沈阳市第一二0中学2023-2024学年高一上学期第一次质量监测数学试卷(含答案)

这是一份沈阳市第一二0中学2023-2024学年高一上学期第一次质量监测数学试卷(含答案)，共14页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1、下列关系中,正确的个数为( )
①
②
③
④
A.1B.2C.3D.4
2、已知函数的定义域为,则的定义域为( )
A.B.C.D.
3、若函数满足,则( )
A.0B.2C.3D.-3
4、若a,b,且,则下列不等式成立的是( )
A.B.C.D.
5、函数的一个单调递增区间是( )
A.B.C.D.
6、已知m,n是方程的两根,则的值为( )
A.B.C.D.以上都不对
7、若函数的值域为,则实数a的取值不可能为( )
A.0B.2C.4D.6
8、已知函数,若,且,设,则t的最大值为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9、图中阴影部分用集合符号可以表示为
A.B.
C.D.
10、下列命题中为真命题的是( )
A.不等式的解集为
B.若在I上具有单调性,且,,那么当时,
C.函数,为同一个函数
D.已知,,,则
11、已知,且,则下列结论正确的是( )
A.xy的最大值为B.的最大值为
C.的最小值为D.的最大值为
12、对,表示不超过x的最大整数.十八世纪,被“数学王子”高斯采用,因此得名为高斯函数,人们更习惯称为“取整函数”,则下列命题中的真命题是( )
A.,
B.,,C.函数的值域为
D.若,使得,,,同时成立,则正整数n的最大值是5
三、填空题
13、命题“,”为真命题,则实数a的取值范围____________.
14、已知函数在区间上单调递增,则实数a的取值范围为___________.
15、已知集合关于x的方程的解集只有一个元素,用列举法表示__________.
16、已知函数的定义域为R,则的最大值是___________.
四、解答题
17、回答下列问题
(1)设x,y是不全为零的实数,试比较与的大小.
(2)用反证法证明：.
18、回答下列问题.
（1）求方程的解集.
（2）求当时关于x的不等式的解集.
19、已知函数,.
(1)当时,求不等式的解集;
(2)若不等式的解集包含,求a的取值范围.
20、某学校为了支持生物课程基地研究植物的生长规律,计划利用学校空地建造一间室内面积为的矩形温室,在温室内划出三块全等的矩形区域,分别种植三种植物,相邻矩形区域之间间隔1m,三块矩形区域的前、后与内墙各保留1m宽的通道,左、右两块矩形区域分别与相邻的左右内墙保留3m宽的通道,如图.设矩形温室的室内长为x(单位：m),三块种植植物的矩形区域的总面积为S(单位：)
(1)求S关于x的函数关系式;
(2)求S的最大值,并求出此时x的值.
21、给定函数,,,且,用表示,的较大者,记为.
(1)若,试写出的解析式,并求的最小值;
(2)若函数的最小值为3,试求实数a的值.
22、已知定义域为R的函数满足下列条件：对任意的实数x,y都有：,当时,.
(1)求;
(2)求证：在R上为增函数;
(3)若,关于x的不等式对任意的恒成立,求实数a的取值范围.
参考答案
1、答案：B
解析：①与④是正确的;
②：是无理数,故错误;
③：,故错误;
所以本题选B.
2、答案：C
解析：
3、答案：D
解析：
4、答案：D
解析：对于A,,,正负不确定,所以不正确;
对于B,,,ab正负不确定,所以不正确;
对于C,c可能为0,所以有可能,所以不正确;
对于D, ,正确.
故选D.
5、答案：C
解析：
6、答案：A
解析：m,n是方程的两根,,,
即m,n都是负数,
.
故选A.
7、答案：D
解析：当时,,即值域为,满足题意;
当时,设,若使函数的值域为,
则只需取大于等于零的实数,
即只需的图象与x轴有交点即可,
因此解得
综上,
故选D.
8、答案：C
解析：函数,若,且,
令,解得或,
即有,,
可得,可得,
则,,
对称轴为,
当时,t取最大值.
故选C.
9、答案：AD
解析：在阴影部分区域内任取一个元素x,则或,
故阴影部分所表示的集合为或.
故选：AD.
10、答案：BCD
解析：
11、答案：BC
解析：对于A选项,,
,,,
当且仅当,即,时等号成立.选项A错误;
对于B选项,,
,当且仅当,即,时等号成立.故选项B正确;
对于C选项,,
当且仅当,即时等号成立.故C选项正确;
对于D选项,,
当时,取得最小值为,因为y取不到5,所以无最大值;
故D选项错误.
故选BC.
12、答案：BCD
解析：当时,,则,
即,,故A错误;
任取,,,,,,则,,,,
若,此时;
若,此时;
所以,
所以,,,B正确;
由定义得,所以,所以函数的值域是,C正确;
若,使得,,,同时成立,
则,,,,,
因为,若,则不存在t同时满足,,
只有时,存在满足题意,
故选：BCD.
13、答案：或
解析：
14、答案：
解析：函数时,
,在单调递增,在上单调递减,
当时,,在单调递增,在上单调递减,
又的图象在处连续且,
在和上单调递减,单调递增,
在上单调递增,有,即
故答案为.
15、答案：
解析：已知集合有唯一解,
因为,
有：成立,且成立;
当,解得：,唯一解;
当,同理解得：唯一解;
当时,解得：;有唯一解;
则,解得：;所以,,
故答案为：.
16、答案：
解析：因为函数的定义域为R,
所以,恒成立,
所以,即,
所以,
令,则,
当且仅当,即,,时,等号成立,
所以的最大值是,
故答案为：.
17、答案：(1)
(2)见解析
解析：(1)x、y是不全为零的实数,,
;
(2)证明：假设,
则
两边平方得.
即
两边平方得,
与矛盾
所以假设不成立,原命题成立
即.
18、答案：(1)
(2)时,不等式的解集为或;
时,不等式的解集为;
时,不等式的解集为或
解析：（1）设,原方程化为,
解得,.
当时,,解得.
当时,,解得.
经检验,原方程的解集为.
（2）关于x的不等式可化为,
①当时,,且原不等式可化为,
其解集为或;
②当时,,且原不等式可化为,
其解集为;
③当时,,且原不等式可化为,
其解集为或;
综上,时,不等式的解集为或;
时,不等式的解集为;
时,不等式的解集为或.
19、答案：(1)
(2)
解析：(1)当时,,
当时,令,解得,
则的解集为;
当时,令,解得,
则的解集为;
当时,令,解得,
则的解集为. 综上所述,的解集为;
(2)依题意得：在恒成立,即x2-ax-2≤0在[-1,1]上恒成立,
则只需,
解得,
故a的取值范围是.
20、答案：(1),
(2)
解析：(1)由题设,可把三块种植植物的矩形区域的总面积看做一个矩形面积
所以：,.
(2)因为,所以,
当且仅当,时等号成立,
从而.
故当矩形温室的室内长为60m时,三块种植植物的矩形区域的总面积最大,最大值为.
21、答案：(1)见解析
(2)或
解析：(1)当时,,,令有,
在上严格减,在上严格增,
当时,取最小值;
(2)
①当时,即时,
在上严格减,上严格增,
,即,解得(舍去);
②当,即时,
在上严格减,在上严格增,
,
解得,故此时a无解;
③当,即时,
在上严格减,上严格增,
,
即,解得(舍去),
综上可得或.
22、答案：(1)
(2)见解析
(3)
解析：(1)由题设,令,
则有,即.
(2)证明：任取,,且,则,
当时,,.
,
,,即,
故在R上为增函数.
(3)由,
得,
,
故原不等式可化为,
即,
由(1)知,故不等式可化为,
又由(2)可知在R上为增函数,
,
即在上恒成立,
令,,
则成立,
由,知,则在上为增函数,
,即,
故实数a的取值范围是.