∠CPD；
②在旋转过程中，存在某一时刻使∠BPD=2∠APC．
∵运动时间为t秒，则∠APM=10°t，∠DPN=2°t，
Ⅰ）当PA在PC左侧时，如图2所示：

此时，∠APC=180°-10°t-60°-2°t=120°-12°t，
∠BPD=180°-45°-10°t-2°t=135°-12°t，
∵∠BPD=2∠APC，
∴135°-12°t=2（120°-12°t），
解得：t=354，
因为当t=354时，运动的情况刚好同解答图的图1，
此时∠BPD=30°，∠APC=15°，∠BPD=2∠APC．是成立的；
Ⅱ）当PA在PC右侧时，如图3所示：

此时，∠APC=10°t+2°t+60°-180°=12°t-120°，
∠BPD=180°-45°-10°t-2°t=135°-12°t，
∵∠BPD=2∠APC，
∴135°-12°t=2（12°t-120°），
解得：t=12512．
当PB在PD的右侧时，∠APC=12°t-120°，∠BPD=12°t-135°，
则12°t-135°=2（12°t-120°），
解得：t=354，
此时PB在PD的左侧，所以和假设情况矛盾，不符合题意，舍去．
综上所述，当t=12512或t=354时，∠BPD=2∠APC．
13．（2022·江苏·七年级专题练习）点O为直线l上一点，射线OA、OB均与直线l重合，如图1所示，过点O作射线OC和射线OD，使得∠BOC=100°，∠COD=90°，作∠AOC的平分线OM．

(1)求∠AOC与∠MOD的度数；
(2)作射线OP，使得∠BOP+∠AOM=90°，请在图2中画出图形，并求出∠COP的度数；
(3)如图3，将射线OB从图1位置开始，绕点O以每秒5°的速度逆时针旋转一周，作∠COD的平分线ON，当∠MON=20°时，求旋转的时间．
【思路点拨】
（1）根据∠AOB=180°，∠BOC=100°，即可得出∠AOC的度数，根据角平分线的定义得出∠COM=12∠AOC=40°，然后根据∠COD=90°得出∠MOD的度数；
（2）根据题意得出∠BOP的度数，然后分两种情况进行讨论：①当射线OP在∠BOC内部时；②当射线OP在∠BOC外部时；分别进行计算即可；
（3）根据ON平分∠COD得出∠CON=45°，根据题意画出图形，计算∠BOE的角度，然后计算时间即可．
【解题过程】
（1）解：由题意可知，∠AOB=180°，
∵∠BOC=100°，
∴∠AOC=AOB−∠BOC=80°，
∵OM平分∠AOC，
∴∠COM=12∠AOC=40°，
∴∠MOD=∠COD−∠COM=50°；
（2）由（1）知，∠AOM=∠AOC−∠COM=40°，
∴∠BOP=90°−∠AOM=50°，
①当射线OP在∠BOC内部时，如图2（1），

∠COP=∠BOC−∠BOP=50°；
②当射线OP在∠BOC外部时，如图2（2），

∠COP=∠BOC+∠BOP=150°，
综上所述，∠COP的度数为50°或150°；
（3）∵ON平分∠COD，
∴∠CON=12∠COD=45°，
①如图3，

∠COM=∠CON−∠MON=25°，
∵OM平分∠AOC，
∴∠AOC=2∠COM=50°，
∴∠BOE=180°−∠AOC−∠BOC=30°，
∴旋转的时间t=30°÷5°=6（秒）；
②如图3（1），

此时，∠COM=∠CON+∠MON=65°，
∵OM平分∠AOC，
∴∠AOC=2∠COM=130°，
∴∠COE=180°−130°=50°，
∴∠BOE=100°−50°=50°，
∴旋转的时间=(360°−50°)÷5°=62（秒）；
综上所述，旋转的时间为6秒或62秒．
14．（2022·全国·七年级专题练习）如图1，已知∠AOB=120°，∠COD=60°，OM在∠AOC内，ON在∠BOD内，∠AOM=13∠AOC，∠BON=13∠BOD．（本题中所有角均大于0°且小于等于180°)

(1)如图2，当∠COD绕点O逆时针旋转到OC与OB重合时，则∠MON=　　°；
(2)如图3，当∠COD从图2中的位置绕点O逆时针旋转80°（即∠BOC=80°)时，求∠MON的度数；
(3)当∠COD从图2中的位置绕点O逆时针旋转n°（即∠BOC=n°，0 【思路点拨】
（1）根据题意可得∠AOM=13∠AOC=40°，∠BON=13∠BOD=20°，根据∠MON=∠AOB+∠BOD−∠AOM−∠DON，即可求解；
（2）同理求得∠AOM=13∠AOC=(403)°，∠BON=13∠BOD=(203)°，根据∠MON=∠AOB+∠BOD−∠AOM−∠DON，即可求解；
（3）分三种情况讨论，①当0 【解题过程】
（1）解： ∵∠AOM=13∠AOC=40°，∠BON=13∠BOD=20°，
∴∠DON=60°−20°=40°，
∴∠MON=∠AOB+∠BOD−∠AOM−∠DON
=120°+60°−40°−40°
=100°；
故答案为：100；
（2）∵∠BOC=80°，∠AOB=120°，∠COD=60°，
∴∠AOC=120°−80°=40°，∠BOD=80°−60°=20°，
∵∠AOM=13∠AOC=(403)°，∠BON=13∠BOD=(203)°，
∴∠MON=120°−(403)°−(203)°=100°；
（3）①当0
∵∠BOC=n°，
∴∠AOC=∠AOB−∠BOC=120°−n°，
∠BOD=∠COD−∠BOC=60°−n°，
∴∠MON=∠MOC+∠BOC+∠BON
=23(120°−n°)+n°+13(60°−n°)
=80°−23n°+n°+20°−13n°
=100°；
②当60
∵∠BOC=n°，
∴∠AOC=∠AOB−∠BOC=120°−n°，
∠BOD=∠BOC−∠DOC=n°−60°，
∴∠MON=∠MOC+∠BOC−∠BON
=23(120°−n°)+n°−13(n°−60°)
=80°−23n°+n°−13n°+20°
=100°；
③当120
∵∠BOC=n°，
∴∠AOC=∠BOC−∠AOB=n°−120°，
∠BOD=∠BOC−∠DOC=n°−60°，
∴∠MON=∠BOC−=∠MOC−∠BON
=n°−23(n°−120°)−13(n°−60°)
=n°−23n°+80°−13n°+20°
=100°；
综上所述：∠MON的度数为100°．
故答案为：100．
15．（2022·江苏·七年级单元测试）【阅读理解】
定义：在一条直线同侧的三条具有公共端点的射线之间若满足以下关系，其中一条射线分别与另外两条射线组成的角恰好满足2倍的数量关系，则称该射线是另外两条射线的“双倍和谐线”．如图1，点P在直线l上，射线PR，PS，PT位于直线l同侧，若PS平分∠RPT，则有∠RPT＝2∠RPS，所以我们称射线PR是射线PS，PT的“双倍和谐线”．

【迁移运用】
(1)如图1，射线PS　　（选填“是”或“不是”）射线PR，PT的“双倍和谐线”；射线PT　　（选填“是”或“不是”）射线PS，PR的“双倍和谐线”；
(2)如图2，点O在直线MN上，OA⊥MN，∠AOB＝40°，射线OC从ON出发，绕点O以每秒4°的速度逆时针旋转，运动时间为t秒，当射线OC与射线OA重合时，运动停止．
①当射线OA是射线OB，OC的“双倍和谐线”时，求t的值；
②若在射线OC旋转的同时，∠AOB绕点O以每秒2°的速度逆时针旋转，且在旋转过程中，射线OD平分∠AOB．当射线OC位于射线OD左侧且射线OC是射线OM，OD的“双倍和谐线”时，求∠CON的度数．
【思路点拨】
（1）利用“双倍和谐线”的意义结合图形进行判断即可；
（2）①由题意得：∠AOC=90°-4°t，∠AOB=40°，利用分类讨论的思想方法分∠AOC=2∠AOB或∠AOB=2∠AOC两种情况讨论解答，依据上述等式列出方程，解方程即可求得结论；
②由题意得：∠CON=4°t，∠AON=90°+2°t，∠AOD=20°，∠DON=∠AON-∠AOD=70°+2°t，利用分类讨论的思想方法分∠COM=2∠COD或∠COD=2∠COM两种情况讨论解答，依据上述等式列出方程，解方程即可求得结论．
【解题过程】
（1）解：∵PS平分∠RPT，
∴∠RPS=∠TPS，
∴射线PS不是射线PR，PT的“双倍和谐线”；
∵PS平分∠RPT，
∴∠TPR=2∠TPS．
∴射线PT是射线PS，PR的“双倍和谐线”．
故答案为：不是；是；
（2）①由题意得：∠AOC=90°-4°t，∠AOB=40°．
∵射线OA是射线OB，OC的“双倍和谐线”，
∴∠AOC=2∠AOB或∠AOB=2∠AOC．
当∠AOC=2∠AOB时，如图，

则：90-4t=2×40．
解得：t=52，
当∠AOB=2∠AOC时，如图，

则：40=2（90-4t）．
解得：t=352，
综上，当射线OA是射线OB，OC的“双倍和谐线”时，t的值为52或352；
②由题意得：∠CON=4°t，∠AON=90°+2°t，∠AOD=20°，∠DON=∠AON-∠AOD=70°+2°t．
∵当射线OC与射线OA重合时，运动停止，
∴此时∠AON=∠CON．
∴90+2t=4t．
∴t=45．
∴当t=45秒时，运动停止，此时∠AON=180°．
∵射线OC位于射线OD左侧且射线OC是射线OM，OD的“双倍和谐线”，
∴∠COM=2∠COD或∠COD=2∠COM．
当∠COM=2∠COD时，如图，

即：180°-∠CON=2（∠CON-∠DON），
则：180-4t=2（4t-70-2t）．
解得：t=40．
∴∠CON=4°×40=160°．
当∠COD=2∠COM时，如图，

即：∠CON-∠DON=2（180°-∠CON）．
则：4t-（70+2t）=2（180-4t）．
解得：t=43．
∴∠CON=4°×43=172°．
综上，当射线OC位于射线OD左侧且射线OC是射线OM，OD的“双倍和谐线”时，∠CON的度数为160°或172°．
16．（2022·全国·七年级专题练习）如图所示，OA，OB，OC是以直线EF上一点O为端点的三条射线，且∠FOA=20°，∠AOB=60°，∠BOC=10°，射线OP从OF处开始出发，绕点O逆时针匀速旋转，旋转速度为每秒5度：射线OQ从OC处开始出发，绕点O顺时针匀速旋转，两条射线同时开始旋转（当射线OQ旋转至与射线OF重合时，OP、OQ同时停止运动），旋转时间为t秒.（旋转速度÷旋转角度：旋转时间）

(1)当t＝　 　秒，射线OP平分∠AOB时；
(2)若射线OQ的旋转速度为每秒4度时，请求出当∠POQ=60°时，射线OP旋转的时间；
(3)若射线OQ的旋转速度为每秒3度时，是否存在某个时刻，使得射线OQ，OP，OB中的某一条射线是另两条射线所夹角的角平分线？若存在，请直接写出所有满足题意的的值，若不存在，请说明理由．
【思路点拨】
（1）作出角平分线，求出OP运动到OG时的时间即可．
（2）动点问题需要分类讨论，第一种OP、OQ还没有相遇时，第二种OP、OQ相遇之后，画图利用角度列出等式．
（3）分别一其中一条作为角平分线来分析，画出图像之后列等式求时间．
【解题过程】
（1）解：作∠AOB的角平分线OG
∵∠AOB=60°，
∴∠AOG=12∠AOB=30°，
∴∠FOG=∠FOA+∠AOG=20°+30°=50°，
此时OP的运动时间t=505=10（秒）；
故答案为：10；

（2）解：∵∠FOA=20°，∠AOB=60°，∠BOC=10°，
∴∠FOC=90°
由题意可得，∠FOP=5t°，∠COQ=4t°
①如图所示：

∴4t+60+5t=90，
∴t=103；
②如图所示：

此时 4t+5t-60=90，
∴t=503
∵OQ停止运动时间t=904=22.5，
∴以上两种情况均符合
∴当∠POQ=60°时，OP的旋转时间为103或503秒；
（3）解：存在；
①当OQ平分∠BOP时，则∠BOQ=∠POQ，如图：
则3t−10=90−3t−5t，
解得：t=10011；

②当OP平分∠BOQ时，则∠BOP=∠POQ，如图：

则90−5t−10=3t−(90−5t)，
解得：t=17013；
综合上述，t=10011或t=17013；
17．（2022·江苏·七年级专题练习）多多对几何中角平分线等兴趣浓厚，请你和多多一起探究下面问题吧．已知∠AOB=100°，射线OE，OF分别是∠AOC和∠COB的角平分线．

(1)如图1，若射线OC在∠AOB的内部，且∠AOC=30°，求∠EOF的度数；
(2)如图2，若射线OC在∠AOB的内部绕点O旋转，则∠EOF的度数_____；
(3)若射线OC在∠AOB的外部绕点O旋转（旋转中∠AOC，∠BOC均指小于180°的角），其余条件不变，请借助图3探究∠EOF的大小，请直接写出∠EOF的度数（不写探究过程）．
【思路点拨】
（1）先根据角平分线的定义可得∠COE=12∠AOC=15°，再根据角的和差、角平分线的定义可得∠COF=12∠COB=35°，然后根据∠EOF=∠COE+∠COF即可得；
（2）先根据角的和差可得∠AOC+∠COB=100°，再根据角平分线的定义可得∠COE=12∠AOC,∠COF=12∠COB，然后根据∠EOF=∠COE+∠COF即可得；
（3）如图（见解析），先根据角平分线的定义可得∠COE=12∠AOC,∠COF=12∠COB，再分①射线OC在∠AOD的内部，②射线OC在∠DOM的内部，③射线OC在∠BOM的内部三种情况，分别根据角的和差即可得．
【解题过程】
（1）解： ∵OE是∠AOC的平分线，∠AOC=30°，
∴∠COE=12∠AOC=15°，
∵∠AOB=100°，
∴∠COB=∠AOB−∠AOC=70°，
∵OF是∠COB的平分线，
∴∠COF=12∠COB=35°，
∴∠EOF=∠COE+∠COF=15°+35°=50°；
（2）∵∠AOB=100°，
∴∠AOC+∠COB=100°，
∵OE是∠AOC的平分线，OF是∠COB的平分线，
∴∠COE=12∠AOC,∠COF=12∠COB，
∴∠EOF=∠COE+∠COF=12∠AOC+∠COB=50°
故答案为：50°
（3）∵OE是∠AOC的平分线，OF是∠COB的平分线，
∴∠COE=12∠AOC,∠COF=12∠COB，
由题意，分以下三种情况：
①如图，延长BO至点D，当射线OC在∠AOD的内部时，

∵∠AOB=100°，
∴∠COB−∠AOC=100°，
∴∠EOF=∠COF−∠COE=12∠COB−∠AOC=50°；
②如图，延长BO至点D，延长AO至点M，当射线OC在∠DOM的内部时，

∵∠AOB=100°，
∴∠COB+∠AOC=360°−∠AOB=260°，
∴∠EOF=∠COF+∠COE=12∠COB+∠AOC=130°；
③如图，延长AO至点M，当射线OC在∠BOM的内部时，

∵∠AOB=100°，
∴∠AOC−∠COB=100°，
∴∠EOF=∠COE−∠COF=12∠AOC−∠COB=50°；
综上，∠EOF的度数为50°或130°．
18．（2022·湖南师大附中博才实验中学七年级期末）如图，两条直线AB，CD相交于点O，且∠AOC=∠BOD=90°，射线OM从OB开始绕O点逆时针方向旋转，速度为每秒15°，射线ON同时从OD开始绕O点顺时针方向旋转，速度为每秒12°，运动时间为t秒（0
(1)当t=2时，∠AOM的度数为________度，∠NOM的度数为________度．
(2)t为何值时，∠AOM=∠AON．
(3)当射线OM在∠BOC的内部时，探究13∠DOM−4∠AON3∠MON是不是一个定值？若是，请求出这个定值．
【思路点拨】
（1）求出t=2时，∠BOM,∠DON的度数，利用∠AOM=180°−∠BOM,∠NOM=∠NOD+∠DOB+∠BOM，进行求解即可；
（2）分别用含t的式子，表示出∠AOM和∠AON，分∠AON在∠AOD内部和∠AOC的内部，两种情况讨论，利用∠AOM=∠AON，列式求解即可；
（3）分别用含t的式子表示出∠DOM,∠AON,∠MON，计算13∠DOM−4∠AON3∠MON即可得解．
【解题过程】
（1）解：当t=2时，∠BOM=2×15°=30°，∠DON=2×12°=24°，
∴∠AOM=180°−∠BOM=180°−30°=150°，
∠NOM=∠NOD+∠DOB+∠BOM=24°+90°+30°=144°，
故答案为：150，144；
（2）解：∵∠AOC=∠BOD=90°，
∴∠AOD=∠BOC=90°
由题意得：∠BOM=15°⋅t，∠DON=12°⋅t，
∴∠AOM=180°−∠BOM=180°−15°⋅t，
当∠AON在∠AOD内部时：∠AON=∠AOD−∠DON=90°−12°⋅t

∵∠AOM=∠AON，
∴180°−15°⋅t=90°−12°⋅t，解得：t=30（不符合题意，舍掉）；
当∠AON在∠AOC内部时：∠AON=∠DON−∠AOD=12°⋅t−90°，

∵∠AOM=∠AON，
∴180°−15°⋅t=12°⋅t−90°，解得：t=10；
∴当t=10时，∠AOM=∠AON；
（3）解：∵∠BOM=15°⋅t,∠DON=12°⋅t，
当射线OM在∠BOC的内部时，0<15°⋅t<90°，
∴0 ∴0°<12°⋅t<72°，
∴射线ON在∠AOD内部，
∴∠DOM=∠BOD+∠BOM=90°+15°⋅t,∠AON=∠AOD−∠DON=90°−12°⋅t，∠NOM=∠NOD+∠DOB+∠BOM=12°⋅t+90°+15°⋅t=90°+27°⋅t
则：13∠DOM−4∠AON3∠MON=1390°+15°⋅t−490°−12°⋅t390°+27°⋅t
=1170°+195°⋅t−360°+48°⋅t270°+81°⋅t
=810°+243°⋅t270°+81°⋅t
=3；
∴13∠DOM−4∠AON3∠MON是一个定值：3．
19．（2022·四川省广安花桥中学校七年级期末）【理解新知】
如图①，已知∠AOB，在∠AOB内部画射线OC，得到三个角，分别为∠AOC、∠BOC、∠AOB．若这三个角中有一个角是另外一个角的2倍，则称射线OC为∠AOB的“2倍角线”．
【解决问题】
如图②，已知∠AOB=60°，射线OP从OA出发，以每秒20°的速度绕O点逆时针旋转；射线OQ从OB出发，以每秒10°的速度绕O点顺时针旋转，射线OP、OQ同时出发，当一条射线回到出发位置的时候，整个运动随之停止，设运动的时间为ts．

(1)如图①，角的平分线　 　这个角的“2倍角线”（填“是”或“不是”）；
(2)如图①，若∠AOB=90°，射线OC为∠AOB的“2倍角线”，则∠AOC=　 　．
(3)如图②，当射线OP、OQ旋转到同一条直线上时，求t的值；
(4)如图②，若OA、OP、OQ三条射线中，一条射线恰好是以另外两条射线为边的角的“2倍角线”，直接写出所有可能的值（本题中所研究的角都是小于等于180°的角）．
【思路点拨】
（1）根据定义判断即可；
（2）分三种情况讨论，由定义列出方程可求t的值；
（3）分三种情况列方程求解；
（4）分六种情况，由“2倍角线”定义列方程求解即可．
【解题过程】
（1）解：∵一个角的平分线平分这个角，且这个角是所分两个角的2倍，
∴一个角的角平分线是这个角的“2倍角线”，
故答案为：是；
（2）有三种情况：①若∠BOC=2∠AOC时，且∠BOC+∠AOC=90°，
∴∠AOC=30°；
②若∠AOB=2∠AOC=2∠BOC时，且∠BOC+∠AOC=90°，
∴∠AOC=45°；
③若∠AOC=2∠BOC时，且∠BOC+∠AOC=90°，
∴∠AOC=60°，
故答案为：30°或45°或60°；
（3）由题意得，运动时间范围为：0 ①60+20t+10t=180，解得t=4；
②60+20t+10t=360，解得t=10；
③60+20t+10t=180+360，解得t=16；
综上，t的值为4或10或16；
（4）在整个过程中，有如下几个临界点：
当OP、OQ共线时，由（3）知，t=4或10或16，
当OP为OA的反向延长线时，t=18020=9，
当OQ为OA的反向延长线时，t=180−6010=12，
故分6种情况：
①当0
∠AOP=20t°,∠AOQ=60°+10t°，
若∠POQ=2∠AOP时，∠AOQ=∠AOP，即20t=60+10t，
解得t=6（舍去）；
若∠AOP=2∠AOQ，则20t=260+10t，无解；
若2∠AOP=∠AOQ，则20t×2=10t+60，解得t=2；
②当4
③当9≤t<10时，如图3，

∵∠QOP=360°−60°−20t°−10t°=300°−30t°，∠AOQ=60°+10t°,
∴若∠AOP=2∠AOQ时，∠AOQ=∠POQ，则300−30t=60+10t，解得t=6（舍去），
若∠QOP=2∠AOQ时，则300−30t=260+10t，解得t=3.6（舍去），
若2∠QOP=∠AOQ时，2300−30t=60+10t，解得t=547（舍去）；
④当10≤t≤12时，如图4，

则∠QOP=20°+10°t−10=30t°−300°，∠AOP=360°−20t°，
若∠AOQ=2∠AOP时，∠QOP=∠AOP，则30t−300=360−20t，解得t=13.2（舍去）；
若∠QOP=2∠AOP时，则30t−300=720−40t，解得t=1447（舍去）；
若2∠QOP=∠AOP时，则60t−600=360−20t，解得t=12；
⑤当12
⑥当16≤t≤18时，如图6，

则∠QOA=300°−10t°,∠AOP=360°−20t°，
若∠QOP=2∠AOP时，∠QOA=∠AOP，则300−10t=360−20t，解得t=6（舍去），
若∠QOA=2∠AOP时，则300−10t=720−40t，解得t=14（舍去），
若2∠QOA=∠AOP时，则600−20t=360−20t，无解；
综上，t=2或12．
20．（2022·江苏·七年级专题练习）如图1，∠AOB=40°,∠COD=60°，OM、ON分别为∠AOB和∠BOD的角平分线．

(1)若∠MON=70°，则∠BOC= °；
(2)如图2，∠COD从第（1）问中的位置出发，绕点O逆时针以每秒4°的速度旋转；当OC与OA重合时，∠COD立即反向绕点O顺时针以每秒6°的速度旋转，直到OC与OA互为反向延长线时停止运动．整个运动过程中，∠COD的大小不变，OC旋转后的对应射线记为OC′，OD旋转后的对应射线记为OD′，∠BOD′的角平分线记为ON′，∠AOD′的角平分线记为OP．设运动时间为t秒．
①当OC′平分∠BON′时，求出对应的t的值；
②请问在整个运动过程中，是否存在某个时间段使得∠BOP−∠MON′的值不变？若存在，请直接写出这个定值及其对应的t的取值范围（包含运动的起止时间）；若不存在，请说明理由．
【思路点拨】
（1）根据角平分线的定义结合图形根据已知条件求角的大小即可；
（2）①分类讨论顺时针、逆时针转两种情况，根据角平分线的定义用t表示出角的度数，列出等量关系式求出t；②分类讨论顺时针、逆时针转两种情况，当C′在B下方时，当C′在B上方时，根据角平分线的定义用t表示出角的度数，求在某个时间段使得∠BOP−∠MON′的值不变，求出这个定值及其对应的t的取值范围．
【解题过程】
（1）解：∵OM为∠AOB的角平分线，∠AOB=40°，
∴∠MOB=20°，
∵∠MON=70°，
∴∠BON=∠MON−∠MOB=50°，
∵ON为∠BOD的角平分线，
∴∠BON=∠DON=50°，
∴∠CON=∠COD−∠DON=60°−50°=10°，
∴∠BOC=∠BON−∠CON=50°−10°=40°．
故答案为：40；
（2）如图3，逆时针旋转时，

当C′在B上方时，根据题意可知，∠BOC′=40°−4t,∠BOD′=∠BOD−4t=100°−4t，
∠BON′=12∠BOD′=12(100°−4t)=50°−2t，
∵OC′平分∠BON′，
∴∠BOC′=12∠BON′，即40°−4t=12(50°−2t)，
解得：t=5s，
当C′在B下方时，此时C′也在N′下方，此时不存在OC′平分∠BON′．
顺时针旋转时，如图4，

同理，当C′在B下方时，此时C′也在N′下方，此时不存在OC′平分∠BON′．
当C′在B上方时，即OC′与OB重合，
由题意可求OC′与OB重合用的时间=∠AOC÷4+∠AOB÷6
=(∠AOB+∠BOC)÷4+∠AOB÷6＝803s，
∴OC′与OB重合之后，∠BOC′=6(t−803)，
∴∠BOD′=∠BOC′+60°=6(t−803)+60°=6t−100°，
∴∠BON′=12∠BOD′=12(6t−100°)=3t−50°，
∵OC′平分∠BON′，
∴∠BOC′=12∠BON′，
∴6(t−803)＝12(3t−50°)，
解得：t=30s，
综上所述，当OC′平分∠BON′时，t的值为5或30；
②逆时针旋转时：当C′在B上方时，如图5，

根据①可知，∠BOC′=40°−4t,∠BOD′=100°−4t,∠BON′=50°−2t，
∴∠AOD′=∠AOB+∠BOD′=140°−4t，
∴∠AOP＝12∠AOD'＝12∠(140°−4t)=70°−2t，
∴∠BOP=∠AOP−∠AOB=30°−2t，
∵∠MON′=∠MOB+∠BON′=70°−2t，
∴∠BOP−∠MON′=30°−2t−70°+2t=40°，
此段时间0≤t≤10；
如图④当C′在B下方时，设经过OB后运动时间为t1，

同理可知，∠BOC′=4t1，∠BOD′=60°−4t1，
∴∠MON′=12∠BON′=30°−2t1，
∴∠AOD′=∠AOB+∠BOD′=100°−4t1，
∴∠AOP＝12∠AOD'＝50°−2t1，
∴∠BOP=∠AOP−∠AOB=10°−2t1，
∵∠MON′=∠MOB+∠BON′=50°−2t1，
∴∠BOP−∠MON′=10°−2t1−50°+2t1=40°，此时：10 顺时针旋转时：当C′在B下方时，如图⑤，

设经过OB后运动时间为t2，
同理可知：∠BOC′=40°−6t2,∠BOD′=20°+6t2，
∴∠BON′＝12∠BOD′＝10°+3t2，
∴∠AOD′=60°+6t2,∠AOP=30°+3t2，
∴∠BOP=∠AOP−∠AOB=3t2−10°，
∵∠MON′=∠MOB+∠BON′=30°−3t2，
∴∠BOP−∠MON′=3t2−10°−30°−3t2=40°，
此时：20 当C′在B上方时，如图⑥，

设经过OB后运动时间为t3，
同理可知：∠BOC′=40°+6t3,∠BOD′=100°+6t3，
∴∠BON′=12∠BOD=50°+3t3，
∴∠AOD′=140°+6t3，
∴∠AOP=70°+3t3，
∴∠BOP=∠AOP−∠AOB=30°+3t3，
∵∠MON′=∠MOB+∠BON′=70°+3t3，
∴∠BOP−∠MON′=30°+3t3−70°−3t3=40°，此时：803 综上所述：存在且定值为40°，0≤t≤50．