2024年高考数学专题训练专题四 导数及其应用（学生版）+解析

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【2023年真题】
1. （2023·新高考 = 2 \* ROMAN II卷 第6题） 已知函数在区间单调递增，则a的最小值为（ ）
A. B. eC. D.
2.（2023·新课标I卷 第11题）（多选） 已知函数的定义域为R，，则（ ）
A. B.
C. 是偶函数D. 为的极小值点
3.（2023·新课标 = 2 \* ROMAN II卷 第11题）（多选）若函数既有极大值也有极小值，则( )
A. B. C. D.
4. （2023·新课标I卷 第19题） 已知函数
讨论的单调性；
证明：当时，
5.（2023·新高考 = 2 \* ROMAN II卷 第22题）证明：当时，；
已知函数，若是的极大值点，求a的取值范围.
【2022年真题】
6.（2022·新高考I卷 第7题）设，，，则( )
A. B. C. D.
7.（2022·新高考I卷 第10题）（多选）已知函数，则( )
A. 有两个极值点B. 有三个零点
C. 点是曲线的对称中心D. 直线是曲线的切线
8.（2022·新高考I卷 第15题）若曲线有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是__________.
9.（2022·新高考II卷 第15题）曲线经过坐标原点的两条切线方程分别为__________，__________.
10.（2022·新高考I卷 第22题）已知函数和有相同的最小值.
求；
证明：存在直线，其与两条曲线和共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列.
11.（2022·新高考II卷 第22题）已知函数
当时，讨论的单调性;
当时，，求实数a的取值范围;
设，证明：
【2021年真题】
12.（2021·新高考I卷 第7题）若过点可以作曲线的两条切线，则( )
A. B. C. D.
13.（2021·新高考I卷 第15题）函数的最小值为__________.
14.（2021·新高考II卷 第16题）已知函数，函数的图象在点和点的两条切线互相垂直，且分别交y轴于M，N两点，则取值范围是__________.
15.（2021·新高考I卷 第22题）已知函数
讨论的单调性.
设a，b为两个不相等的正数，且，证明：
16.（2021·新高考II卷 第22题）已知函数
讨论的单调性；
从下面两个条件中选一个，证明：有一个零点.
①；
②
【2020年真题】
17.（2020·新高考I卷 第21题、II卷 第22题）已知函数
当时，求曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积;
若，求a的取值范围.
【答案解析】
1. （2023·新高考 = 2 \* ROMAN II卷 第6题）
解：由题意，对恒成立，
，由于在单调递减，
，
故答案选：
2.（2023·新课标I卷 第11题）（多选）
解：选项A，令，则，则，故A正确;
选项B，令，则，则，故B正确;
选项C，令，则，则，
再令，则，即，故C正确;
选项D，不妨设为常函数，且满足原题，
而常函数没有极值点，故D错误.
故选：
3.（2023·新课标 = 2 \* ROMAN II卷 第11题）（多选）
解：因为，所以定义域为，
得，由题意知有两个不相等的正解
则，易得
故选
4. （2023·新课标I卷 第19题）
解：，
当时，在单调递减，
当时，，在单调递减，
当时，令，，时，，单调递减.
时，单调递增，
故当时在单调递减，
当时，在区间单调递减，在区间单调递增.
由知当时，在区间单调递减，
在区间单调递增.故，
令，
，令，
因为，故，
在区间单调递减，在区间单调递增，
，即恒成立，
即，即当时，
5.（2023·新高考 = 2 \* ROMAN II卷 第22题）
证明：构造函数，
则，
令，
则，
所以在上单调递增，则，
所以在上单调递增，所以，即；
构造函数，则，
所以在上单调递增，则，即，
综上，当时，；
解：由，得函数的定义域为
又，所以是偶函数，所以只需考虑区间
，
令，则，
其中，
①若，记时，易知存在，使得时，，在上递增，，
在上递增，这与是的极大值点矛盾，舍去.
②若，记或时，存在，使得时，，在上递减，
注意到，当时，当时，，
满足是的极大值点，符合题意.
③若，即时，由为偶函数，只需考虑的情形.
此时，时，
，在上递增，
这与是的极大值点矛盾，舍去.
综上：a的取值范围为
6.（2022·新高考I卷 第7题）
解：，，，
①，
令
则，
故在上单调递减，
可得，即，所以；
②，
令
则，
令，所以，
所以在上单调递增，可得，即，
所以在上单调递增，可得，即，所以
故
7.（2022·新高考I卷 第10题）（多选）
解：，令得：，
或；，
所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
所以有两个极值点为极大值点，为极小值点，故A正确;
又，，
所以仅有1个零点如图所示，故B错;
又，所以关于对称，故C正确;
对于D选项，设切点，在P处的切线为，
即，
若是其切线，则，方程组无解，所以D错.
8.（2022·新高考I卷 第15题）
解：，设切点为，
故，
即
由题意可得，方程在上有两个不相等的实数根.
化简得，，，解得或，显然此时0不是根，故满足题意.
9.（2022·新高考II卷 第15题）
解：当时，点上的切线为
若该切线经过原点，则，解得，
此的切线方程为
当时，点上的切线为
若该切线经过原点，则，解得，
此时切线方程为
10.（2022·新高考I卷 第22题）
解：由题知，，
①当时，，，，则两函数均无最小值，不符题意;
②当时，在单调递减，在单调递增；
在单调递减，在单调递增；
故，，
所以，即，
令，则，
则在单调递增，又，所以
由知，，，
且在上单调递减，在上单调递增；
在上单调递减，在上单调递增，且
①时，此时，显然与两条曲线和
共有0个交点，不符合题意；
②时，此时，
故与两条曲线和共有2个交点，交点的横坐标分别为0和1；
③时，首先，证明与曲线有2个交点，
即证明有2个零点，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
又因为，，，
令，则，
所以在上存在且只存在1个零点，设为，在上存在且只存在1个零点，设为
其次，证明与曲线和有2个交点，
即证明有2个零点，，
所以上单调递减，在上单调递增，
又因为，，，
令，则，
所以在上存在且只存在1个零点，设为，在上存在且只存在1个零点，设为
再次，证明存在b，使得
因为，所以，
若，则，即，
所以只需证明在上有解即可，
即在上有零点，
因为，，
所以在上存在零点，取一零点为，令即可，
此时取
则此时存在直线，其与两条曲线和共有三个不同的交点，
最后证明，即从左到右的三个交点的横坐标成等差数列，
因为
所以，
又因为在上单调递减，，即，所以，
同理，因为，
又因为在上单调递增，即，，所以，
又因为，所以，
即直线与两条曲线和从左到右的三个交点的横坐标成等差数列.

11.（2022·新高考II卷 第22题）
解：
当时，，单调递减;
当时，，单调递增.
令对恒成立
又
令，则
①若，即，
所以使得当时，有单调递增，矛盾
②若，即时，
在上单调递减，
，符合题意.
综上所述，实数a的取值范围是
求导易得
令
即，证毕.
12.（2021·新高考I卷 第7题）
解：设切点为根据两点之间斜率和导数的几何意义，
易知，整理得：有两解，
令，
，易知最大值为
即，
解得，
又因为当x趋近正无穷时，
当x趋近负无穷时，趋近，则
综上，
故选
13.（2021·新高考I卷 第15题）
解：已知函数，易知函数定义域为，
① ：当时，，
所以，在单调递减，
② 当时，，所以，
所以在单调递减，在单调递增，
又因为，所以最小值为
故答案为
14.（2021·新高考II卷 第16题）
解：由题意，，则，
所以点和点，，
所以，
所以，
所以，
同理，
所以
故答案为：
15.（2021·新高考I卷 第22题）
解：的定义域为 ，
，
由解得，
由解得，
在上单调递增，在上单调递减；
证明：由可得，
整理得：，即，
不妨设，且，
即，即证明，
由在上单调递增，在上单调递减，且，
可得，
先证明，
令，，
，
在上单调递增，
又，
，
，即，
由可知在上单调递减，
，即；
下面再证明，
不妨设 则，由可得
，化简 ，
要证，即证，即证，
即证，即证，
设，，
，
令，，
，
，
在上单调递减，
，
，
在上单调递减，
，即，
，
故
16.（2021·新高考II卷 第22题）
解：由函数的解析式可得：，
当时，若，则单调递减，
若，则单调递增；
当时，若，则单调递增，
若，则单调递减，
若，则单调递增；
当时，在R上单调递增；
当时，若，则单调递增，
若，则单调递减，
若，则单调递增；
若选择条件①：
由于，故，则，
又，
由可知函数在区间上单调递增，故函数在区间上有一个零点.
，
由于，故，
结合函数的单调性可知函数在区间上没有零点.
综上可得，有一个零点.
若选择条件②：
由于，故，则，
当时，，，
而函数在区间上单调递增，故函数在区间上有一个零点.
当时，构造函数，则，
当时，单调递减，
当时，单调递增，
注意到，故恒成立，从而有：，此时：
，
当时，，
取，则，
即：，
而函数在区间上单调递增，故函数在区间上有一个零点.
，
由于，，故，
结合函数的单调性可知函数在区间上没有零点.
综上可得，有一个零点.
17.（2020·新高考I卷 第21题、II卷 第22题）
解：当，，
，
所以切线方程为：，
即，
所以切线在y轴上的截距为，在x轴上的截距为，
所以三角形的面积
，
要使，只需，
即，
即，
令，，单调递增，
故只需，
因为为增函数，
只需证，
即，
设，
，
所以在上单调递增，在上单调递减，
，
所以，，
即a的取值范围为
真题卷
题号
考点
考向
2023新课标1卷
11
函数的极值
极值点的定义
19
导数的应用
利用导数研究函数单调性、利用导数研究不等式证明问题
2023新课标2卷
6
导数的应用
利用导数研究函数单调性
11
导数的应用
利用导数研究极值问题
22
导数的应用
利用导数研究不等式证明问题、已知极值点求参
2022新高考1卷
7
比较大小
利用导数比较大小
10
三次函数
极值点、零点问题、函数的对称性、导数的几何意义
15
导数的几何意义
已知切线条数求参数的取值范围
22
导数的应用
利用导数求函数的最值、利用导数研究零点问题
2022新高考2卷
14
导数的几何意义
求切线方程
22
导数的应用
利用导数研究函数单调性、利用导数研究恒成立问题与不等式证明问题
2021新高考1卷
7
导数的几何意义
已知切线条数求参数的取值范围
15
函数的最值
利用导数求函数的最值
22
导数的应用
利用导数研究函数单调性、利用导数研究不等式
2021新高考2卷
16
导数的几何意义
已知切线位置关系求参数的取值范围
22
导数的应用
利用导数研究函数单调性、利用导数研究不等式
2020新高考1卷
21
导数的几何意义、导数的应用
求函数的切线方程、利用导数研究恒成立问题
2020新高考2卷
22
导数的几何意义、导数的应用
求函数的切线方程、利用导数研究恒成立问题