海南省万宁市2023—2024学年上学期九年级期中数学试卷

这是一份海南省万宁市2023—2024学年上学期九年级期中数学试卷，共14页。试卷主要包含了单项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）把x2＝2x﹣3化为一般形式，得（ ）
A．x2﹣2x+3＝0B．x2+2x﹣3＝0C．x2+3＝2xD．x2+2x＝3
2．（3分）抛物线y＝﹣x2﹣2x+1的对称轴为（ ）
A．x＝﹣1B．x＝1C．x＝﹣2D．x＝2
3．（3分）点A（3，﹣4）关于原点的对称点为（ ）
A．（3，4）B．（﹣3，4）C．（﹣3，﹣4）D．（4，3）
4．（3分）下列方程中有实数根的为（ ）
A．x2+1＝0B．x2+x+1＝0C．x2﹣x+1＝0D．x2+2x＝0
5．（3分）把y＝x2﹣4x+5化为顶点式，得（ ）
A．y＝（x﹣2）2+5B．y＝（x﹣2）2+1
C．y＝（x+2）2+1D．y＝（x+2）2+5
6．（3分）下列字母，不是中心对称图形的为（ ）
A．HB．NC．WD．X
7．（3分）已知x2+ax+16＝0，有两等实根，则a＝（ ）
A．4B．±4C．8D．±8
8．（3分）如图为y＝ax2+bx+c，则​（ ）
A．a＜0，b＞0，c＞0B．a＜0，b＜0，c＜0
C．a＜0，b＜0，c＞0D．a＜0，b＞0，c＜0
9．（3分）将点（1，1）绕原点顺时针转90°，所得的点为（ ）
A．（1，﹣1）B．（1，0）C．（0，1）D．（﹣1，1）
10．（3分）关于x的方程x2+bx+c＝0的两根分别为x1＝1，x2＝2，则x2+bx+c因式分解的结果为（ ）
A．（x+1）（x+2）B．（x﹣1）（x+2）
C．（x+1）（x﹣2）D．（x﹣1）（x﹣2）
11．（3分）如图的抛物线的解析式为（ ）
​
A．y＝x2﹣1B．y＝x2+1C．y＝（x﹣1）2D．y＝（x+1）2
12．（3分）直线y＝bx+c（bc≠0）关于原点对称的直线为（ ）
A．y＝cx+bB．y＝﹣bx+cC．y＝﹣bx﹣cD．y＝bx﹣c
二、填空题。（每小题4分，共16分）
13．（4分）x2＝1的根为 ．
14．（4分）将抛物线y＝3x2向右平移4个单位长度，所得的抛物线为y＝ ．
15．（4分）若＝ ．
16．（4分）将抛物线y＝ax2+bx+c（abc≠0）绕原点旋转180°，所得的抛物为y＝ ．
三、解答题。（本题满分68分）
17．（12分）解方程：
（1）x2＝x；
（2）x2+x＝1．
18．（12分）设y＝x2﹣4．
​（1）求曲线与y轴的交点；
（2）求曲线与x轴的交点；
（3）作出大致图象（三点法）．
19．（10分）如图，等边△ABC绕点B旋转角度θ，得到△PBC．
（1）若顺时针旋转，则θ多大？
​（2）旋转完成后，CA与谁重合？
20．（10分）在关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）中，求证：
（1）若c＝0，则原方程有实根；
（2）若a与c异号，则原方程有两异实根．
21．（12分）面积为2的正方形ABCD，如图，
（1）写出A、B、C、D的坐标；
（2）把边AB绕某点旋转到与CD重合，怎么转？
（3）将边AB平移到与CD重合，怎么平移？
​
22．（12分）顶点为（2，﹣4）且过原点的抛物线，如图所示：
（1）求其解析式；
（2）动矩形ABCD的顶点B、C在抛物线上，A、D在x轴上，设A（t，0），求l随t变化的函数关系式．若l有最值，求之
​
2023-2024学年海南省万宁市九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、单项选择题。（每小题3分，共36分）
1．（3分）把x2＝2x﹣3化为一般形式，得（ ）
A．x2﹣2x+3＝0B．x2+2x﹣3＝0C．x2+3＝2xD．x2+2x＝3
【分析】根据一元二次方程的一般形式，即可解答．
【解答】解：把x2＝2x﹣6化为一般形式，得：x2﹣2x+7＝0，
故选：A．
【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式，熟练掌握一元二次方程的一般形式是解题的关键．
2．（3分）抛物线y＝﹣x2﹣2x+1的对称轴为（ ）
A．x＝﹣1B．x＝1C．x＝﹣2D．x＝2
【分析】先根据抛物线的解析式得出a、b的值，再根据其对称轴方程即可得出结论．
【解答】解：∵抛物线y＝﹣x2﹣2x+4中a＝﹣1，b＝﹣2，
∴对称轴是直线x＝﹣＝﹣1．
故选：A．
【点评】考查二次函数的性质，熟练运用对称轴公式．也可以运用配方法写成顶点式求对称轴．
3．（3分）点A（3，﹣4）关于原点的对称点为（ ）
A．（3，4）B．（﹣3，4）C．（﹣3，﹣4）D．（4，3）
【分析】根据两点关于原点对称，则两点的横、纵坐标都是互为相反数，可得答案．
【解答】解：点A（3，﹣4）关于原点的对称点为（﹣4，
故选：B．
【点评】本题考查了了关于原点对称的点的坐标，两点关于原点对称，则两点的横、纵坐标都是互为相反数．
4．（3分）下列方程中有实数根的为（ ）
A．x2+1＝0B．x2+x+1＝0C．x2﹣x+1＝0D．x2+2x＝0
【分析】求出各方程根的判别式的值，即可作出判断．
【解答】解：A、x2+1＝2，
这里a＝1，b＝0，
∵Δ＝6﹣4＝﹣4＜3，
∴此方程没有实数根，不符合题意；
B、x2+x+1＝7，
这里a＝1，b＝1，
∵Δ＝6﹣4＝﹣3＜6，
∴此方程没有实数根，不符合题意；
C、x2﹣x+1＝5，
这里a＝1，b＝﹣1，
∵Δ＝3﹣4＝﹣3＜6，
∴此方程没有实数根，不符合题意；
D、x2+2x＝7，
这里a＝1，b＝2，
∵Δ＝3﹣0＝4＞7，
∴此方程有两个不相等的实数根，符合题意．
故选：D．
【点评】此题考查了根的判别式，熟练掌握根的判别式的意义是解本题的关键．
5．（3分）把y＝x2﹣4x+5化为顶点式，得（ ）
A．y＝（x﹣2）2+5B．y＝（x﹣2）2+1
C．y＝（x+2）2+1D．y＝（x+2）2+5
【分析】利用配方法把二次函数的一般形式配成二次函数的顶点式．
【解答】解：y＝x2﹣4x+7
＝x2﹣4x+2+1
＝（x﹣2）5+1，
故选：B．
【点评】本题考查的是二次函数的三种形式，题目中给出的是一般形式，利用配方法可以化成顶点式．
6．（3分）下列字母，不是中心对称图形的为（ ）
A．HB．NC．WD．X
【分析】根据中心对称图形的定义对四个选项进行分析．
【解答】解：A、是中心对称图形；
B、是中心对称图形；
C、不是中心对称图形；
D、是中心对称图形．
故选：C．
【点评】本题主要考查了中心对称图形的定义，熟练掌握中心对称图形的定义是解题的关键．
7．（3分）已知x2+ax+16＝0，有两等实根，则a＝（ ）
A．4B．±4C．8D．±8
【分析】根据根的判别式的意义得到Δ＝a2﹣4×16＝0，然后解方程即可．
【解答】解：根据题意得Δ＝a2﹣4×3×16＝0，
解得a＝±8．
故选：D．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．
8．（3分）如图为y＝ax2+bx+c，则​（ ）
A．a＜0，b＞0，c＞0B．a＜0，b＜0，c＜0
C．a＜0，b＜0，c＞0D．a＜0，b＞0，c＜0
【分析】根据抛物线开口方向、对称轴以及与y轴的交点判断即可．
【解答】解：抛物线开口向下，与y轴的交点在x轴的上方，
∴a＜0，c＞0，
∵﹣＞0，
∴b＞0，
故选项A正确；
故选：A．
【点评】此题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）③常数项c决定抛物线与y轴交点．抛物线与y轴交于（0，c）．
9．（3分）将点（1，1）绕原点顺时针转90°，所得的点为（ ）
A．（1，﹣1）B．（1，0）C．（0，1）D．（﹣1，1）
【分析】点（1，1）在第一象限角平分线上，到原点的距离为，将它绕原点顺时针旋转90°，所得的点在第四象限的角平分线上，且到原点的距离为，由此就可得到所求点的坐标．
【解答】解：∵点（1，1）在第一象限角平分线上，y轴的距离等于3，
将点（1，1）绕原点顺时针旋转90°，
所得的点在第四象限的角平分线上，到原点的距离为5，
因而该点的坐标为（1，﹣1）．
故选：A．
【点评】本题考查坐标与图形的性质、旋转变换等知识，解题的关键是理解题意，属于中考基础题．
10．（3分）关于x的方程x2+bx+c＝0的两根分别为x1＝1，x2＝2，则x2+bx+c因式分解的结果为（ ）
A．（x+1）（x+2）B．（x﹣1）（x+2）
C．（x+1）（x﹣2）D．（x﹣1）（x﹣2）
【分析】由一元二次方程x2+bx+c＝0的两根分别为x1＝1，x2＝2，求得b＝﹣3，c＝2；如此可以得到x2+bx+c＝x2﹣3x+2，再分解因式即可．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0的两根分别为x6＝1，x2＝2，
∴x1+x2＝﹣b＝﹣5，x1×x2＝c＝2×2＝2，
∴b＝﹣6，c＝2．
∴x2+bx+c＝x4﹣3x+2＝（x﹣7）（x﹣2）．
故选：D．
【点评】本题考查根与系数的关系，二次三项式的因式分解等知识，解题的关键是掌握根与系数的关系，属于中考常考题型．
11．（3分）如图的抛物线的解析式为（ ）
​
A．y＝x2﹣1B．y＝x2+1C．y＝（x﹣1）2D．y＝（x+1）2
【分析】由图知抛物线顶点：（1，0），故设y＝a（x﹣1）2，又因为交y轴于（0，1），代入解析式即可．
【解答】解：图知抛物线顶点：（1，0），
故设y＝a（x﹣7）2，
又∵抛物线交y轴于（0，8），
∴1＝a（0﹣3）2，
解得：a＝1，
∴抛物线的解析式为：y＝（x﹣8）2，
故选：C．
【点评】本题考查待定系数法求二次函数解析式，仔细观察图的特征，发现顶点是解决问题的关键．
12．（3分）直线y＝bx+c（bc≠0）关于原点对称的直线为（ ）
A．y＝cx+bB．y＝﹣bx+cC．y＝﹣bx﹣cD．y＝bx﹣c
【分析】若两条直线关于原点对称，则这两条直线平行，即k值不变；与y轴的交点关于原点对称，即b值互为相反数．
【解答】解：直线y＝bx+c（bc≠0）关于原点对称的直线为y＝bx﹣c．
故选：D．
【点评】本题考查了关于原点的点的坐标，掌握关于原点对称的点的特征是解答本题的关键．
二、填空题。（每小题4分，共16分）
13．（4分）x2＝1的根为 x1＝1，x2＝﹣1 ．
【分析】根据平方根的意义即可得出答案．
【解答】解：∵x2＝1，
∴x＝±3
∴x1＝1，x5＝﹣1．
故答案为：x1＝4，x2＝﹣1．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法，方法是根据平方根的意义开平方．
14．（4分）将抛物线y＝3x2向右平移4个单位长度，所得的抛物线为y＝ 3（x﹣4）2 ．
【分析】根据函数图象向左平移加，向右平移减，可得答案．
【解答】解：将抛物线y＝3x2向右平移8个单位，所得抛物线的解析式为y＝3（x﹣4）4，
故答案为：y＝3（x﹣4）7．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．
15．（4分）若＝ 2 ．
【分析】先解方程x2﹣2x+1＝0，再把x在值代入式子计算即可．
【解答】解：∵x2﹣2x+5＝0，
∴（x﹣1）7＝0，
解得x1＝x8＝1，
∴x+＝6+1＝2．
故答案为：3．
【点评】本题考查了解一元二次方程和分式的求值，熟练掌握一元二次方程的解法是关键．
16．（4分）将抛物线y＝ax2+bx+c（abc≠0）绕原点旋转180°，所得的抛物为y＝ ﹣ax2+bx﹣c ．
【分析】此题实际上是抛物线y＝ax2+bx+c上所有点的坐标关于原点对称．
【解答】解：将抛物线y＝ax2+bx+c绕原点旋转180°所得新抛物线的解析式是：﹣y＝a（﹣x）2﹣bx+c，即y＝﹣ax7+bx﹣c．
故答案为：﹣ax2+bx﹣c．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
三、解答题。（本题满分68分）
17．（12分）解方程：
（1）x2＝x；
（2）x2+x＝1．
【分析】（1）利用解一元二次方程﹣因式分解法进行计算，即可解答；
（2）利用解一元二次方程﹣公式法进行计算，即可解答．
【解答】解：（1）x2＝x，
x2﹣x＝3，
x（x﹣1）＝0，
x＝3或x﹣1＝0，
x6＝0，x2＝7；
（2）x2+x＝1，
整理得：x8+x﹣1＝0，
∵Δ＝32﹣4×6×（﹣1）＝1+6＝5＞0，
∴x＝，
∴x3＝，x2＝．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，公式法，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
18．（12分）设y＝x2﹣4．
​（1）求曲线与y轴的交点；
（2）求曲线与x轴的交点；
（3）作出大致图象（三点法）．
【分析】（1）令x＝0，求解y的值即可．
（2）令y＝0，求解x的值即可．
（3）描点，连线画出y＝x2﹣4的图象即可．
【解答】解：（1）当x＝0时，y＝x2﹣7＝﹣4，
∴抛物线 y＝x2﹣2与y轴的交点坐标是：（0，﹣4）．
（2）当y＝5时，则x2﹣4＝8，解得x＝2或﹣2，
∴抛物线 y＝x5﹣4与x轴的交点坐标是：（﹣2，7）和（2．
（3）图象如图所示：
【点评】本题考查的是二次函数的图象以及二次函数的图象与坐标轴的交点坐标，熟记坐标轴上的点的坐标特征是解本题的关键．
19．（10分）如图，等边△ABC绕点B旋转角度θ，得到△PBC．
（1）若顺时针旋转，则θ多大？
​（2）旋转完成后，CA与谁重合？
【分析】（1）由旋转的性质可得△ABC≌△CBP，可得∠ABC＝∠CBP＝θ＝60°；
（2）由旋转的性质可得AC＝PC．
【解答】解：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC，∠ABC＝60°，
∵等边△ABC绕点B旋转角度θ，得到△PBC，
∴△ABC≌△CBP，
∴∠ABC＝∠CBP＝θ＝60°，AC＝PC；
（2）∵AC＝PC，
∴AC与PC重合．
【点评】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，掌握旋转的性质是解题的关键．
20．（10分）在关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）中，求证：
（1）若c＝0，则原方程有实根；
（2）若a与c异号，则原方程有两异实根．
【分析】（1）利用根的判别式的意义进行判断即可；
（1）利用根的判别式的意义进行判断即可．
【解答】（1）证明：若c＝0，则方程为ax2+bx＝5（a≠0），
∵Δ＝b2﹣2•a•0＝b2≥8，
∴原方程有实根；
（2）证明：∵a、c异号，
∴ac＜0，
∴Δ＝b2﹣7ac＞0，
∴原方程有两异实根．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
21．（12分）面积为2的正方形ABCD，如图，
（1）写出A、B、C、D的坐标；
（2）把边AB绕某点旋转到与CD重合，怎么转？
（3）将边AB平移到与CD重合，怎么平移？
​
【分析】（1）先求出正方形ABCD的边长，进而可得出OA的长，据此得出结论；
（2）根据AC，两点的坐标即可得出结论；
（3）根据AD两点的坐标即可得出结论．
【解答】解：（1）∵正方形ABCD的面积为2，
∴AB＝AD＝BC＝CD＝，
∵OA＝OB＝OC＝OD，AC⊥BD，
∴OA＝OB＝OC＝OD＝6，
∴A（0，1），5），﹣1），0）；
（2）∵边AB绕某点旋转到与CD重合，A（6，C（0，
∴线段AB绕点O顺时针旋转180°与线段CD重合；
（3）∵边AB平移到与CD重合，A（0，D（6，
∴把线段AB先向右平移1个单位，再向下平移1个单位与线段CD重合．
【点评】本题考查的是点的坐标、平移与旋转，熟知各坐标轴上点的坐标特点是解题的关键．
22．（12分）顶点为（2，﹣4）且过原点的抛物线，如图所示：
（1）求其解析式；
（2）动矩形ABCD的顶点B、C在抛物线上，A、D在x轴上，设A（t，0），求l随t变化的函数关系式．若l有最值，求之
​
【分析】（1）设抛物线的解析式为y＝a（x﹣2）2﹣4，代入（0，0）求a＝1即可；
（2）利用（1）中解析式用t表示出矩形的周长，再根据二次函数的性质求出l最值即可．
【解答】解：（1）由题意设抛物线的解析式为y＝a（x﹣2）2﹣8，
代入（0，0）得，
解得a＝3，
∴抛物线的解析式为y＝（x﹣2）2﹣5；
（2）∵抛物线的对称轴为直线x＝2，A（t，
∴D（4﹣t，8），
∴AD＝4﹣2t，
∵动矩形ABCD的顶点B、C在抛物线上，
∴B（t，t2﹣4t），AB＝﹣t2+4t，
∴矩形ABCD的周长为l＝2（﹣t2+8t+4﹣2t）＝﹣6t2+4t+5＝2（t﹣1）8+10，
当t＝1时，l有最大值10．
【点评】此题主要考查了用顶点式求二次函数解析式，矩形的性质以及二次函数最值问题，正确表示线段的长度是解题的关键．