2024年高考数学专题训练专题三 函数（学生版）+解析

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【2023年真题】
1.（2023·新课标I卷 第4题） 设函数在区间单调递减，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查复合函数的单调性，为较易题.
【解答】
解：结合复合函数单调性的性质，易得，所以a的取值范围是故选
2.（2023·新课标 = 2 \* ROMAN II卷 第4题）若为偶函数，则( )
A. B. 0C. D. 1
【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查利用函数的奇偶性求解函数的解析式，为基础题.
【解答】
解：为偶函数，，，，故选
3.（2023·新课标 = 1 \* ROMAN I卷 第10题）（多选） 噪声污染问题越来越受到重视，用声压级来度量声音的强弱，定义声压级，其中常数是听觉下限阈值，p是实际声压下表为不同声源的声压级：
已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10m处测得实际声压分别为，，，则( )
A. B. C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】
本题考查了对数函数的实际应用，属于中档题.
利用公式声压级公式结合每种汽车声压级范围计算即可逐项判断.
【解答】
解：，，，所以A正确
，，，所以B错误
，，所以C正确
，，，所以D正确．
故选ACD
4. （2023·新课标 = 1 \* ROMAN I卷 第11题）（多选）已知函数的定义域为，，则( )
A. B.
C. 是偶函数D. 为的极小值点
【答案】ABC
【解析】
【分析】
本题主要考查抽象函数的奇偶性、函数的极值点，属中档题.
通过赋值法，可判断ABC选项.对于D选项可设常函数 ，进行排除.
【解答】
解：选项A，令，则，则，故A正确;
选项B，令，则，则，故B正确;
选项C，令，则，则，
再令，则，即，故C正确;
选项D，不妨设为常函数，且满足原题，而常函数没有极值点，故D错误.
故选：
【2022年真题】
5.（2022·新高考I卷 第12题）（多选）已知函数及其导函数的定义域为R，记若，均为偶函数，则( )
A. B. C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】
本题主要考查导函数与原函数的关系，函数的对称性及奇偶性，属于难题.利用函数的奇偶性及周期性，导函数与原函数的关系逐项分析即可.
【解答】
解：由为偶函数可知关于直线对称，
由为偶函数可知关于直线对称，
结合，根据关于直线对称可知关于点对称，
根据关于直线对称可知：关于点对称，
综上，函数与均是周期为2的周期函数，所以有，所以A不正确;
，，，故，所以C正确.
，，所以B正确;
又，所以，所以D不正确.
6.（2022·新高考II卷 第8题）若函数的定义域为R，且，，则( )
A. B. C. 0D. 1
【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查函数性质的应用，涉及函数的周期与赋值法的应用。
【解答】
解：令得
故，，
消去和得到，故周期为
令，得，
，
，
，
，
，
故
即
【2021年真题】
7.（2021·新高考I卷 第13题）已知函数是偶函数，则__________.
【答案】1
【解析】
【分析】
本题考查函数的奇偶性，属于基础题.
利用即可求出a的值.
【解答】
解：函数是偶函数；
，
化简可得，
解得，故答案为
8.（2021·新高考II卷 第7题）已知，，，则下列判断正确的是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查了对数的单调性与大小比较，合理转化是关键.
利用对数函数的单调性可比较a、b与c的大小关系，由此可得出结论.
【解答】
解：，
即
故选
9.（2021·新高考II卷 第8题）设函数的定义域为R，且为偶函数，为奇函数，则 ( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
本题是对函数奇偶性和周期性的综合考查.
推导出函数是以4为周期的周期函数，由已知条件得出，结合已知条件可得出结论.
【解答】
解：因为函数为偶函数，则，可得，
因为函数为奇函数，则，所以，
所以，，即，
故函数是以4为周期的周期函数，
因为函数为奇函数，则，
故，其它三个选项未知.
故选
10.（2021·新高考II卷 第14题）写出一个同时具有下列性质①②③的函数：_________.
①；②当时，；③是奇函数．
【答案】
答案不唯一，均满足
【解析】
【分析】
本题是开放性问题，合理分析所给条件找出合适的函数是关键，属于中档题.
根据幂函数的性质可得所求的
【解答】
解：取，则，满足①，
，时有，满足②，
的定义域为R，
又，故是奇函数，满足③.
故答案为：答案不唯一，均满足
【2020年真题】
11.（2020·新高考I卷 第6题）基本再生数与世代间隔T是新冠肺炎流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：描述累计感染病例数随时间单位：天的变化规律，指数增长率 r与，T近似满足有学者基于已有数据估计出，据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为( )
A. 天B. 天C. 天D. 天
【答案】B
【解析】
【分析】
本题结合实际问题考查指数对数化简求值，属于中档题.
根据题意，先将，代入，求得r，再由题意即可求解.
【解答】
解：将，代入，
得，
由得，
当增加1倍时，，
所需时间为
故选
12.（2020·新高考I卷、II卷 第8题）若定义在R上的奇函数在单调递减，且，则满足的x的取值范围是( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查函数奇偶性和单调性的应用，考查运算求解及逻辑推理能力，属于一般题.
根据题意，不等式可化为 或，从而利用奇函数性质及函数的单调性求解即可.
【解答】
解：根据题意，不等式可化为 或，
由奇函数性质得，在上单调递减，
所以或，
解得或
满足的x的取值范围是
故选
13.（2020·新高考II卷 第7题）已知函数在上单调递增，则a的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查复合函数单调性的求法，属于中档题．
由对数式的真数大于0求得函数的定义域，令，由外层函数是其定义域内的增函数，结合复合函数的单调性可知，要使函数在上单调递增，需内层函数在上单调递增且恒大于0，转化为，即可得到a的范围．
【解答】
解：由，得或
令，
外层函数是其定义域内的增函数，
要使函数在上单调递增，
则需内层函数在上单调递增且恒大于0，
则，即
的取值范围是
故选：
14.（2020·新高考I卷 第12题）（多选）信息熵是信息论中的一个重要概念.设随机变量X所有可能的取值为1，2，，n，且，，定义X的信息熵( )
A. 若，则
B. 若，则随着的增大而增大
C. 若=，，则随着n的增大而增大
D. 若，随机变量Y的所有可能取值为1，2，，m，且+，，则
【答案】AC
【解析】
【分析】
本题以信息熵的定义为载体，涉及了对数运算，利用导数研究函数的单调性，作差法的运用等，旨在考查学生接收新知识，运用新知识的意识，考查化简变形、运算求解能力，属于难题．
对于A选项，求得，由此判断出A选项的正确性；对于B选项，利用特殊值法进行排除；对于C选项，计算出，利用对数函数的性质可判断出C选项的正确性；对于D选项，计算出，利用基本不等式和对数函数的性质判断出D选项的正确性.
【解答】
解：A选项中，由题意知，此时，故A正确；
B选项中，由题意知，且，
，
设， ，
则，
当时，，当时，，
故当 时，随着的增大而增大，
当 时，随着的增大而减小，故B错误；
C选项中，由题意知，
故随着n的增大而增大，故C正确；
D选项中，由题意知，
，



故D错误.
故答案为：
真题卷
题号
考点
考向
2023新课标1卷
4
函数的基本性质
复合函数的单调性、已知函数单调性求参
10
对数运算、对数函数
对数运算、对数函数解决实际问题
11
函数的基本性质、函数的极值
抽象函数的奇偶性、求抽象函数的函数值、极值点定义
2023新课标2卷
4
函数的基本性质
利用奇偶性求参
2022新高考1卷
12
函数的基本性质
对称性、周期性的综合应用
2022新高考2卷
8
函数的基本性质
奇偶性、周期性的综合应用
2021新高考1卷
13
函数的基本性质
利用奇偶性求参
2021新高考2卷
7
比较大小
利用对数函数的单调性比较大小
8
函数的基本性质
奇偶性、周期性的综合应用
14
函数的基本性质
基本初等函数的性质
2020新高考1卷
6
指数运算、对数运算
指数、对数运算解决实际问题
8
函数的基本性质
单调性、奇偶性的综合应用
2020新高考2卷
7
函数的单调性与最值
利用单调性求参数的取值范围
8
函数的基本性质
单调性、奇偶性的综合应用
12
对数函数
新定义问题、对数运算、对数函数的性质、不等式的性质
声源
与声源的距离
声压级
燃油汽车
10
混合动力汽车
10
电动汽车
10
40