高中数学人教A版 (2019)必修第一册2.2 基本不等式第1课时课后作业题

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这是一份高中数学人教A版 (2019)必修第一册2.2 基本不等式第1课时课后作业题，共3页。试卷主要包含了下列不等式一定成立的是，下列条件中,能使≥2成立的有，设a,b,c都是正数,求证，已知a,b,c∈R,求证等内容，欢迎下载使用。

基础巩固
1.不等式a2+1≥2a中等号成立的条件是( )
A.a=±1B.a=1
C.a=-1D.a=0
答案B
解析a2+1-2a=(a-1)2≥0,当a=1时,等号成立.
2.已知m=a++1(a>0),0A.m>nB.m答案A
解析因为a>0,所以m=a++1≥2+1=3,当且仅当a=1时等号成立.所以m>n.
3.(多选题)下列不等式一定成立的是( )
A.x2+>x(x>0)B.2x+≥4(x>0)
C.x2+1≥2|x|(x∈R)D.>1(x∈R)
答案BC
解析∵当x=时,x2+=x,
∴A不一定成立;
∵当x>0时,有2x+≥4=4,当且仅当x=1时等号成立,∴B一定成立;
∵x2+1-2|x|=(|x|-1)2≥0,即x2+1≥2|x|恒成立,∴C一定成立;
∵x2+1≥1,∴0<≤1,故D不成立.
4.(多选题)下列条件中,能使≥2成立的有( )
A.ab>0B.ab<0
C.a>0,b>0D.a<0,b<0
答案ACD
解析当均为正数时,≥2,故只需a,b同号即可.故A,C,D均可以.
5.已知a>b>c,则的大小关系是 .
答案
解析∵a>b>c,
∴a-b>0,b-c>0.
∴,当且仅当a-b=b-c,即2b=a+c时取等号.
6.不等式≥2恒成立,当且仅当x= 时取等号.
答案0
解析≥2=2,其中当且仅当⇔x2+1=1⇔x2=0⇔x=0时等号成立.
7.若a>0,b>0,a+b=2,则下列不等式对一切满足条件的a,b恒成立的是 (填序号).
①ab≤1;②;③a2+b2≥2;④a3+b3≥3;⑤≥2.
答案①③⑤
解析令a=b=1,排除②④;由2=a+b≥2⇒ab≤1,①中不等式恒成立;a2+b2=(a+b)2-2ab=4-2ab≥4-2×=2,③中不等式恒成立;=2,⑤中不等式恒成立.
8.设a,b,c都是正数,求证:≥a+b+c.
证明因为a,b,c都是正数,所以也都是正数.
所以≥2c,≥2a,≥2b,
三式相加得2≥2(a+b+c),即≥a+b+c,当且仅当a=b=c时取等号.
9.已知a,b,c∈R,求证:(a+b+c).
证明∵=-=-≤0,∴,
∴(a+b)(等号在a=b时成立),
同理(b+c)(等号在b=c时成立),
(a+c)(等号在a=c时成立),
三式相加得(a+b)+(b+c)+(a+c)=(a+b+c)(等号在a=b=c时成立).
能力提升
1.已知a,b是正数,则的大小关系是( )
A.
B.
C.
D.
答案D
解析∵a,b是正数,∴(当且仅当a=b时,取等号);再比较的大小.
∵=-=-≤0,∴.故选D.
2.如果正数a,b,c,d满足a+b=cd=4,那么( )
A.ab≤c+d,且当等号成立时,a,b,c,d的取值唯一
B.ab≥c+d,且当等号成立时,a,b,c,d的取值唯一
C.ab≤c+d,且当等号成立时,a,b,c,d的取值不唯一
D.ab≥c+d,且当等号成立时,a,b,c,d的取值不唯一
答案A
解析因为a,b,c,d均为正数,且a+b=cd=4,所以由基本不等式得a+b≥2,故ab≤4.
又因为cd≤,所以c+d≥4,所以ab≤c+d,当且仅当a=b=c=d=2时,等号成立.
3.(多选题)已知a>0,b>0,则下列不等式恒成立的是( )
A.a+b+≥2 B.(a+b)≥4
C.≥2D.
答案ABC
解析对A,a+b+≥2≥2,当时,取等号,故A恒成立;对B,(a+b)()=2+≥4,当a=b时,取等号,故B恒成立;对C,=2,当a=b时,取等号,故C恒成立;对D,,当a=b时,取等号,故D不成立.故选ABC.
4.已知a,b是不相等的正数,x=,y=,则x,y的大小关系是 .
答案x解析∵a,b是不相等的正数,∴x2-y2=2-()2=-a-b=<0,∴x20,y>0,∴x5.已知a>0,b>0,且a+b=1,求证:(a+1)2+(b+1)2≥.
证明∵a>0,b>0,∴a+1>0,b+1>0,
∴(a+1)2+(b+1)2≥2(a+1)(b+1),
∴2(a+1)2+2(b+1)2≥(a+1)2+(b+1)2+2(a+1)(b+1)=[(a+1)+(b+1)]2,
∴≥(a+1)+(b+1)=3,
∴(a+1)2+(b+1)2≥,
当且仅当a=b=时,等号成立.
6.已知a>0,b>0,a+b=1,求证:
(1)≥8;
(2)≥9.
证明(1)=2().
∵a+b=1,a>0,b>0,
∴=2+≥2+2=4,
∴≥8(当且仅当a=b=时,等号成立).
(2)∵a>0,b>0,a+b=1,
∴1+=1+=2+,同理,1+=2+,
∴=5+2()≥5+4=9,
∴≥9(当且仅当a=b=时,等号成立).

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