人教A版 (2019)必修 第一册数学建模 建立函数模型解决实际问题练习

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课后·训练提升
1.某城市现有人口总数为100万,如果年自然增长率为1.2%,试解答下面的问题:
(1)写出x年后该城市的人口总数y(单位:万)与年数x(单位:年)的函数解析式;
(2)计算10年以后该城市人口总数(精确到0.1万);
(3)计算大约多少年以后该城市人口总数将达到120万(精确到1年).
((1+1.2%)10≈1.127,(1+1.2%)15≈1.196,(1+1.2%)16≈1.21)
解(1)1年后该城市人口总数为y=100+100×1.2%=100×(1+1.2%);
2年后该城市人口总数为y=100×(1+1.2%)+100×(1+1.2%)×1.2%=100×(1+1.2%)2;
3年后该城市人口总数为y=100×(1+1.2%)3;…;
x年后该城市人口总数为y=100×(1+1.2%)x,x∈N*.
(2)10年后该城市人口总数为
y=100×(1+1.2%)10≈112.7(万).
(3)令y=120,则有100×(1+1.2%)x=120,由题中数据可得15故大约16年后该城市人口总数将达到120万.
2.某个体经营者把前六个月试销A,B两种商品的逐月投资与所获纯利润列成下表:
该经营者准备下个月投入12万元经营这两种商品,请你帮他制定一个资金投入方案,使该经营者能获得最大利润,并按你的方案求出该经营者下个月可获得的最大纯利润(精确到0.1万元).
解①画散点图.
以投入额x为横坐标,所获纯利润y为纵坐标,在平面直角坐标系中画出散点图,如图所示.
投资A种商品投资B种商品
②求函数模型.
由散点图可以看出,投资A种商品所获纯利润y与投入额x之间的变化规律可以用二次函数模型进行拟合.
设y=a(x-h)2+b,取(4,2)为最高点,则y=a(x-4)2+2,再把点(1,0.65)的坐标代入,得0.65=a(1-4)2+2,
解得a=-0.15,所以y=-0.15(x-4)2+2.
投资B种商品所获纯利润y与投入额x之间的变化规律是线性的,可以用一次函数模型进行拟合.
设y=kx+m,将点(1,0.25)和(4,1)的坐标代入,得解得所以y=0.25x.
③检验模型.
画出函数y=-0.15(x-4)2+2与函数y=0.25x的图象如图所示.
由图可知,函数模型与实际数据基本吻合,
故前六个月所获纯利润y关于月投入A种商品的金额x的函数关系式是y=-0.15(x-4)2+2;前六个月所获纯利润y关于月投入B种商品的金额x的函数关系式是y=0.25x.
④求解问题.
设下个月投入A,B两种商品的资金分别为xA,xB(单位:万元),总利润为W(单位:万元),
则
所以W=-0.15+0.15×+2.6.
当xA=≈3.2时,W取最大值,约为4.1,此时xB≈8.8.
故该经营者下个月把12万元中的3.2万元投入A种商品,8.8万元投入B种商品,可获得最大纯利润,最大纯利润约为4.1万元.投资A种商品金额/万元
1
2
3
4
5
6
获纯利润/万元
0.65
1.39
1.85
2
1.84
1.40
投资B种商品金额/万元
1
2
3
4
5
6
获纯利润/万元
0.25
0.49
0.76
1
1.26
1.51