专题1.1有理数的有关概念12大考点精讲精练（知识梳理+典例剖析+变式训练）-2023-2024学年七年级数学上学期专题复习（苏科版）

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（知识梳理+典例剖析+变式训练）
【目标导航】
【知识梳理】
一、正数和负数
1、在以前学过的0以外的数叫做正数，在正数前面加负号“-”，叫做负数，一个数前面的“+”“-”号叫做它的符号．
2、0既不是正数也不是负数．0是正负数的分界点，正数是大于0的数，负数是小于0的数．
3、用正负数表示两种具有相反意义的量．具有相反意义的量都是互相依存的两个量，它包含两个要素，一是它们的意义相反，二是它们都是数量．
二、有理数与无理数
1、有理数的概念：整数和分数统称为有理数．
2、如果一个数是小数，它是否属于有理数，就看它是否能化成分数的形式，所有的有限小数和无限循环小数都可以化成分数的形式，因而属于有理数，而无限不循环小数，不能化成分数形式，因而不属于有理数．
3、（1）、定义：无限不循环小数叫做无理数．
说明：无理数是实数中不能精确地表示为两个整数之比的数，即无限不循环小数． 如圆周率、2的平方根等．
（2）、无理数与有理数的区别：
①把有理数和无理数都写成小数形式时，有理数能写成有限小数和无限循环小数，
比如4=4.0，13=0.33333…而无理数只能写成无限不循环小数，比如2=1.414213562．
②所有的有理数都可以写成两个整数之比；而无理数不能．
三、数轴
（1）数轴的概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴．
数轴的三要素：原点，单位长度，正方向．
（2）数轴上的点：所有的有理数都可以用数轴上的点表示，但数轴上的点不都表示有理数．（一般取右方向为正方向，数轴上的点对应任意实数，包括无理数．）
（3）用数轴比较大小：一般来说，当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大．
四、相反数
（1）相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数．
（2）相反数的意义：掌握相反数是成对出现的，不能单独存在，从数轴上看，除0外，互为相反数的两个数，它们分别在原点两旁且到原点距离相等．
（3）多重符号的化简：与“+”个数无关，有奇数个“-”号结果为负，有偶数个“-”号，结果为正．
（4）规律方法总结：求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加“-”，如a的相反数是-a，m+n的相反数是-（m+n），这时m+n是一个整体，在整体前面添负号时，要用小括号．
五、绝对值
（1）概念：数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值．
①互为相反数的两个数绝对值相等；
②绝对值等于一个正数的数有两个，绝对值等于0的数有一个，没有绝对值等于负数的数．
③有理数的绝对值都是非负数．
（2）如果用字母a表示有理数，则数a 绝对值要由字母a本身的取值来确定：
①当a是正数时，a的绝对值是它本身a；
②当a是负数时，a的绝对值是它的相反数-a；
③当a是零时，a的绝对值是零．
（3）绝对值的非负性
任意一个数的绝对值都是非负数，当几个数或式的绝对值相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0．
根据上述的性质可列出方程求出未知数的值．
六、科学记数法
（1）科学记数法：把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法．【科学记数法形式：a×10n，其中1≤a＜10，n为正整数．】
（2）规律方法总结：
①科学记数法中a的要求和10的指数n的表示规律为关键，由于10的指数比原来的整数位数少1；按此规律，先数一下原数的整数位数，即可求出10的指数n．
②记数法要求是大于10的数可用科学记数法表示，实质上绝对值大于10的负数同样可用此法表示，只是前面多一个负号．
【典例剖析】
【考点1】数学与生活
【例1】（2022·江苏泰州·七年级期末）下列所给数据中，能反映出一瓶矿泉水重量的是（ ）．
A．500毫克B．500克C．500千克D．500吨
【变式1.1】（2022·江苏·七年级专题练习）下列人或物中，质量最接近1吨的是（ ）
A．1000枚1元硬币B．25名小学生
C．5000个鸡蛋D．10辆家用轿车
【变式1.2】（2022·江苏·七年级）如图，“英寸”是电视机常用尺寸，1英寸约为大拇指第一节的长，则9英寸长相当于（ ）
A．一支粉笔的长度B．课桌的长度C．黑板的宽度D．数学课本的宽度
【变式1.3】（2022·江苏·七年级）下面四位数学家里有三位对π进行了深入的研究，其中有一位研究方向在其他方面，这位数学家是( )
A．祖冲之B．张衡C．刘徽D．杨辉
【考点2】正数和负数
【例2】（2022·江苏·七年级专题练习）当我们把其中一种意义的量规定为正，用正数表示，则与它具有相反意义的量直接可以用负数表示．例：中国人很早开始使用负数，中国古代数学著作《九章算术》的“方程”一章，在世界数学史上首次正式引入负数．如果收入100元记作+100元．那么﹣80元表示（ ）
A．支出20元B．收入20元C．支出80元D．收入80元
【变式2.1】（2022·江苏·七年级专题练习）规定：（↑30）表示零上30°C，记作+30，（↓5）表示零下5°C，记作（ ）
A．+5B．−5C．+15D．−15
【变式2.2】（2022·江苏南通·七年级期末）规定：(→2)表示向右移动2，记作＋2，则(←5)表示向左移动5，记作（ ）
A．＋5B．－5C．15D．－15
【变式2.3】（2022·江苏·七年级专题练习）在－3，36，＋25，－0.01，0，−34中，负数的个数为（ ）
A．2个B．3个C．3个D．4个
【考点3】有理数与无理数
【例3】（2022·江苏·泰州市姜堰区南苑学校七年级）下列说法正确的是（ ）
A．整数包括正整数和负整数B．零是整数，但它既不是正数，也不是负数
C．分数包括正分数、负分数和零D．一个数不是正数就是负数
【变式3.1】（2022·江苏·泰州市姜堰区南苑学校七年级）下列各数中，是无理数的是（ ）
A．−2B．1.6C．1.010010001D．2π
【变式3.2】（2022·江苏·七年级专题练习）下列数中既是分数又是负数的是（ ）
A．5.2B．0C．﹣2D．﹣2.5
【变式3.3】（2022·江苏·七年级专题练习）在-0.8、3.5、23、0、π2、3.01001001…（每两个1之间0的个数逐次增加1）中，有理数的个数共有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【考点4】数轴
【例4】（2022·江苏·泰州市姜堰区南苑学校七年级）数轴上表示整数的点称为整点，某数轴的单位长度为1cm，若在数轴上画出一条长2007cm的线段AB，则AB盖住的整点个数是（ ）
A．2005或2006B．2006或2007C．2007或2008D．无法确定
【变式4.1】（2022·江苏·泰州市姜堰区南苑学校七年级）如图，数轴上点M所表示的数可能是（ ）
A．1.5B．−1.6C．−2.6D．−3.4
【变式4.2】（2022·江苏·七年级专题练习）如图，数轴上点D对应的数为d，则数轴上与数﹣3d对应的点可能是（ ）
A．点AB．点BC．点DD．点E
【变式4.3】（2021·江苏·南通市海门区中南中学七年级阶段练习）已知有理数a，b在数轴上的位置如图所示，则a，-b，-a，b从大到小的顺序为（ ）
A．b>−a>a>−bB．−a>−b>b>a
C．−b>a>−a>bD．b>a>−a>−b
【考点5】相反数
【例5】（2021·江苏·南通市东方中学七年级阶段练习）下列各对数中，互为相反数的是（ ）
A．+（﹣2）和﹣|﹣2|B．﹣5和﹣（﹣5）
C．+（﹣3）和﹣3D．﹣12和2
【变式5.1】（2022·江苏·七年级专题练习）下列各组数中，互为相反数的是（ ）
A．|+1|与|﹣1|B．﹣（﹣1）与1C．|﹣（﹣3）|与﹣|﹣3|D．﹣|+2|与+（﹣2）
【变式5.2】（2021·江苏·无锡市东林中学七年级期中）下列化简正确的是（ ）
A．+−2=2B．−−3=3C．++3=−3D．−+2=2
【变式5.3】（2022·江苏南京·七年级阶段练习）A，B是数轴上两点，线段AB上的点表示的数中，有互为相反数的是（ ）
A．B．C．D．
【考点6】绝对值
【例6】（2022·江苏扬州·七年级期末）已知a，b的位置如图，则b−a−a+b的值为（ ）
A．0B．－2bC．－2aD．2b－2a
【变式6.1】（2021·江苏泰州·七年级期末）−2021的绝对值是（ ）
A．2021B．−2021C．12021D．−12021
【变式6.2】（2022·江苏淮安·七年级期末）下列说法正确的是（ ）
A．任何数的绝对值都是正数B．如果两个数不等，那么这两个数的绝对值也不相等
C．任何一个数的绝对值都不是负数D．只有负数的绝对值是它的相反数
【变式6.3】（2021·江苏南通·七年级期中）现有四种说法：①−a表示负数；②若a0)0(x=0)−x(x