吉林省长春市第八十九中学2023-2024学年八年级上学期期中数学试卷

这是一份吉林省长春市第八十九中学2023-2024学年八年级上学期期中数学试卷，共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）9的算术平方根是（ ）
A．﹣3B．3C．±3D．81
2．（3分）下列式子一定是二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
3．（3分）与数轴上的点一一对应的是（ ）
A．有理数B．无理数C．整数D．实数
4．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．a2+a4＝a6B．a2•a2＝2a2C．a9÷a3＝a6D．（﹣a2）3＝a6
5．（3分）下列命题中，是真命题的是（ ）
A．﹣1的平方根是1B．5是25的一个平方根
C．（﹣4）2的平方根是﹣4D．64的立方根是±4
6．（3分）要使二次根式有意义，则实数x的取值范围是（ ）
A．x＞0B．x＞5C．x≥0D．x≥5
7．（3分）下面各式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
A．x2﹣x﹣1＝x（x﹣1）﹣1B．x2﹣1＝（x﹣1）2
C．x2﹣x﹣6＝（x﹣3）（x+2）D．x（x﹣1）＝x2﹣x
8．（3分）如图，在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形（a＞b），把余下的部分剪拼成一个矩形，验证了一个等式，则这个等式是（ ）
A．a2﹣ab＝a（a﹣b）B．（a+b）2＝a2+2ab+b2
C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2D．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
9．（3分）比较大小：5 ．
10．（3分）等腰三角形的一个角是110度，它的顶角 ，底角 ．
11．（3分）若等腰三角形的一边长为3cm，另一边长4cm，则它的周长为 cm．
12．（3分）如图所示的5个三角形中：△ABC≌ ，△DEF≌ ．
13．（3分）把命题“对顶角相等”改写成“如果…那么…”的形式： ．
14．（3分）如图，把两根钢条AB，CD的中点连在一起做成卡钳，已知AC的长度是6cm，则工件内槽的宽BD是 cm．
三、解答题（本大题共10小题，共78分）
15．（8分）计算：
（1）；
（2）．
16．（8分）计算：
（1）（2x﹣5y）（3x﹣2y）；
（2）（3x﹣2y）2+（2x+y）2．
17．（6分）分解因式：
（1）﹣2x2y+12xy﹣18y；
（2）3x3﹣12xy2．
18．（6分）先化简，再求值：（3x+2）（3x﹣2）﹣5x（x+1）
19．（8分）已知（x+y）2＝1，（x﹣y）2＝49，求x2+y2与xy的值．
20．（8分）如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，BE平分∠ABC，交AC边于点E
（1）求证：△ABE≌△DBE；
（2）若∠A＝100°，∠C＝50°，求∠DEC的度数．
21．（8分）如图，点B、F、C、E在一条直线上，BF＝EC，且AB＝DE．求证：
（1）AC＝DF；
（2）AC∥DF．
22．（6分）若x，y是实数，且．
（1）求x，y的值；
（2）求的值．
23．（8分）已知a满足|2019﹣a|+＝a．
（1）有意义，a的取值范围是 ；则在这个条件下将|2019﹣a|去掉绝对值符号可得|2019﹣a|＝
（2）根据（1）的分析，求a﹣20192的值．
24．（12分）如图，△ABC是等边三角形，AB＝2cm．动点P从点C出发以1cm/s的速度在边BC的延长线上运动．以CP为边作等边三角形CPQ，点A、Q在直线BC同侧．连接AP、BQ相交于点E．设点P的运动时间为t（s）（t＞0）．
（1）当t＝ s时，△ABC≌△QCP．
（2）求证：△ACP≌△BCQ．
（3）求∠BEP的度数．
（4）设AP与CQ交于点F，BQ与AC交于点G，连接FG，直接写出△CFG的周长．
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1．（3分）9的算术平方根是（ ）
A．﹣3B．3C．±3D．81
【分析】首先根据算术平方根的定义求出，然后再求出它的算术平方根即可解决问题．
【解答】解：∵＝3，
∴8的算术平方根是3．
故选：B．
【点评】本题考查了算术平方根的定义，掌握算术平方根的定义是关键．
2．（3分）下列式子一定是二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据二次根式的定义：一般地，我们把形如（a≥0）的式子叫做二次根式可得答案．
【解答】解：根据二次根式的定义可得中的被开方数无论x为何值都是非负数，
故选：C．
【点评】此题主要考查了二次根式的定义，关键是掌握二次根式中的被开方数为非负数．
3．（3分）与数轴上的点一一对应的是（ ）
A．有理数B．无理数C．整数D．实数
【分析】根据实数都可以用数轴上的点来表示，数轴上的点都表示一个实数，进行填空．
【解答】解：与数轴上的点一一对应的是实数．
故选：D．
【点评】此题考查了实数与数轴，解决本题的关键是掌握实数和数轴上的点之间的一一对应关系．
4．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．a2+a4＝a6B．a2•a2＝2a2C．a9÷a3＝a6D．（﹣a2）3＝a6
【分析】根据同类项概念、同底数幂的乘法、除法及幂的乘方运算法则逐一判断即可得．
【解答】解：A．a2与a4不是同类项，不能合并；
B．a3•a2＝a4，此选项错误；
C．a8÷a3＝a6，此选项正确；
D．（﹣a6）3＝﹣a6，此选项错误；
故选：C．
【点评】本题主要考查幂的运算，解题的关键是掌握同类项概念、同底数幂的乘法、除法及幂的乘方的运算法则．
5．（3分）下列命题中，是真命题的是（ ）
A．﹣1的平方根是1B．5是25的一个平方根
C．（﹣4）2的平方根是﹣4D．64的立方根是±4
【分析】根据平方根、立方根进行判断即可．
【解答】解：A、﹣1没有平方根，不符合题意；
B、5是25的一个平方根，符合题意；
C、（﹣5）2的平方根是±4，原命题是假命题；
D、64的立方根是7，不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．
6．（3分）要使二次根式有意义，则实数x的取值范围是（ ）
A．x＞0B．x＞5C．x≥0D．x≥5
【分析】直接利用二次根式有意义的条件分析得出答案．
【解答】解：∵二次根式有意义，
∴x﹣5≥5，
解得：x≥5．
故选：D．
【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握定义是解题关键．
7．（3分）下面各式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
A．x2﹣x﹣1＝x（x﹣1）﹣1B．x2﹣1＝（x﹣1）2
C．x2﹣x﹣6＝（x﹣3）（x+2）D．x（x﹣1）＝x2﹣x
【分析】根据因式分解的定义判断即可．
【解答】解：A选项不是因式分解，故不符合题意；
B选项计算错误，故不符合题意；
C选项是因式分解，故符合题意；
D选项不是因式分解，故不符合题意；
故选：C．
【点评】本题主要考查因式分解的知识，熟练掌握因式分解的定义是解题的关键．
8．（3分）如图，在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形（a＞b），把余下的部分剪拼成一个矩形，验证了一个等式，则这个等式是（ ）
A．a2﹣ab＝a（a﹣b）B．（a+b）2＝a2+2ab+b2
C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2D．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
【分析】用代数式表示粗两个图形阴影部分的面积，即可得出等式．
【解答】解：左图的阴影部分的面积为a2﹣b2，右图的阴影部分的面积为（a+b）（a﹣b），
因此有a5﹣b2＝（a+b）（a﹣b），
故选：D．
【点评】本题考查平方差公式的几何背景，用代数式表示图形的面积是得出等式的前提．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
9．（3分）比较大小：5 ＞ ．
【分析】把5化成，再比较两个算术根的被开方数便可．
【解答】解：∵，，
∴5＞，
故答案为＞．
【点评】本题考查了二次根式的性质，实数的大小比较等知识点，关键是掌握被开方数越大，算术平方根就大，被开方数越小，算术平方根就越小．
10．（3分）等腰三角形的一个角是110度，它的顶角 110度 ，底角 35度 ．
【分析】利用等腰三角形的性质，进行计算即可解答．
【解答】解：∵等腰三角形的一个角是110度，三角形的内角和为180°，
∴等腰三角形的顶角为110°，
它的另外两个底角都＝×（180°﹣110°）＝35°，
∴它的顶角是110度，底角是35度．
故答案为：110度，35度．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
11．（3分）若等腰三角形的一边长为3cm，另一边长4cm，则它的周长为 10或11 cm．
【分析】本题应分为两种情况：3是腰长和底边两种情况讨论求解．
【解答】解：3是腰长时，三角形的三边分别为3、2、4，
能组成三角形，
它的周长＝3+4+4＝10，
3是底边时，三角形的三边分别为8、4、4，
能组成三角形，
它的周长＝8+4+4＝11，
故答案为10cm或11cm．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，难点在于分情况讨论并利用三角形的三边关系判断是否能够组成三角形．
12．（3分）如图所示的5个三角形中：△ABC≌ △NHM ，△DEF≌ △QOP ．
【分析】根据全等三角形的判定SAS即可求解．
【解答】解：在△ABC和△NHM中，
，
∴△ABC≌△NHM（SAS），
在△DEF和△QOP中，
，
∴△DEF≌△QOP（SAS），
故答案为：△NHM，△QOP．
【点评】本题考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定是解题关键．
13．（3分）把命题“对顶角相等”改写成“如果…那么…”的形式： 如果两个角是对顶角，那么这两个角相等 ．
【分析】命题中的条件是两个角是对顶角，放在“如果”的后面，结论是这两个角相等，应放在“那么”的后面．
【解答】解：题设为：两个角是对顶角，结论为：这两个角相等，
故写成“如果…那么…”的形式是：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等，
故答案为：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等．
【点评】本题主要考查了将原命题写成条件与结论的形式，“如果”后面是命题的条件，“那么”后面是条件的结论，解决本题的关键是找到相应的条件和结论，比较简单．
14．（3分）如图，把两根钢条AB，CD的中点连在一起做成卡钳，已知AC的长度是6cm，则工件内槽的宽BD是 6 cm．
【分析】首先证明△BOD≌△AOC，然后再利用全等三角形的性质可得答案．
【解答】解：∵把两根钢条AB，CD的中点连在一起做成卡钳，
∴AO＝BO，CO＝DO，
在△BOD和△AOC中，
∴△BOD≌△AOC（SAS），
∴BD＝AC＝6cm，
故答案为：6．
【点评】此题主要考查了全等三角形的应用，关键是掌握全等三角形对应边相等．
三、解答题（本大题共10小题，共78分）
15．（8分）计算：
（1）；
（2）．
【分析】（1）先根据平方根及立方根的定义分别计算出各数，再根据实数的运算法则计算即可；
（2）先把各式化为最简二次根式，再合并同类二次根式即可．
【解答】解：（1）
＝4﹣3+
＝1+
＝；
（2）
＝3﹣2+
＝﹣．
【点评】本题考查的是实数的运算，熟知实数的运算法则是解题的关键．
16．（8分）计算：
（1）（2x﹣5y）（3x﹣2y）；
（2）（3x﹣2y）2+（2x+y）2．
【分析】（1）利用多项式乘多项式的法则进行计算，即可解答；
（2）利用完全平方公式进行计算，即可解答．
【解答】解：（1）（2x﹣5y）（3x﹣2y）
＝6x6﹣4xy﹣15xy+10y2
＝3x2﹣19xy+10y2；
（2）（5x﹣2y）2+（4x+y）2
＝9x3﹣12xy+4y2+6x2+4xy+y5
＝13x2﹣8xy+6y2．
【点评】本题考查了完全平方公式，多项式乘多项式，准确熟练地进行计算是解题的关键．
17．（6分）分解因式：
（1）﹣2x2y+12xy﹣18y；
（2）3x3﹣12xy2．
【分析】（1）先提公因式，然后再利用完全平方公式继续分解即可解答；
（2）先提公因式，然后再利用平方差公式继续分解即可解答．
【解答】解：（1）﹣2x2y+12xy﹣18y
＝﹣8y（x2﹣6x+3）
＝﹣2y（x﹣3）7；
（2）3x3﹣12xy5
＝3x（x2﹣5y2）
＝3x（x+3y）（x﹣2y）．
【点评】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．
18．（6分）先化简，再求值：（3x+2）（3x﹣2）﹣5x（x+1）
【分析】利用平方差公式和单项式乘多项式进行计算，然后合并同类项即可化简，然后代入数值计算即可．
【解答】解：（3x+2）（5x﹣2）﹣5x（x+7）
＝9x2﹣3﹣5x2﹣6x
＝4x2﹣3x﹣4，
当x＝−1时，原式＝3×（﹣1）2﹣7×（﹣1）﹣4＝5+5﹣4＝6．
【点评】本题考查了整式的混合运算，掌握平方差公式，对所求式子化简是关键．
19．（8分）已知（x+y）2＝1，（x﹣y）2＝49，求x2+y2与xy的值．
【分析】已知等式利用完全平方公式化简，相加减即可求出所求式子的值．
【解答】解：∵（x+y）2＝x2+y5+2xy＝1①，（x﹣y）6＝x2+y2﹣4xy＝49②，
∴①+②得：2（x2+y3）＝50，即x2+y2＝25；
①﹣②得：3xy＝﹣48，即xy＝﹣12．
【点评】此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
20．（8分）如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，BE平分∠ABC，交AC边于点E
（1）求证：△ABE≌△DBE；
（2）若∠A＝100°，∠C＝50°，求∠DEC的度数．
【分析】（1）根据BE平分∠ABC，可以得到∠ABE＝∠DBE，然后根据题目中的条件即可证明△ABE和△DBE全等，从而可以得到结论成立；
（2）根据三角形内角和和角平分线的定义可以得到∠AEB的度数，进而求解∠DEC的度数．
【解答】（1）证明：∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠DBE，
在△ABE和△DBE中，
AB＝DB，∠ABE＝∠DBE，
∴△ABE≌△DBE（SAS）；
（2）解：∵∠A＝100°，∠C＝50°，
∴∠ABC＝30°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠DBE＝∠ABC＝15°，
∴∠AEB＝180°﹣∠A﹣∠ABE＝180°﹣100°﹣15°＝65°，
∵△ABE≌△DBE，
∴∠AEB＝∠DEB，
∴∠DEC＝180°﹣65°﹣65°＝50°．
【点评】本题考查全等三角形的判定与性质、角平分线的性质，解答本题的关键是明确题意，利用全等三角形的判定和性质解答．
21．（8分）如图，点B、F、C、E在一条直线上，BF＝EC，且AB＝DE．求证：
（1）AC＝DF；
（2）AC∥DF．
【分析】（1）先求出BC＝EF，再根据“边角边”证明△ABC与△DEF全等，由全等三角形的性质可得出结论；
（2）由全等三角形的性质可得出∠ACB＝∠DFE，则可得出结论．
【解答】证明：（1）∵AB∥DE，
∴∠B＝∠E，
∵BF＝EC，
∴BF+FC＝EC+CF，
即BC＝EF．
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（ SAS），
∴AC＝DF；
（2）∵△ABC≌△DEF，
∴∠ACB＝∠DFE，
∴AC∥DF．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的判定，求出BC＝EF，得到三角形全等是解题的关键．
22．（6分）若x，y是实数，且．
（1）求x，y的值；
（2）求的值．
【分析】（1）根据二次根式有意义的条件进行解题即可；
（2）将求出的x与y代入进行求解即可．
【解答】解：（1）由题可知，，
解得x＝，
将x＝代入．
故x＝，y＝．
（2）将x与y代入得＝＝．
【点评】本题考查二次根式有意义的条件，能够熟练掌握相关的知识点是解题的关键．
23．（8分）已知a满足|2019﹣a|+＝a．
（1）有意义，a的取值范围是 a≥2020 ；则在这个条件下将|2019﹣a|去掉绝对值符号可得|2019﹣a|＝ a﹣2019
（2）根据（1）的分析，求a﹣20192的值．
【分析】（1）先根据二次根式有意义的条件求出a的范围，再根据二次根式的性质进行计算，最后求出答案即可；
（2）根据（1）的结论解答即可．
【解答】解：（1）∵有意义，
∴a﹣2020≥0
∴a≥2020；
∴2019﹣a＜0，
∴|2019﹣a|＝a﹣2019；
故答案为：a≥2020；a﹣2019；
（2）由（1）可知，
∵|2019﹣a|+＝a，
∴a﹣2019+＝a，
∴，
∴a﹣2020＝20195，
∴a﹣20192＝2020．
【点评】本题考查了二次根式有意义的条件和二次根式的性质与化简，能求出a≥2020是解此题的关键．
24．（12分）如图，△ABC是等边三角形，AB＝2cm．动点P从点C出发以1cm/s的速度在边BC的延长线上运动．以CP为边作等边三角形CPQ，点A、Q在直线BC同侧．连接AP、BQ相交于点E．设点P的运动时间为t（s）（t＞0）．
（1）当t＝ 2 s时，△ABC≌△QCP．
（2）求证：△ACP≌△BCQ．
（3）求∠BEP的度数．
（4）设AP与CQ交于点F，BQ与AC交于点G，连接FG，直接写出△CFG的周长．
【分析】（1）当CP＝AB时，两个三角形全等．
（2）根据SAS证明三角形全等即可．
（3）利用全等三角形的性质解决问题即可．
（4）分两种情形：①AG＝2CG．②CG＝2AG，分别求解即可．
【解答】解：（1）∵△ABC，△CPQ都是等边三角形，
∴当PC＝AB＝2时，△ABC≌△QCP．
∴t＝2s，
故答案为4．
（2）∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB＝60°，AC＝BC，
∵△CPQ是等边三角形，
∴∠PCQ＝60°，CP＝CQ，
∴∠ACP＝∠BCQ＝120°，
∴△ACP≌△BCQ（SAS）．
（3）∵△ACP≌△BCQ，
∴∠CAP＝∠CBQ，
∵∠BEP＝∠ABE+∠BAE，
∴∠BEP＝∠ABC+∠BAC，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠BAC＝60°，
∴∠BEP＝120°．
（4）如图1中，
∵△ACP≌△BCQ，
∴∠CAF＝∠CBG，
∵CA＝CB，∠ACF＝∠BCG＝60°，
∴△ACF≌△BCG（ASA），
∴CF＝CG，
∵∠GCF＝60°，
∴△GCF是等边三角形，
当AG＝2CG时，CG＝，
∴△CFG的周长为2cm
如图6中，当CG＝2AG时cm．
综上所述，△CFG的周长为2cm或4cm．
【点评】本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．