2024年高考数学专题训练专题七 平面向量（学生版）+解析

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【2023年真题】
1.（2023·新课标I卷 第3题）已知向量，若，则( )
A. B. C. D.
2. （2023·新课标 = 2 \* ROMAN II卷 第13题）已知向量，满足，，则__________
3. （2023·新课标I卷 第17题）已知在中，，
求；
设，求AB边上的高.
4. （2023·新课标 = 2 \* ROMAN II卷 第17题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知面积为，D为BC的中点，且
若，求；
若，求b，
【2022年真题】
5.（2022·新高考I卷 第3题）在中，点D在边AB上，记，，则( )
A. B. C. D.
6.（2022·新高考II卷 第4题）已知向量，，，若，则实数( )
A. B. C. 5D. 6
7.（2022·新高考I卷 第18题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知
若，求
求的最小值.
8.（2022·新高考II卷 第18题）记的三个内角分别为A，B，C，其对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为，，，且，
求的面积;
若，求
【2021年真题】
9.（2021·新高考I卷 第10题）（多选）已知O为坐标原点，点，，，，则( )
A. B.
C. D.
10.（2021·新高考I卷 第19题 ）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，已知，点D在边AC上，
证明：
若，求
11.（2021·新高考II卷 第15题）已知向量，，__________.
12.（2021·新高考II卷 第18题）在中，角所对的边长分别为
若，求的面积；
是否存在正整数a，使得为钝角三角形？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．

【2020年真题】
13.（2020·新高考I卷 第7题）已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则的取值范围是 ( )
A. B. C. D.
14.（2020·新高考II卷 第3题）在中，D是AB边上的中点，则( )
A. B. C. D.
15.（2020·新高考I卷 第17题、II卷 第17题）)在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c的值;若问题中的三角形不存在，说明理由.
问题：是否存在，它的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，__________?
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
【答案解析】
1.（2023·新课标I卷 第3题）
解：，所以故选
2. （2023·新课标 = 2 \* ROMAN II卷 第13题）
解：将原式平方：
化简可得：
即，故
3. （2023·新课标I卷 第17题）
解：，，解得
可化为，
即，
展开得：，整理得，
将代入，得，
，
由知，，，
又，，
边上的高
4. （2023·新课标 = 2 \* ROMAN II卷 第17题）
解：，D为BC的中点，
，即，解得，则
过点A作于点E，则在中，，，
在中，，
在中，，
，
，即，
又，，
，
，，
再将代入，即可解得
【2022年真题】
5.（2022·新高考I卷 第3题）
解：，
6.（2022·新高考II卷 第4题）
解：由已知有，，，，
故，
解得
7.（2022·新高考I卷 第18题）
解：，且，
，，
又A，，，
又，，
由正弦定理，
得，
，令，
则，，
在时递减，在时递增，
因此时，
8.（2022·新高考II卷 第18题）
解：边长为a的正三角形的面积为，
，即，
由得：，，
故
由正弦定理得：，故
9.（2021·新高考I卷 第10题）（多选）
解：根据题意，依次分析选项：
对于A、，A正确；
对于B、，
，B不正确；
对于C、，
，C正确；
对于D、，，D不正确；
故选
10.（2021·新高考I卷 第19题 ）
证明：，，
由正弦定理可知，得，
，
又，
解：，可知，则，
在中，，
在中，，
，，
即，整理得，
又，则，
即，可得或，
当时，，
在中，由余弦定理可得，
当时，，此时，不合实际，则舍去，
故：
11.（2021·新高考II卷 第15题）
解：由已知可得
，
因此，
故答案为：
12.（2021·新高考II卷 第18题）
解：因为，
根据正弦定理可知，
则，故，，
，
所以C为锐角，则，
因此，
显然，若为钝角三角形，则C为钝角，
由余弦定理可得，
又，则，即，
解得，则，
由三角形三边关系可得，可得，
，故
13.（2020·新高考I卷 第7题）
解：
由投影定义知，当点P与点F重合时，
取最小值
当点P与点C重合时，取最大值
故的取值范围是
故选
14.（2020·新高考II卷 第3题）
解：在中，D是AB边上的中点，
则
故选：
15.（2020·新高考I卷 第17题、II卷 第17题）
解： ，由正弦定理得 ，
，由余弦定理得： ，
化简得 ；
假设三角形存在，
若选①，有，则有，则
故存在满足题意的三角形，
若选②，有，
则有，
则 ，故 ，
故存在满足题意的三角形，
若选③，有，由题意有 ，则有，这和矛盾，
故不存在满足题意的三角形.
真题卷
题号
考点
考向
2023新课标1卷
3
向量的数量积
向量数量积的坐标运算
17
解三角形
正、余弦定理解三角形
2023新课标2卷
13
向量的数量积
利用向量数量积求模长
17
解三角形
解三角形的综合应用
2022新高考1卷
3
平面向量的线性运算
向量的加减及数乘运算
18
解三角形
正弦定理变形、三角恒等变形
2022新高考2卷
4
向量的数量积
向量数量积的坐标运算
18
解三角形
正余弦定理解三角形
2021新高考1卷
10
向量的坐标运算
求向量的模、向量数量积的坐标运算
19
解三角形
正、余弦定理解三角形
2021新高考2卷
15
向量的数量积
向量数量积的运算
18
解三角形
正弦定理解三角形、余弦定理判断三角形的形状
2020新高考1卷
7
向量的数量积
求向量数量积的取值范围
17
解三角形
正、余弦定理解三角形
2020新高考2卷
3
向量的线性运算
向量的加、减法运算
17
解三角形
正、余弦定理解三角形