2024六盘水纽绅中学高二上学期10月月考数学试题含解析

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考生注意：
1．满分150分，考试时间120分钟．
2．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效．
3．本卷命题范围：人教A版必修第二册、必修第二册，选择性必修第二册第一章．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用并集运算计算出，再求其补集即可.
【详解】解：因为，则，
故.
故选：D.
2. 以的虚部为实部，以的实部为虚部的复数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据复数的基本概念即得.
【详解】设所求复数为，
由题意知复数的虚部为7，所以，
复数的实部为，所以，
故．
故选：A.
3. 已知向量，则与同向共线的单位向量（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先求得的模，再根据与同向共线的单位向量求解.
【详解】因为向量，
所以，
所以与同向共线的单位向量为：，
故选：C.
4. 在一次抛硬币的试验中，某同学用一枚质地均匀的硬币做了800次试验，发现正面朝上出现了440次，那么出现正面朝上的频率和概率分别为（ ）
A. 0.55，0.55B. 0.55，0.5C. 0.5，0.5D. 0.5，0.55
【答案】B
【解析】
【分析】根据频率的计算公式可求得频率，结合概率的含义可确定概率，即得答案.
【详解】某同学用一枚质地均匀的硬币做了800次试验，发现正面朝上出现了440次，
那么出现正面朝上的频率为 ,
由于每次抛硬币时，正面朝上和反面朝上的机会相等，都是,
故出现正面朝上的概率为 ,
故选︰B．
5. 已知空间向量，，不共面，且，则x，y，z的值分别是（ ）
A. 2，1，2B. 2，1，
C. 1，，3D. l，，3
【答案】C
【解析】
【分析】根据空间向量基本定理，不共面向量的线性表达式中对应向量的系数相等，即可求x，y，z的值.
【详解】由题设知：，解得.
故选：C
6. 已知，则向量在上的投影向量的坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据点的坐标求和坐标,再求,最后应用投影向量公式求解即可.
【详解】已知,可得,
,
又因为向量在上的投影向量为.
故选: A.
7. 出租车司机老王从饭店到火车站途中经过六个交通岗，已知各交通岗信号灯相互独立.假设老王在各交通岗遇到红灯的概率都是，则他遇到红灯前已经通过了两个交通岗的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据相互独立事件概率计算公式求得正确答案.
【详解】因为司机老王在第一、二个交通岗未遇到红灯，
在第三个交通岗遇到红灯之间是相互独立的，且遇到红灯的概率都是，
所以未遇到红灯的概率都是，
所以遇到红灯前已经通过了两个交通岗概率为.
故选：B
8. 如图，平行六面体所有棱长都为1，底面为正方形，．则对角线的长度为（ ）

A B. C. 2D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用基底法求解即可.
【详解】由题知，
所以，
所以，即.
故选：B.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分．
9. 下列关于概率的命题，正确的是（ ）
A. 对于任意事件A，都有
B. 必然事件的概率为1
C. 如果事件A与事件B对立，那么一定有
D. 若A，B是一个随机试验中的两个事件，则
【答案】BCD
【解析】
【分析】A选项，根据得到A错误；B选项，根据必然事件的定义得到B正确；C选项，根据对立事件的性质得到C正确；D选项，由概率性质得到D正确.
【详解】对于A，对于任意事件A，都有，故A错误；
对于B，必然事件的概率为1，显然正确，故B正确；
对于C，如果事件A与事件B对立，那么一定有，故C正确；
对于D，若A，B是一个随机试验中的两个事件，则，故D正确．
故选：BCD．
10. 给出下列命题，其中正确的有（ ）
A. 空间任意三个向量都可以作为一个基底
B. 已知向量，则、与任何向量都不能构成空间的一个基底
C. 已知是空间向量的一个基底，则也是空间向量的一个基底
D. A、B、M、N是空间四点，若、、不能构成空间的一个基底，则A、B、M、N共面
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据空间向量基底的概念，结合向量的共面定理，空间点共面的知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】对于A项，空间任意的三个不共面的向量才可以作为一个基底，故A错误；
对于B项，若，则、与任何向量都共面，故不能构成空间的一个基底，故B正确；
对于C项，若共面，则，则共面，
这与为空间的一个基底相矛盾，故可以构成空间向量的一个基底，故C正确；
对于D项，若不能构成空间的一个基底，则共面，
又过相同的点B，则A、B、M、N四点共面，故D正确．
故选：BCD.
11. 定义运算：，将函数的图像向左平移个单位，所得图像对应的函数为偶函数，则ω的可能取值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】由定义运算结合辅助角公式，得函数解析式，再求平移后的函数解析式，由此函数为偶函数，求出ω的值，对照选项进行判断.
【详解】将函数的图像向左平移个单位，
可得的图像，再根据所得图像对应的函数为偶函数，
可得，求得，令，可得；令，求得.
故选：BC.
12. 如图，在三棱柱中，侧棱底面，，，是棱的中点，是的延长线与的延长线的交点.若点在直线上，则下列结论错误的是( )
A. 当为线段的中点时，平面
B. 当为线段的三等分点时，平面
C. 在线段的延长线上，存在一点，使得平面
D. 不存在点，使与平面垂直
【答案】ABC
【解析】
【分析】通过建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，设，表示出向量，再利用，建立关系式，从而判断出无解，即不存在这样的点，进而判断出选项ABC不正确，选项D正确.
【详解】如图，以坐标原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，
易知，，，，，，，
所以，，，
设平面的一个法向量为，
则，取，则，，
所以平面的一个法向量为.
假设平面，且，
则.
因为也是平面的法向量，
所以与共线，
所以成立，
但此方程关于无解，因此不存在点，使与平面垂直，所以选项ABC不正确，选项D正确.
故选：ABC.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 设向量，且，则__________．
【答案】##
【解析】
【分析】根据平面向量共线的坐标公式计算即可.
【详解】，解得．
故答案为：.
14. 在中，，则外接圆的半径为__________．
【答案】2
【解析】
【分析】正弦定理的直接求解.
【详解】因为，可得，
由正弦定理得外接圆的半径．
故答案为：2.
15. 已知平面的法向量为，点，，且，，则点到平面的距离为______．
【答案】
【解析】
【分析】直接由点面距离的向量公式即可求解.
【详解】解：依题意，且平面的法向量为，
所以由点到面距离的向量公式可得，
点到平面的距离为.
故答案为：.
16. 若函数零点为，函数零点为，则___________.
【答案】2
【解析】
【分析】根据零点的定义及反函数的图像特征，判断出A、B两点关于y=x对称，即可求出.
【详解】令，得：；令，得：；
所以分别为和与的图像交点的横坐标，如图所示：
所以，.
因为和互为反函数，所以和的图像关于y=x对称，所以A、B两点关于y=x对称.
又A、B两点均在的图像上，所以，所以2.
故答案为：2
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．
17. 已知空间三点．
（1）若，且分别与，垂直，求的坐标；
（2）求的值．
【答案】（1）或
（2）
【解析】
【分析】（1）设，由题意得到方程组，求出；
（2）计算出，利用模长公式求出答案.
【小问1详解】
设，,
由题意得，解得或
故或．
【小问2详解】
，
故．
18. 已知函数是定义在R上的奇函数（其中e是自然对数的底数）．
（1）求实数m的值；
（2）若，求实数a的取值范围．
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】（1）根据奇函数的性质得到即可求出实数的值.
（2）首先根据为奇函数得到，再根据函数的单调性解不等式即可.
【详解】（1）是定义在的奇函数，
，即.
（2）∵函数为奇函数，
所以..
又因为，都为上增函数，
所以在上单调递增，
，即，
.
【点睛】本题第一问考查根据函数的奇偶性求参数，第二问考查利用函数的奇偶性和单调性解不等式，属于简单题.
19. 第19届亚运会在杭州举行，志愿者的服务工作是亚运会成功举办的重要保障．某高校承办了杭州志愿者选拔的面试工作．现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图．已知第三、四、五组的频率之和为0.7，第一组和第五组的频率相同．

（1）求a，b的值；
（2）估计这100名候选者面试成绩的众数和分位数（百分位数精确到0.1）；
（3）在第四、第五两组志愿者中，采用分层抽样的方法从中抽取5人，然后再从这5人中选出2人，以确定组长人选，求选出的两人来自不同组的概率．
【答案】（1），
（2）众数为70，分位数为
（3）
【解析】
【分析】（1）由频率分布直方图列方程组即能求出的值；
（2）观察频率分布直方图即可得众数，根据加权平均数的求解公式可得平均值，先确定第分位数在65-75之间，然后列式求解即可；
（3）根据分层抽样，在和中分别选取4人和1人，列举出这5人中选出2人的总的基本事件数，和选出的两人来自不同组的基本事件数，利用古典概型的概率公式求解即可.
【小问1详解】
由题意可知：，，
解得，；
【小问2详解】
由频率分布直方图得众数为，
前两个分组频率之和为0.3，前三个分组频率之和为0.75，
第分位数等于；
【小问3详解】
根据分层抽样，和的频率比为，
故在和中分别选取4人和1人，分别设为和，
则在这5人中随机抽取两个的样本空间包含的样本点有
共10个，
即，记事件“两人来自不同组”，
则事件包含的样本点有共4个，即，
所以.
20. 如图，在菱形ABCD中，，点P是菱形ABCD所在平面外一点，，平面ABCD．平面PCD与平面PAB交于直线l．
（1）求证：平面ABCD；
（2）求点D到平面PAB的距离．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）用线平行于面性质定理即可；（2）用等体积法即可.
【小问1详解】
证明：因为四边形ABCD是菱形，所以，
平面PAB，平面PAB，
所以平面PAB，
又平面平面，所以．
又平面ABCD，平面ABCD，
所以平面ABCD．
【小问2详解】
解：设点D到平面PAB的距离为d，
因为，
因为四边形ABCD为菱形，且，
所以，
又，所以．
21. 在锐角中，内角、、所对的边分别为、、，已知.
（1）求的值；
（2）若，求的面积.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用余弦定理化简已知条件，由此求得的值.
（2）利用余弦定理以及三角恒等变换的知识判断出三角形的形状，由此求得的面积.
【小问1详解】
依题意，，
由余弦定理得，
整理得，
由于三角形是锐角三角形，所以，则.
【小问2详解】
由，
得，
，当且仅当时等号成立，
则，所以，
由于为锐角，所以，此时，
所以三角形是等边三角形，所以.
22. 如图，在四棱锥中，已知底面ABCD，，异面直线PA和CD所成角等于．
（1）求直线CD和平面PAD所成角的正弦值；
（2）在棱PA上是否存在一点E，使得平面PAB与平面BDE夹角的正切值为？若存在，指出点E在棱PA上的位置；若不存在，说明理由．
【答案】（1）
（2）存在这样的E点，E为棱PA上靠近A的三等分点
【解析】
【分析】（1）以B为原点，BA，BC，BP所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系．利用空间向量法求解；（2）先假设棱PA上存在一点E，求出平面PAB与平面BDE的法向量，进而求得二面角的正切值为，求出E点坐标.
【小问1详解】
如图，以B为原点，BA，BC，BP所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系．
已知底面ABCD，
底面ABCD，所以
又，，
平面，所以平面，
平面，所以，
，
是等腰直角三角形，．
设，则．
则，
异面直线PA和CD所成角等于，
，即，解得，
．
设平面PAD的一个法向量为
则由得,所以可取．
．
∴直线CD和平面PAD所成角的正弦值为．
【小问2详解】
假设存在，设，且，则，
，设平面DEB的一个法向量为，
则由得,
取，又有平面PAB的法向量，
由平面PAB与平面BDE夹角的正切值为，可知余弦值为，
由，得，
解得或（不合题意）．