2023-2024学年度高一秋季A版第7讲：恒成立与存在性问题(讲义+课后测+答案）

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第7讲：恒成立与存在性问题 【重要考点目录】模块1：恒成立问题模块2：存在性问题模块3：综合题型【重要考点讲解】模块1：恒成立问题【知识精讲】1．，均有恒成立，则；2．，均有恒成立，则；3．，均有恒成立，则，；4．，均有恒成立，则，；5．，，均有恒成立，则；6．，，均有恒成立，则．【典例精讲】例题1．若两个正实数，满足，且恒成立，则实数的最大值是　 　．【解答】解：，，当且仅当，即，时等号成立．要使恒成立，则，解得，则实数的最大值是8．故答案为：8．例题2．已知二次函数，为实数）（1）若时，且对，恒成立，求实数的取值范围；（2）若时，且对，，恒成立，求实数的取值范围；（3）对，时，恒成立，求的最小值．【解答】解：（1）二次函数，当时，，所以，即，所以函数化为，因为，恒成立，所以当时，二次函数的图象开口向上，对称轴为，若，则，函数在内有最小值为，解得，所以；若，则，函数在内单调递增，令，解得，所以；若，则，函数在内单调递减，令，解得，所以不存在；当时，二次函数的图象开口向下，对称轴为，函数在内单调递减，有最小值为，解得，所以的值不存在；综上，实数的取值范围是，；（2）时，，二次函数化为，对，，恒成立，即，解得，所以实数的取值范围是，；（3）对，时，恒成立，所以，解得；所以，当且仅当，即时取“”，所以的最小值为1．例题3．已知函数若对任意，，恒成立，则的范围为　　A．， B．， C． D．，【解答】解：由题意，可知：①当时，恒成立，即为：恒成立．即：恒成立．当时，，．可构造函数，．根据二次函数的知识，可知：在区间，上在处取得最大值，．恒成立．，即：．．②当时，恒成立，即为：恒成立．即：恒成立．当时，．．恒成立．．．综合①②，可得的取值范围为：，．故选：．例题4．若对任意，不等式恒成立，则实数的范围　　．【解答】解：时，恒成立；时，可化为，，，；时，可化为，，，．故答案为：．例题5．已知二次函数满足（2）．（1）设，，求的最小值；（2）若对，，恒成立，求实数的取值范围．【解答】解：（1）已知二次函数满足（2），则，即，即，因为，，所以，当且仅当，即时取等号，则的最小值为；（2）已知二次函数满足（2），可得，即，所以，则，又因为对，，恒成立，则恒成立，即对，恒成立，又因为当，时，，，故当时，对，恒成立，符合题意；当时，可知当或时，恒成立，则在上恒成立，令，，则，因为，则，所以，当且仅当，即时取等号，此时的最小值为，故，所以，又，所以．综上所述，实数的取值范围为．模块2：存在性问题【知识精讲】1．，使得成立，则；2．，使得成立，则；3．，使得成立，则，；4．，使得成立，则，；5．，，使得成立，则；6．，，使得成立，则．【典例精讲】例题6．当时，不等式有解，则实数的取值范围是　　A．， B．， C．， D．，【解答】解：根据题意，设，，则，当且仅当，即时等号成立，即有最小值3，若不等式有解，必有，即的取值范围为，；故选：．例题7．若关于的不等式在区间，上有解，则实数的取值范围为 　　．【解答】解：不等式在区间，上有解，不等式在区间，上有解，不等式在区间，上有解，令，，则，当时，，单调递减，不等式在区间，上有解，即，，故答案为：．例题8．已知函数，．（1）当，时，求的最小值；（2）若关于的不等式在，上有解，求实数的取值范围．【解答】解：（1）令，，，不妨设，，若，，，则，，，，在，是减函数．若，，，则，，．，在，是增函数．（3），（2），（9），；（2）要使在，上有解，则需恒成立．由（1）知，当时，，解得或；当时，，解得；当时，，解得；综上得或，因此，当时，不等式在，上有解．例题9．已知，，．（1）求的解析式；（2）已知，在上有解，求的取值范围．【解答】解：（1）①，，，用代替①中可得②，用代替①中可得③，联立①②③，解得，，；（2）由（1）得，，，，在上有解，转化为在上有解，即在上有解，，则，转化为在上有解，令，令，则，，，当且仅当，即时，等号成立，，故的取值范围为．模块3：综合题型【知识精讲】1．，，使得成立，则；2．，，使得成立，则；3．，，使得成立，则．【典例精讲】例题10．已知，函数，，若对于任意的，，总存在，，使得成立，则的取值为 　　．【解答】解：函数，因为，所以在，上是单调递增函数，所以的值域为，函数，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为9，又，（3），所以的最大值为13，故函数的值域为，，因为对于任意的，，总存在，，使得成立，所以，，则，解得，所以的取值为17．故答案为：17．例题11．已知函数，，，函数，，，对于任意，，总存在，，使得成立，则实数的取值范围是　　A．， B．， C．，， D．，，【解答】解：，，，对称轴为，开口向下，（1），即，即函数的值域为，，若任意，，总存在，，使得成立，则函数在，上值域是在，上值域的子集，即，①若，，此时，不满足条件．②当时，在，是增函数，，，即，，则，，③，在，是减函数，，，即，，，，综上，实数的取值范围是或．故选：．例题12．已知函数和函数，若对任意的，，总存在，，使得成立，则实数的取值范围是 　　．【解答】解：若对任意的，，总存在，，使得成立，则，函数在，上单调递增，（2），函数在，上单调递减，（1），则，解得，则实数的取值范围是．故答案为：．例题13．已知函数，．（1）当，时，求方程的解；（2）若方程在，上有实数根，求实数的取值范围；（3）当时，若对任意的，，总存在，，使成立，求实数的取值范围．【解答】解：（1）当，时，求方程化为，解得：或；（2）函数的对称轴是，在区间，上是减函数，函数在区间，上存在零点，则必有：，即，解得．故所求实数的取值范围为，；（3）若对任意的，，总存在，，使成立，只需函数的值域为函数的值域的子集．，，的值域为，，下面求的值域．①当时，为常数，不符合题意舍去；②当时，的值域为，，要使，，，需，解得；③当时，的值域为，，要使，，，需，解得．综上，的取值范围为，，．第7讲：恒成立与存在性问题课后巩固1．若对任意，，不等式恒成立，则的取值范围是 　　．【解答】解：，，，不等式恒成立，恒成立，，当且仅当，即时取等号，，即，故答案为：，．2．当时，不等式恒成立，则实数的取值范围为 　　．【解答】解：当时，，因此，当时，不等式恒成立，即恒成立，而当时，，当且仅当，即时取等号，于是得，所以实数的取值范围为．故答案为：．3．已知幂函数在上单调递增．（1）求的解析式；（2）若在，上恒成立，求实数的取值范围．【解答】解：（1）为幂函数，，解得：或；当时，在上单调递减，不合题意；当时，在上单调递增，符合题意；综上所述：．（2）由（1）得：在，上恒成立，在，上恒成立，当，时，，，解得：，即实数的取值范围为．4．已知关于的函数．（1）当时，求的解集；（2）若不等式对满足，的所有恒成立，求的取值范围．【解答】解：（1）时，函数，不等式为，即，解得或，所以不等式的解集为，，；（2）设（a），，，根据题意知，（a）在，上恒成立，①当时，解得，若，则（a）在，上单调递增，且（a），不合题意．若，则（a）在，上单调递减，且（a）（2），不合题意．②当，即时，（a）的图象为开口向下的抛物线，要使（a）在，上恒成立，需，即，解得，即或，又因为，所以此时无解．③当，即或时，（a）为开口向上的抛物线，其对称轴方程为，当，即时，（a）在，上单调递增，所以（a），解得或，因为，，所以此时无解．当，即或时，（a）在，上单调递减，在，上单调递增，所以（a），此时无解．当，即时，（a）在，上单调递减，所以（a）（2），解得或，因为，，此时无解．综上，的取值范围是．5．已知存在，，不等式有解，则实数的取值范围为 　　．【解答】解：由于，，分离参数后问题转化为：在，上有解，只需要，由基本不等式，当且仅当时，即取得等号，因为，，所以，所以实数的取值范围是．故答案为：．6．设函数是定义在上的奇函数，且．（1）求数，的值；（2）当，不等式有解，求实数的取值范围．【解答】解：（1）函数是定义在上的奇函数，且，可得，即，又（1），即，解得，即有，，可得为奇函数，所以；（2）当，不等式即为，设，则，由，，可得的最小值为4，最大值为10，所以的最大值为，则，即的取值范围是，．7．已知函数是定义在，的奇函数，则实数的值为 　　；若函数，如果对于，，，，使得，则实数的取值范围是 　　．【解答】解：由函数是定义在，的奇函数，可得，即；设在，的值域为，在，的值域为，对于，，，，使得，等价为．由为奇函数，可得，当时，，，，，所以在，的值域，；又在，递增，在，递减，可得的最小值为，最大值为，即有，．所以，且，解得，即有的取值范围是，．故答案为：0；，．8．设函数，．若对任意的，，存在，使得成立，则实数的取值范围为 　　．【解答】解：由题意可知，所以的最小值为2，所以存在，使得成立，假设对任意，都有成立，即，，从而有，，由于，当且仅当时取得等号，所以，从而当存在，使得成立时，，综上可得实数的取值范围为．故答案为：．9．已知函数．（1）求的值域；（2）设函数，，，若对于任意，，总存在，，使得成立，求实数的取值范围．【解答】解：（1）当时，由定义易证函数在上是减函数，此时；当时，；当时，在上是增函数，此时．的值域为．（2）①若，，对于任意，，，不存在，，使得成立．②若，在，上是增函数，，，任给，，，若存在，，使得成立，则，，．③若，在，上是减函数，，，若存在，，使成立，则．，．综上，实数的取值范围是，，．10．函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，给定函数．（1）求的对称中心；（2）已知函数同时满足：①是奇函数；②当，时，．若对任意的，，总存在，，使得，求实数的取值范围．【解答】解：（1），设的对称中心为，由题意得函数为奇函数，则为奇函数，则，即，整理得，，解得，，函数的对称中心为．（2）对任意的，，总存在，，使得，函数的值域是函数的值域的子集，函数在，上是增函数，的值域为，，设函数的值域为集合，函数是奇函数，函数关于对称，（1），函数恒过定点，当，即，在，上递增，则函数在，上是增函数，函数在，上递增，又，（2），的值域为，，即，，又，，，且，解得，当，即时，在上递增，在，上递减，此时（2），，，，要使，，只需要，解得，当，即时，在，上单调递减，则函数在，上也是减函数，函数在，上是减函数，则，，，，解得．综上所求，实数的取值范围是，．