专题2.15角的有关综合计算大题专练（培优强化30题）-2023-2024学年七年级数学上学期专题复习（苏科版）

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一、解答题
1．（2021·江苏扬州·七年级期末）已知OD、OE分别是∠AOB、∠AOC的角平分线．
（1）如图1，OC是∠AOB外部的一条射线．
①若∠AOC＝32°，∠BOC＝126°，则∠DOE＝ °；
②若∠BOC＝164°，求∠DOE的度数；
（2）如图2，OC是∠AOB内部的一条射线，∠BOC＝n°，用n的代数式表示∠DOE的度数．
2．（2021·江苏宿迁·七年级期末）如图，射线OC在∠AOB的内部，OM、ON分别是∠AOB、∠AOC的平分线．
（1）如果∠AOB＝140°，∠AOC＝60°，那么∠MON是多少度？
（2）请写出∠MON与∠BOC的数量关系，并说明理由．
3．（2020·江苏·七年级期中）已知：如图1，点A、O、B依次在直线MN上，现将射线OA绕点O按顺时针方向以每秒20°的速度旋转，同时射线OB绕点O按逆时针方向以每秒40°的速度旋转，如图2，设旋转时间为t（0秒≤t≤30秒）
（1）用含t的代数式表示∠MOA的度数．
（2）在运动过程中，当∠AOB第二次达到120°时，求t的值．
（3）如果让射线OA改变方向，绕点O逆时针方向旋转，在用时不超过30秒的情况下，用时多少秒，能使得∠AOB=30°，请直接写出t的值．
4．（2021·江苏·七年级专题练习）已知∠AOB内部有三条射线，其中，OE平分∠BOC，OF平分∠AOC．
（1）如图1，若∠AOB=90°，∠AOC=30°，求∠EOF的度数；
（2）如图2，若∠AOB=α，求∠EOF的度数（用含α的式子表示）；
（3）若将题中的“平分”条件改为“3∠EOB=∠COB，3∠COF=2∠COA”，且∠AOB=α，用含α的式子表示∠EOF的度数为 ．
5．（2021·江苏淮安·七年级期末）若A、O、B三点共线，∠BOC=50°，将一个三角板的直角顶点放在点O处（注：∠DOE=90°，∠DEO=30°）．
（1）如图 1，使三角板的短直角边OD在射线OB上，则∠COE=_______°；
（2）如图2，将三角板 DOE 绕点O逆时针方向旋转，若OE恰好平分∠AOC，则OD所在射线是∠BOC 的________；
（3）如图3，将三角板 DOE绕点O逆时针转动到使∠COD=14∠AOE时，求∠BOD的度数；
（4）将图1中的三角板绕点O以每秒5°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t 秒时，OE恰好与直线OC 重合，求t的值．
6．（2021·江苏·扬州市广陵区教师发展中心七年级期末）如图1，点O为直线AB上一点，过O点作射线OC，使∠BOC=120°．将一块直角三角板的直角顶点放在点O处，边OM与射线OB重合，另一边ON位于直线AB的下方．
（1）将图1的三角板绕点O逆时针旋转至图2，使边OM在∠BOC的内部，且恰好平分∠BOC，问：此时ON所在直线是否平分∠AOC？请说明理由；
（2）将图1中的三角板绕点O以每秒6°的速度沿逆时针方向旋转一周，设旋转时间为t秒，在旋转的过程中，ON所在直线或OM所在直线何时会恰好平分∠AOC？请求所有满足条件的t值；
（3）将图1中的三角板绕点O顺时针旋转至图3，使边ON在∠AOC的内部，试探索在旋转过程中，∠AOM和∠CON的差是否会发生变化？若不变，请求出这个定值；若变化，请求出变化范围．
7．（2021·江苏淮安·七年级期末）【问题情境】
苏科版义务教育教科书数学七上第178页第13题有这样的一个问题：“如图1，OC是∠AOB内一条射线，OD、OE分别平分∠AOB、∠AOC．若∠AOC＝30°，∠BOC＝90°，求∠DOE的度数”，小明在做题中发现：解决这个问题时∠AOC的度数不知道也可以求出∠DOE的度数．也就是说这个题目可以简化为：如图1，OC是∠AOB内一条射线，OD、OE分别平分∠AOB、∠AOC．若∠BOC＝90°，求∠DOE的度数．
（1）请你先完成这个简化后的问题的解答；
【变式探究】
小明在完成以上问题解答后，作如下变式探究：
（2）如图1，若∠BOC＝m°，则∠DOE＝ °；
【变式拓展】
小明继续探究：
（3）已知直线AM、BN相交于点O，若OC是∠AOB外一条射线，且不与OM、ON重合，OD、OE分别平分∠AOB、∠AOC，当∠BOC＝m°时，求∠DOE的度数（自己在备用图中画出示意图求解）．
8．（2021·江苏淮安·七年级期末）已知∠AOB和∠COD均为锐角，∠AOB＞∠COD，OP平分∠AOC，OQ平分∠BOD，将∠COD绕着点O逆时针旋转，使∠BOC=α（0≤α＜180°）
（1）若∠AOB=60°，∠COD=40°，
①当α=0°时，如图1，则∠POQ= ；
②当α=80°时，如图2，求∠POQ的度数；
③当α=130°时，如图3，请先补全图形，然后求出∠POQ的度数；
（2）若∠AOB=m°，∠COD=n°，m＞n，则∠POQ= ，（请用含m、n的代数式表示）．
9．（2022·江苏扬州·七年级期末）如图1，数轴上点A表示的数为－2，点B 表示的数为6，点P从点A出发以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，点Q从点B出发以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，点M、N分别为PA、QB的中点．P、Q两点同时出发，当点P到达点B时，运动停止，设点P、Q运动时间为t秒．
（1）当点P、Q相遇时，t ＝ ，MN ＝ ．
（2）当PQ之间的距离为4个单位长度时，求线段MN的长．
[知识迁移]学校数学社团学员自制了一个圆形转盘，如图2，O为转盘圆心，A、O、B在一条直线上，指针OP从OA出发绕点O顺时针方向转动，指针OQ也以相同的速度从OB出发绕点O逆时针方向转动．OP、OQ同时出发，当OP、OQ分别到达OB、OA时，运动停止．已知OM平分∠AOP，ON平分∠BOQ，设∠MON ＝ α，∠POQ ＝ β．试探索α与β的关系．（直接写出答案）
10．（2022·江苏淮安·七年级期末）如图 1，射线OC 在AOB 的内部，图中共有 3 个角：AOB 、AOC 和BOC ，若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线OC 是AOB 的奇妙线．
（1）一个角的角平分线 这个角的奇妙线．（填是或不是）
（2）如图 2，若MPN  60 ，射线 PQ 绕点 P 从 PN 位置开始，以每秒10 的速度逆时针旋转， 当QPN 首次等于180 时停止旋转，设旋转的时间为t(s) ．
①当t 为何值时，射线 PM 是QPN 的奇妙线？
②若射线 PM 同时绕点 P 以每秒6 的速度逆时针旋转，并与 PQ 同时停止旋转．请求出当射线 PQ 是MPN 的奇妙线时t 的值．
11．（2021·江苏南通·七年级期末）已知∠AOB=α0°<α<90°．
（1）如图1，反向延长射线OA得到射线OC，用量角器画∠BOC的平分线OD．当α=30°时，求∠AOD的度数；
（2）如图2，∠AOC=90°，用量角器画∠BOC的角平分线OD．判断∠AOD与∠BOD互为余角吗？说明理由；
（3）利用“备用图”画图研究：画∠BOC，使∠BOC与∠AOB互为补角，进一步画出∠AOB、∠BOC的平分线OM，ON，并求∠MON的度数（若需要，可以用含α的式子表示） ．
12．（2021·江苏·七年级专题练习）如图1，射线OC在∠AOB的内部，图中共有3个角：∠AOB、∠AOC、∠BOC，若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线OC是∠AOB的“定分线”．
（1）一个角的平分线_________这个角的“定分线”；（填“是”或“不是”）
（2）如图2，若∠MPN=a，且射线PQ是∠MPN的“定分线”，则∠MPQ=________(用含a的代数式表示出所有可能的结果）；
（3）如图2，若∠MPN=48°，且射线PQ绕点P从PN位置开始，以每秒8°的速度逆时针旋转，当PQ与PN成90°时停止旋转，旋转的时间为t秒；同时射线PM绕点P以每秒4°的速度逆时针旋转，并与PQ同时停止．当PQ是∠MPN的“定分线”时，求t的值．
13．（2021·江苏盐城·七年级期末）已知∠AOB＝150°，∠COE＝75°，OF平分∠AOE．
（1）如图1，若∠COF＝15°，则∠BOE＝ ；若∠COF＝n°，则∠BOE＝ ；∠BOE与∠COF的数量关系为 ．
（2）当∠COE绕点O逆时针旋转到如图2的位置时，（1）中∠BOE与∠COF的数量关系是否仍然成立？请说明理由．
（3）在（2）的条件下，如图3，在∠BOE的内部是否存在一条射线OD，使得∠BOD为直角，且∠DOF＝3∠DOE？若存在，请求出∠COF的度数；若不存在，请说明理由．
14．（2021·江苏镇江·七年级期末）如图1，点O为直线AB上一点，点C是位于直线AB上方的一点，且∠BOC=20°，将一个含60°三角板（∠POQ=60°）顶点放在点O处，一边OP与射线OA重合，点Q在直线AB的上方．
（1）∠QOC= °
（2）如图2，现将图1位置中三角板△OPQ绕点O沿顺时针方向每秒转动8°，射线OC绕点O沿逆时针方向每秒转动12°，设转动的时间为t秒，当点Q、点C有一点位于直线AB上时，转动停止．
①当线段OQ与射线OC重合时，求t的值；
②当t= 时，OP⊥OC．
15．（2021·江苏·南京外国语学校七年级期末）知识的迁移与应用
问题一：如图①，甲，乙两人分别从相距30km的A，B两地同时出发，若甲的速度为60km/h，乙的速度为40km/h，甲追上乙需花多长时间?设甲追到乙所花时间为xh，则可列方程为_______；
问题二：在线段AC（足够长）上有一点B，AB=30cm，动点P从A点出发，以每秒4cm的速度向C移动，同时Q点从B点出发，以每秒2cm的速度向C点移动，出发几秒后，PQ=10cm?
问题三：如图②，若将线段AC弯曲后视作时钟面的一部分，线段AB对应钟表上的弧AB（1小时的间隔），OD表示时针，OE表示分针（O为两针的旋转中心），时钟的时针与分针所成的角称为钟面角，在1:00~1:30之间，从1:00开始，经过多少分钟，钟面角为90°．
16．（2020·江苏省新海高级中学七年级期末）点O为直线AB上一点，将一直角三角板OMN的直角顶点放在O处，射线OC平分∠MOB．
(1)如图（1），若∠AOM=30°，求∠CON的度数；
(2)在图（1）中，若∠AOM=α，直接写出∠CON的度数（用含α的代数式表示）；
(3)将图（1）中的直角三角板OMN绕顶点O顺时针旋转至图（2）的位置，一边OM在直线AB上方，另一边ON在直线AB下方．
①探究∠AOM和∠CON的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由；
②当∠AOC＝3∠BON时，求∠AOM的度数．
17．（2022·江苏扬州·七年级期末）如图，直线AB与CD相交于点O，OE⊥AB，OF⊥CD．
(1)图中∠AOF的余角是 （把符合条件的角都填出来）．
(2)图中除直角相等外，还有相等的角，请写出三对：
① ；② ；③ ．
(3)①如果∠AOD＝140°．那么根据 ，可得∠BOC＝ 度．
②如果∠EOF=15∠AOD，求∠EOF的度数．
18．（2022·江苏扬州·七年级期末）点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠AOC=120°, 一直角三角板的直角顶点放在点O处．
(1)如图1，将三角板DOE的一边OD与射线OB重合时，则∠COD= ∠COE；
(2)如图2，将图1中的三角板DOE绕点O逆时针旋转一定角度，当OC恰好是∠BOE的角平分线时，求∠COD的度数；
(3)将图1中的三角尺DOE绕点O逆时针旋转旋转一周，设旋转的角度为α度，在旋转的过程中，能否使∠AOE=3∠COD？若能，求出α的度数；若不能，说明理由.
19．（2021·江苏·景山中学七年级阶段练习）我们曾解决过这样的问题：
如图1，点O在直线AB上，OC，OD分别平分∠AOE，∠BOE，可求得∠COD＝90°．（不用求解）若点O在直线AB上，∠COD＝90°，OE平分∠BOC．
(1)如图2，若∠AOC＝50°，求∠DOE的度数；
(2)将图2中的∠COD按图3所示的位置进行放置，写出∠AOC与∠DOE度数间的等量关系，并写明理由．
20．（2021·江苏·七年级专题练习）如图1，A、O、B三点在同一直线上，∠BOD与∠BOC互补．
（1）请判断∠AOC与∠BOD大小关系，并验证你的结论；
（2）如图2，若OM平分∠AOC，ON平分∠AOD，∠BOD＝30°，请求出∠MON的度数．
21．（2021·江苏·七年级专题练习）如图，直线AB上有一点O，OC平分∠AOD，OE是∠BOD内部的一条射线．
（1）在图中与∠BOC互补的角有___________；
（2）当∠BOD=2∠EOD，则∠EOC的度数是___________；
（3）当∠BOD=4∠EOD，∠EOC=72°，求∠EOB的度数．
22．（2021·江苏·七年级专题练习）如图，直线AB、CD相交于点O，∠AOD为锐角，OE⊥CD，OF平分∠BOD
（1）图中与∠AOE互余的角为__________；
（2）若∠EOB=∠DOB，求∠AOE的度数；
（3）图中与锐角∠AOE互补角的个数随∠AOE的度数变化而变化，直接写出与∠AOE互补的角的个数及对应的∠AOE的度数
23．（2021·江苏·南京外国语学校七年级期末）如图①，直线AB､CD相交于点O，射线OE⊥CD，垂足为点O，过点O作射线OF使∠BOF=130°．
（1）将图①中的直线CD绕点O逆时针旋转至图②，OE在∠BOF的内部，当OE平分∠BOF时，OC是否平分∠AOF，请说明理由；
（2）将图①中的直线CD绕点O逆时针旋转至图③，OD在的内部，探究∠AOE与∠DOF之间的数量关系，并说明理由；
（3）若∠BOE=20°，将图①中的直线CD绕点O按每秒5°的速度逆时针旋转度α度（0°<α<180°），设旋转的时间为t秒，当∠AOC与∠EOF互余时，求t的值．
24．（2021·江苏·江阴市周庄中学七年级期末）已知点O是直线AB上的一点，∠COE＝90°，OF是∠AOE的平分线．
(1)当点C，E，F在直线AB的同侧(如图1所示)时，试说明∠BOE＝2∠COF；
(2)当点C与点E，F在直线AB的两旁(如图2所示)时，(1)中的结论是否仍然成立?请给出你的结论并说明理由；
(3)将图2中的射线OF绕点O顺时针旋转m°(0＜m＜180°)得射线OD．设∠AOC＝n°，若∠BOD＝(60－23n)°，则∠DOE的度数是 (用含n的式子表示)
25．（2020·江苏·海安市海陵中学七年级阶段练习）已知∠AOD=150°．
（1）如图1，∠AOC=∠BOD=90°，①∠BOC的余角是 ，比较∠AOB ∠COD（填＞，=或＜），理由： ；②∠BOC= 度；
（2）如图2，已知∠AOB与∠BOC互为余角，①若OB平分∠AOD，求∠BOC的度数；②若∠DOC是∠BOC的4倍，求∠BOC的度数．
26．（2020·江苏·南通田家炳中学七年级阶段练习）如图，点O是直线AB上的一点，∠COD是一个直角，OE平分∠BOC．
（1）如图1，当∠AOC＝30°，求∠DOE的度数；
（2）如图2，若∠AOC＝x°，求∠DOE的度数．（用含有x的代数式表示）
27．（2020·江苏·南通市八一中学七年级阶段练习）如图，已知O为直线AD上一点，射线OC，射线OB，∠AOC与∠AOB互补，OM，ON分别为∠AOC，∠AOB的平分线，若∠MON=50°．
（1）∠COD与∠AOB相等吗？请说明理由；
（2）试求∠AOC与∠AOB的度数．
28．（2020·江苏·苏州高新区实验初级中学七年级期末）如图，O为直线AB上一点，∠AOC=48°，OD平分∠AOC，∠DOE=90°．
(1)图中有 个小于平角的角；
(2)求出∠BOD的度数；
(3)试判断OE是否平分∠BOC，并说明理由．
29．（2020·江苏盐城·七年级期末）已知：直线AB和CD相交于点O，OE把∠AOC分成两部分，且∠AOE：∠EOC＝2：3，
（1）如图1，若∠BOD＝75°，求∠BOE；
（2）如图2，若OF平分∠BOE，∠BOF＝∠AOC+12°，求∠EOF．
30．（2020·江苏南通·七年级期末）如图，A，O，B三点在同一直线上，∠BOD与∠BOC互补．
（1）∠AOC与∠BOD的度数相等吗，为什么？
（2）已知OM平分∠AOC，若射线ON在∠COD的内部，且满足∠AOC与∠MON互余；
①∠AOC＝32°，求∠MON的度数；
②试探究∠AON与∠DON之间有怎样的数量关系，请写出结论并说明理由．