专题1.7平面图形的认识13大必考考点精讲精练（知识梳理+典例剖析+变式训练）-2023-2024学年七年级数学上学期专题复习（苏科版）

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专题1.7平面图形的认识13大必考考点精讲精练
（知识梳理+典例剖析+变式训练）
【目标导航】
【知识梳理】
1直线、射线、线段
（1）直线、射线、线段的表示方法
①直线：用一个小写字母表示，如：直线l，或用两个大写字母（直线上的）表示，如直线AB．
②射线：是直线的一部分，用一个小写字母表示，如：射线l；用两个大写字母表示，端点在前，如：射线OA．注意：用两个字母表示时，端点的字母放在前边．
③线段：线段是直线的一部分，用一个小写字母表示，如线段a；用两个表示端点的字母表示，如：线段AB（或线段BA）．
（2）点与直线的位置关系：①点经过直线，说明点在直线上；②点不经过直线，说明点在直线外．
2直线的性质：两点确定一条直线
（1）直线公理：经过两点有且只有一条直线． 简称：两点确定一条直线．
（2）经过一点的直线有无数条，过两点就唯一确定，过三点就不一定了．
3两点间的距离
（1）两点间的距离：连接两点间的线段的长度叫两点间的距离．
（2）平面上任意两点间都有一定距离，它指的是连接这两点的线段的长度，学习此概念时，注意强调最后的两个字“长度”，也就是说，它是一个量，有大小，区别于线段，线段是图形．线段的长度才是两点的距离．可以说画线段，但不能说画距离．
4角的概念
（1）角的定义：有公共端点是两条射线组成的图形叫做角，其中这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边．
（2）角的表示方法：角可以用一个大写字母表示，也可以用三个大写字母表示．其中顶点字母要写在中间，唯有在顶点处只有一个角的情况，才可用顶点处的一个字母来记这个角，否则分不清这个字母究竟表示哪个角．角还可以用一个希腊字母（如∠α，∠β，∠γ、…）表示，或用阿拉伯数字（∠1，∠2…）表示．
（3）平角、周角：角也可以看作是由一条射线绕它的端点旋转而形成的图形，当始边与终边成一条直线时形成平角，当始 边与终边旋转重合时，形成周角．
（4）角的度量：度、分、秒是常用的角的度量单位．1度=60分，即1°=60′，1分=60秒，即1′=60″．
（5）比较角的大小有两种方法：
①测量法，即用量角器量角的度数，角的度数越大，角越大．
②叠合法，即将两个角叠合在一起比较，使两个角的顶点及一边重合，观察另一边的位置．
5角的计算
（1）角的和差倍分
①∠AOB是∠AOC和∠BOC的和，记作：∠AOB=∠AOC+∠BOC．∠AOC是∠AOB和∠BOC的差，记作：∠AOC=∠AOB-∠BOC．②若射线OC是∠AOB的三等分线，则∠AOB=3∠BOC或∠BOC=13∠AOB．
（2）度、分、秒的加减运算．在进行度分秒的加减时，要将度与度，分与分，秒与秒相加减，分秒相加，逢60要进位，相减时，要借1化60．
（3）度、分、秒的乘除运算．①乘法：度、分、秒分别相乘，结果逢60要进位．②除法：度、分、秒分别去除，把每一次的余数化作下一级单位进一步去除．
6方向角
方向角是从正北或正南方向到目标方向所形成的小于90°的角
（1）方向角是表示方向的角；以正北，正南方向为基准，来描述物体所处的方向．
（2）用方向角描述方向时，通常以正北或正南方向为角的始边，以对象所处的射线为终边，故描述方向角时，一般先叙述北或南，再叙述偏东或偏西．（注意几个方向的角平分线按日常习惯，即东北，东南，西北，西南．）
（3）画方向角
以正南或正北方向作方向角的始边，另一边则表示对象所处的方向的射线．
7.余角与补角
（1）余角：如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角．即其中一个角是另一个角的余角．
（2）补角：如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角．即其中一个角是另一个角的补角．
（3）性质：等角的补角相等．等角的余角相等．
（4）余角和补角计算的应用，常常与等式的性质、等量代换相关联．
注意：余角（补角）与这两个角的位置没有关系．不论这两个角在哪儿，只要度数之和满足了定义，则它们就具备相应的关系．
8.对顶角与邻补角
（1）对顶角：有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角．
（2）邻补角：只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角．
（3）对顶角的性质：对顶角相等．
（4）邻补角的性质：邻补角互补，即和为180°．
（5）邻补角、对顶角成对出现，在相交直线中，一个角的邻补角有两个．邻补角、对顶角都是相对与两个角而言，是指的两个角的一种位置关系．它们都是在两直线相交的前提下形成的．
9.平行：
（1）平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．
（2）平行公理中要准确理解“有且只有”的含义．从作图的角度说，它是“能但只能画出一条”的意思．
（3）推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．
（4）平行公理的推论可以看做是平行线的一种判定方法，在解题中要注意该结论在证明直线平行时应用．
10.垂直：
（1）垂线的定义
当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足．
（2）垂线的性质
在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．
（3）垂线段：从直线外一点引一条直线的垂线，这点和垂足之间的线段叫做垂线段．
（4）点到直线的距离：直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．
【典例剖析】
【考点1】直线、射线、线段的认识
【例1】（2019年秋·东海县校级月考）如图，两条平行直线m，n上各有4个点和5个点．任选这9个点中的两个连一条直线，则一共可以连条直线（ ）
A．20B．36C．34D．22
【变式1.1】（2021·江苏·七年级专题练习）如图，下列说法正确的是（ ）
A．点O在线段AB上B．点B是直线AB的一个端点
C．射线OB和射线AB是同一条射线D．图中共有3条线段
【变式1.2】（2022·江苏·七年级专题练习）如图，有一种电子游戏，电子屏幕上有一条直线，在直线上有A，B，C，D四点，且AB＝BC＝CD，点P沿直线l从左向右移动，当出现点P与A，B，C，D四点中的至少两个点距离相等时，就会发出警报，则直线l上会发出警报的点P有（ ）
A．3个B．4个C．5个D．6个
【变式1.3】（2021·江苏·七年级专题练习）同一平面内有四条直线，最多有m个交点，最少有n个交点，那么m+2n＝（ ）
A．1B．6C．8D．4
【考点2】直线、线段的性质
【例2】（2019秋•雨花区期末）在墙壁上固定一根横放的木条，则至少需要钉子的枚数是（ ）
A．1枚B．2枚C．3枚D．任意枚
【变式2.1】（2022·江苏盐城·七年级期末）下列生活、生产现象：①用两个钉子就可以把木条固定在墙上；②从A地到B地架设电线，总是尽可能沿着线段架设；③植树时，只要定出两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线；④把弯曲的公路改直，就能缩短路程．其中可用“两点之间，线段最短”来解释的现象有（ ）
A．①②B．①③C．②④D．③④
【变式2.2】（2019·江苏·南通田家炳中学七年级阶段练习）观察图形，下列说法正确的个数是（ ）
（1）直线BA和直线AB是同一条直线；
（2）AB+BD＞AD；
（3）射线AC和射线AD是同一条射线；
（4）三条直线两两相交时，一定有三个交点
A．1个B．2个C．3个D．4个
【变式2.3】（2022·江苏·七年级专题练习）小亮准备从A地去往B地，打开导航、显示两地距离为37.7km，但导航提供的三条可选路线长却分别为45km，50km，51km（如图）．能解释这一现象的数学知识是（ ）
A．两点之间，线段最短B．垂线段最短
C．平行于同一直线的两直线平行D．两点确定一条直线
【考点3】线段的中点
【例3】（2019秋•沭阳县期末）已知点A、B、C、D在同一条直线上，线段AB＝8，C是AB的中点，DB＝1.5．则线段CD的长为（ ）
A．2.5B．3.5C．2.5或5.5D．3.5或5.5
【变式3.1】（2022·江苏·江阴市敔山湾实验学校七年级阶段练习）如图，已知B是线段AC上一点，M是线段AB的中点，N是线段AC的中点，P为AN的中点，Q为AM的中点，则BC：PQ等于（ ）
A．2B．3C．4D．5
【变式3.2】（2022·江苏扬州·七年级期末）已知点M在线段AB上，点N是线段MB的中点，若AN＝6，则AM+AB的值为（ ）
A．10B．8
C．12D．以上答案都不对
【变式3.3】（2022·江苏省南通中学附属实验学校七年级阶段练习）如图，已知A，B（B在A的左侧）是数轴上的两点，点A对应的数为4，且AB=6，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，在点P的运动过程中，M，N始终为AP，BP的中点，设运动时间为tt>0秒，则下列结论中正确的有（ ）
①B对应的数是2；②点P到达点B时，t=3；③BP=2时，t=2；④在点P的运动过程中，线段MN的长度不变．
A．①③④B．②③④C．②③D．②④
【考点4】线段的长短比较
【例4】（2019秋•路南区期末）下列说法不正确的是（ ）
A．若点C在线段BA的延长线上，则BA＝AC﹣BC
B．若点C在线段AB上，则AB＝AC+BC
C．若AC+BC＞AB，则点C一定在线段AB外
D．若A，B，C，三点不在一直线上，则AB＜AC+BC
【变式4.1】（2022·江苏南通·七年级期末）如图，A，B，C，D四点在同一直线上，点M是线段AB的中点，点N是线段CD的中点，MN=a，BC=b，则线段AD的长度可表示为（ ）
A．a+bB．a+2bC．2a﹣bD．2b﹣a
【变式4.2】（2021·江苏·七年级专题练习）如图，C是AB的中点，D是BC的中点，则下列等式中正确的是（ ）
①DB=3AD−2AB；②CD=13AB；③DB=2AD−AB；④CD=AD−CB．
A．①②B．③④C．①④D．②③
【变式4.3】（2022·江苏·七年级单元测试）点A、B、C在同一直线上，AB=10cm，AC=2cm，则BC=（ ）．
A．12cmB．8cmC．12cm或8cmD．以上均不对
【考点5】角的概念及表示
【例5】（2019秋•高邮市期末）下列四个图形中的∠1也可用∠AOB，∠O表示的是（ ）
A．B．
C．D．
【变式5.1】（2021·江苏·南通市北城中学七年级阶段练习）下列四个图形中，能用∠1，∠AOB，∠O三种方法表示同一个角的是（ ）
A．B．C．D．
【变式5.2】（2021·江苏·七年级专题练习）如图所示，与∠B不是同一个角的是（ ）
A．∠1B．∠ABCC．∠DBED．∠DAC
【变式5.3】（2021·江苏·七年级专题练习）下列说法中：（1）角的两边越长，角就越大；（2）∠AOB与∠BOA表示同一个角；（3）在角一边的延长线上取一点D；（4）角可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形．错误的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【考点6】度分秒的换算及角的大小比较
【例6】（2020秋•锦江区校级期末）杨老师到几何王国去散步，刚走到“角”的家门，就听到∠A、∠B、∠C在吵架，∠A说：“我是48°15′，我应该最大!”∠B说：“我是48.3°，我应该最大!”．∠C也不甘示弱：“我是48.15°，我应该和∠A一样大!”听到这里，杨老师对它们说：“别吵了，你们谁大谁小，由我来作评判!”，杨老师评判的结果是（ ）
A．∠A最大B．∠B最大C．∠C最大D．∠A＝∠C
【变式6.1】（2019·江苏·宿迁市钟吾初级中学七年级期末）下列各数中，正确的角度互化是（ ）
A．63.5°=63°50′B．23°12′36″=23.48°
C．18°18′18″=18.33°D．22.25°=22°15′
【变式6.2】（2020·江苏南通·七年级期末）如图，将一个三角板60°角的顶点与另一个三角板的直角顶点重合，∠1=27°40'，则∠2的度数是（ ）
A．27°40'B．62°20'
C．57°40'D．58°20'
【变式6.3】（2022·江苏·七年级专题练习）杨老师到几何王国去散步，刚走到“角”的家门，就听到∠A、∠B、∠C在吵架，∠A说：“我是30°15'，我应该最大!”∠B说：“我是30.3°，我应该最大!”．∠C也不甘示弱：“我是30.15°，我应该和∠A一样大!”听到这里，杨老师对它们说：“别吵了，你们谁大谁小，由我来作评判!”，杨老师评判的结果是（ ）
A．∠A最大B．∠B最大C．∠C最大D．∠A＝∠C
【考点7】角平分线
【例7】（2019秋•宿豫区期末）若射线OC在∠AOB的内部，则下列式子中：能判定射线OC是∠AOB的平分线的有（ ）
①∠AOC＝∠BOC，
②∠AOB＝2∠AOC，
③∠BOC=12∠AOB
④∠AOC+∠BOC＝∠AOB，
A．1个B．2个C．3个D．4个
【变式7.1】（2022·江苏·射阳县第六中学七年级期末）有下列说法：①射线AB与射线BA表示同一条直线；②若AB＝BC，则点B是线段AC的中点；③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；④两点之间，线段最短；⑤已知三条射线OA，OB，OC，若∠AOC=12∠AOB，则射线OC是∠AOB的平分线；⑥在同一平面内，两条不重合的直线的位置关系只有两种：相交或平行．其中正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【变式7.2】（2021·江苏·兴化市乐吾实验学校七年级阶段练习）如图，已知O为直线AB上一点，OC平分∠AOD，∠BOD=4∠DOE，∠COE=α则∠BOE的度数为（ ）
A．αB．150°−α
C．180°−2αD．270°−3α
【变式7.3】（2020·江苏·沭阳县修远中学七年级阶段练习）如图，OC是∠AOB内的一条射线，OD、OE分别平分∠AOB、∠AOC，若∠AOC=m°，∠BOC=n°，则∠DOE的大小为（ ）
A．(m2)∘B．(n2)∘C．(m+n2)∘D．(m−n2)∘
【考点8】平行与垂直
【例8】（2019秋•邗江区校级期末）点P为直线外一点，点A、B在直线l上，若PA＝4cm，PB＝5cm，则点P到直线l的距离是（ ）
A．4cmB．小于4cmC．不大于4cmD．5cm
【变式8.1】（2021·江苏·七年级专题练习）已知直线l1，l2，l3互相平行，直线l1与l2的距离是2cm，直线l2与l3的距离是5cm，那么直线l1与l3的距离是（ ）
A．3cm或7cmB．3cmC．5cmD．7cm
【变式8.2】（2022·江苏南京·七年级期末）如图，河道l的同侧有A，B两个村庄，计划铺设一条管道将河水引至A，B两地，下面的四个方案中，管道长度最短的是（ ）
A．B．C．D．
【变式8.3】（2022·江苏·七年级专题练习）在同一平面内，若∠A与∠B的两边分别垂直，且∠A比∠B的3倍少40°，则∠A的度数为（ ）
A．20°B．55°C．20°或125°D．20°或55°
【考点9】余角与补角
【例9】（2019秋•南京期末）如图所示，点O在直线AB上，∠COB＝∠EOD＝90°，那么下列说法错误的是（ ）
A．∠1与∠2相等B．∠AOE与∠2互余
C．∠AOE与∠COD互余D．∠AOC与∠COB互补
【变式9.1】（2022·江苏扬州·七年级期末）若钝角∠1与∠2互补，∠2与∠3互余，则∠1与∠3的关系满足（ ）
A．∠1﹣∠3＝90°B．∠1+∠3＝90°C．∠1+∠3＝180°D．∠1＝∠3
【变式9.2】（2022·江苏·七年级专题练习）下列关于余角、补角的说法，正确的是（ ）
A．若∠α＋∠β＝90°，则∠α与∠β互余
B．若∠1＋∠2＝90°，则∠1 与∠2 互补
C．若∠1＋∠2＋∠3＝90°，则∠1，∠2，∠3 互余
D．若∠α＋∠β＋∠γ＝180°，则∠α，∠β，∠γ互补
【变式9.3】（2021·江苏·七年级专题练习）将一副三角板按如图所示位置摆放，其中∠α与∠β一定互余的是（ ）
A．B．
C．D．
【考点10】对顶角与邻补角
【例10】（2018秋•兴化市期末）如图，要测量两堵围墙形成的∠AOB的度数，先分别延长AO、BO得到∠COD，然后通过测量∠COD的度数从而得到∠AOB的度数，其中运用的原理是（ ）
A．对顶角相等B．同角的余角相等
C．等角的余角相等D．垂线段最短
【变式10.1】（2021·江苏·七年级专题练习）下面的四个图形中，∠1与∠2是对顶角的是（ ）
A．B．
C．D．
【变式10.2】（2022·江苏无锡·七年级期末）如图，点O在直线AB上，∠AOC与∠BOD互余，∠AOD＝148°，则∠BOC的度数为（ ）
A．122°B．132°C．128°D．138°
【变式10.3】（2022·江苏·七年级单元测试）如图，点O是直线AB上的一点，若∠AOC=50°，AOD=13∠AOE，∠BOE=90°，下列正确的是（ ）
A．∠BOD=155°B．∠BOC=120°
C．∠DOE=60°D．∠AOD=25°
【考点11】方位角
【例11】（2019秋•姜堰区期末）如图，OA是北偏东30°方向的一条射线，若射线OB与OA垂直，则射线OB表示的方向是（ ）
A．东偏北30°B．东偏北60°C．北偏西30°D．北偏西60°
【变式11.1】（2022·江苏·七年级专题练习）如图，海上有两艘军舰A和B，由A测得B的方向是（ ）
A．北偏西30°B．北偏西60°C．南偏东30°D．南偏东60°
【变式11.2】（2022·江苏·七年级专题练习）如图，轮船A位于灯塔O的北偏西54°的方向，OB⊥OA，那么轮船B的方向是（ ）
A．南偏西46°B．北偏西36°C．南偏西36°D．南偏西54°
【变式11.3】（2022·江苏·扬州市梅岭中学七年级阶段练习）如图，甲从O点出发向北偏西27°方向走到点A，乙从点O出发向南偏东42°方向走到点B，则∠AOB的度数是_____．
【考点12】线段的综合计算问题
【例12】（2019秋•姜堰区期末）如图：A、B、C、D四点在同一直线上．
（1）若AB＝CD．
①比较线段的大小：AC BD（填“＞”、“＝”或“＜”）；
②若BC=34AC，且AC＝12cm，则AD的长为 cm；
（2）若线段AD被点B、C分成了3：4：5三部分，且AB的中点M和CD的中点N之间的距离是16cm，求AD的长．
【变式12.1】（2022·江苏·七年级专题练习）如图，点C在线段AB上，AC=6cm,CB=4cm，点M、N分别是AC、BC的中点．
(1)求线段MN的长；
(2)若C为线段AB上任一点，满足AC=acm,CB=bcm，点M、N分别是AC、BC的中点，猜想：MN= cm．
(3)若C在线段AB的延长线上，且满足AC=acm,CB=bcm(a>b)，点M、N分别为AC、BC的中点，猜想：MN= cm．
【变式12.2】（2022·江苏·七年级单元测试）如图，已知点C为线段AB上一点，AC=12cm，CB=8cm，D、E分别是AC、AB的中点．求：
(1)求AD的长度；
(2)求DE的长度；
(3)若M在直线AB上，且MB=6cm，求AM的长度．
【变式12.3】（2022·江苏·七年级专题练习）如图一，点C在线段AB上，图中有三条线段AB、AC和BC，若其中一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点C是线段AB的“巧点”．
(1)填空：线段的中点 这条线段的巧点（填“是”或“不是”或“不确定是”）
(2)（问题解决）如图二，点A和B在数轴上表示的数分别是−20和40，点C是线段AB的巧点，求点C在数轴上表示的数．
(3)（应用拓展）在（2）的条件下，动点P从点A处，以每秒2个单位的速度沿AB向点B匀速运动，同时动点Q从点B出发，以每秒4个单位的速度沿BA向点A匀速运动，当其中一点到达中点时，两个点运动同时停止，当A、P、Q三点中，其中一点恰好是另外两点为端点的线段的巧点时，直接写出运动时间t(s)的所有可能值．
【考点13】角的综合计算问题
【例13】（2019秋•栖霞区期末）一个问题解决往往经历发现猜想﹣﹣探索归纳﹣﹣问题解决的过程，下面结合一道几何题来体验一下．
【发现猜想】
如图①，已知∠AOB＝70°，∠AOD＝100°，OC为∠BOD的角平分线，则∠AOC的度数为 ；
【探索归纳】
如图①，∠AOB＝m，∠AOD＝n，OC为∠BOD的角平分线．猜想∠AOC的度数（用含m、n的代数式表示），并说明理由．
【问题解决】
如图②，若∠AOB＝20°，∠AOC＝90°，∠AOD＝120°．若射线OB绕点O以每秒20°逆时针旋转，射线OC绕点O以每秒10°顺时针旋转，射线OD绕点O每秒30°顺时针旋转，三条射线同时旋转，当一条射线与直线OA重合时，三条射线同时停止运动．运动几秒时，其中一条射线是另外两条射线夹角的角平分线？
【变式13.1】（2022·江苏泰州·七年级期末）如图，∠AOB=m°，OC是∠AOB内的一条射线，OD、OE分别平分∠BOC、∠AOC．
(1)若∠BOC=90°，∠AOC=30°，求∠DOE的度数；
(2)试用含m的代数式表示∠DOE；
(3)在图中，将OC反向延长，得到OP，OM、ON分别平分∠BOP、∠AOP．请将图补充完整，并用含m的代数式表示∠MON．
【变式13.2】（2022·江苏淮安·七年级期末）
【阅读理解】
射线OC是∠AOB内部的一条射线，若∠AOC＝12∠BOC，则称射线OC是射线OA在∠AOB内的一条“友好线”．如图1，若∠AOB＝75°，∠AOC＝25°，则∠AOC＝12∠BOC，所以射线OC是射线OA在∠AOB内的一条“友好线”．
【解决问题】
(1)在图1中，若作∠BOC的平分线OD，则射线OD （填“是”或“不是”）射线OB在∠AOB内的一条“友好线”；
(2)如图2，∠AOB的度数为n，射线OM是射线OB在∠AOB内的一条“友好线”，ON平分∠AOB，则∠MON的度数为 （用含n的代数式表示）；
(3)如图3，射线OB先从与射线OA重合的位置出发，绕点O以每秒1°的速度逆时针旋转；10秒后射线OC也从与射线OA重合的位置出发，绕点O以每秒5°的速度逆时针旋转，当射线OC与射线OA的延长线重合时，运动停止．问：当射线OC运动时间为多少秒时，射线OA，OB，OC中恰好有一条射线是余下两条射线中某条射线在余下两条射线所组成的角内的一条“友好线”？
【变式13.3】（2021·江苏·常州市金坛良常初级中学七年级阶段练习）如图（1），点O为线段AB上一点，过点O作射线OC，使∠AOC∶∠BOC＝1∶2，将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边OM在射线OB上，另一边ON在线段AB的下方．
(1)将图（1）中的直角三角板绕点O按逆时针方向旋转，使ON落在射线OB上（如图2），则三角板旋转的角度为 度；
(2)继续将图（2）中的直角三角板绕点O按逆时针方向旋转，使ON在∠AOC的内部（如图3）．试求∠AOM与∠NOC度数的差？
(3)若图（1）中的直角三角板绕点O按逆时针方向旋转一周，在此过程中：
①当直角边OM所在直线恰好垂直于OC时，∠AOM的度数是 ；
②设直角三角板绕点O按每秒15°的速度旋转，当直角边ON所在直线恰好平分∠AOC时，求三角板绕点O旋转时间t的值．