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    2023年人教版数学九年级秋季讲义第7讲:阿氏圆、米勒定理与胡不归
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    人教版九年级上册第二十四章 圆24.2 点和圆、直线和圆的位置关系24.2.2 直线和圆的位置关系导学案

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    这是一份人教版九年级上册第二十四章 圆24.2 点和圆、直线和圆的位置关系24.2.2 直线和圆的位置关系导学案,共10页。学案主要包含了重要考点目录,重要考点讲解,知识精讲,典例精讲,问题提出,数学理解,问题解决等内容,欢迎下载使用。

    模块1:阿氏圆
    模块2:米勒定理
    模块3:胡不归
    【重要考点讲解】
    模块1:阿氏圆
    【知识精讲】
    【典例精讲】
    例题1.如图,在中,,,,圆的半径为2,点为圆上一动点,连接,.
    求①;
    ②;
    ③;
    ④的最小值.
    例题2.(2020•桂林)如图,在中,,点,分别是,的中点,点是扇形的上任意一点,连接,,则的最小值是 .
    例题3.如图,扇形中,,,,为中点,为上一动点,则的最小值为
    A.B.C.18D.
    例题4.如图,已知菱形的边长为8,,圆的半径为4,点是圆上的一个动点,则的最大值为 .
    例题5.(2021•张家界)如图,已知二次函数的图象经过点,且与轴交于原点及点.
    (1)求二次函数的表达式;
    (2)求顶点的坐标及直线的表达式;
    (3)判断的形状,试说明理由;
    (4)若点为上的动点,且的半径为,一动点从点出发,以每秒2个单位长度的速度沿线段匀速运动到点,再以每秒1个单位长度的速度沿线段匀速运动到点后停止运动,求点的运动时间的最小值.
    模块2:米勒定理
    【知识精讲】
    【典例精讲】
    例题6.(2014•淄博)如图,点与点的坐标分别是,,点是该直角坐标系内的一个动点.
    (1)使的点有 个;
    (2)若点在轴上,且,求满足条件的点的坐标;
    (3)当点在轴上移动时,是否有最大值?若有,求点的坐标,并说明此时最大的理由;若没有,也请说明理由.
    例题7.(2022•桂林)如图,某雕塑位于河段上,游客在步道上由点出发沿方向行走.已知,,当观景视角最大时,游客行走的距离是 米.
    例题8.(2015•陕西)如图,在每一个四边形中,均有,,,,.
    (1)如图①,点是四边形边上的一点,则的面积为 ;
    (2)如图②,点是四边形边上的任意一点,请你求出周长的最小值;
    (3)如图③,在四边形的边上,是否存在一点,使得的值最小?若存在,求出此时的值;若不存在,请说明理由.
    模块3:胡不归
    【知识精讲】
    【典例精讲】
    例题9.(2019•长沙)如图,中,,,于点,是线段上的一个动点,则的最小值是
    A.B.C.D.10
    例题10.(2019•南通)如图,中,,,,为边上的一动点,则的最小值等于 .
    例题11.(2020•新疆)如图,在中,,,,若是边上的动点,则的最小值为 .
    第7讲:阿氏圆、米勒定理与胡不归课后巩固
    1.(1)如图1,已知正方形的边长为4,圆的半径为2,点是圆上的一个动点,求的最小值和的最大值;
    (2)如图2,已知正方形的边长为9,圆的半径为6,点是圆上的一个动点,那么的最小值为 ,的最大值为 .
    (3)如图3,已知菱形的边长为4,,圆的半径为2,点是圆上的一个动点,那么的最小值为 ,的最大值为 .
    2.(2023•玉林一模)如图,线段是的直径,延长至点,使,点是线段的中点,交于点,连接.
    (1)求证:是的切线;
    (2)点是上一动点(不与点,重合),连接,.求的值.
    3.如图,某雕塑位于河段上.游客在步道上由点出发沿方向行走;已知,,.当观景视角最大时,游客行走的距离是
    A.B.C.D.
    4.(2023•北海二模)综合与实践
    【问题提出】(1)如图1,在足球比赛场上,甲、乙两名队员互相配合向对方球门进攻,当甲带球冲到点时,乙已跟随冲到点,仅从射门角度大小考虑,甲是自己射门好,还是迅速将球回传给乙,让乙射门好?假设球员对球门的视角越大,足球越容易被踢进.请结合你所学知识,求证:.
    【数学理解】德国数学家米勒曾提出最大视角问题,对该问题的一般描述是:如图2,已知点,是的边上的两个定点,是边上的一个动点,当且仅当的外接圆与边相切于点时,最大.人们称这一命题为米勒定理.
    【问题解决】(2)如图3,已知点,的坐标分别是,,是轴正半轴上的一动点,当的外接圆与轴相切于点时,最大.当最大时,求点的坐标.
    5.如图,在中,,,,若是边上的动点,则的最小值是
    A.6B.8C.10D.12
    6.如图,为等边三角形,平分,,点为上动点,连接,则的最小值为
    A.1B.C.D.2
    7.(2023•锦州)如图,在中,,,,按下列步骤作图:①在和上分别截取,,使.②分别以点和点为圆心,以大于的长为半径作弧,两弧在内交于点.③作射线交于点.若点是线段上的一个动点,连接,则的最小值是 .
    8.(2022•梧州)如图,在平面直角坐标系中,直线分别与,轴交于点,,抛物线恰好经过这两点.
    (1)求此抛物线的解析式;
    (2)若点的坐标是,将绕着点逆时针旋转得到,点的对应点是点.
    ①写出点的坐标,并判断点是否在此抛物线上;
    ②若点是轴上的任一点,求取最小值时,点的坐标.
    阿氏圆
    模型特征:“”求最值(点在圆上运动)——阿氏圆模型
    如图:已知定点、,点为圆上一动点,求点,使得最小.
    处理策略:(构造相似)
    第1步:将系数不为1线段的两个端点、点分别与圆心相连接,即:连接、,如图1;
    第2步:计算出两条线段、长度;
    第3步:计算出线段长度的比;
    第4步:在上取点,使得,如图2;
    第5步:连接,与圆交点即为点,如图3、图4.
    米勒定理
    最佳视点问题原理(米勒定理):
    已知点是的边上的两个定点,点是边上一个动点,则当且仅当的外接圆与边相切于时,最大.
    证明:如图:设点是边上不同于点的任意一点,连接、
    交圆于点,
    均有.
    胡不归
    如图:已知定点、,点为定直线上动点,求点,使得最小.
    处理策略:
    ①作射线使得;
    ②过点作于,则,则;
    ③当、、三点共线时,最小,即相当于过作于
    交于点,则即为所求;
    ④的最小值即为.
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