河北省沧衡八校联盟2023-2024学年高二上学期11月期中数学试题

这是一份河北省沧衡八校联盟2023-2024学年高二上学期11月期中数学试题，共12页。试卷主要包含了本试卷主要考试内容，已知圆，设是抛物线，若直线与直线垂直，则的值可能是，已知椭圆等内容，欢迎下载使用。

注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4.本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第一册。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.双曲线的虚轴长为
A.B.C.2D.4
2.已知平面，，，，，则空间的一个单位正交基底可以为
A.B.
C.D.
3.若为抛物线上一点，且到焦点的距离为9，则到轴的距离为
A.7B.10C.8D.9
4.在四面体中，为的中点，为的中点，则
A.B.
C.D.
5.“”是“方程表示的曲线是椭圆”的
A.充要条件B.充分不必要条件
C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件
6.已知圆：与圆：关于直线对称，则的方程为
A.B.
C.D.
7.某广场的一个椭球水景雕塑如图所示，其横截面为圆，过横截面圆心的纵截面为椭圆，该椭圆的离心率为.若该椭球横截面的最大直径为1.8米，则该椭球的高为
A.3.6米B.3.4米C.4米D.3.2米
8.设是抛物线：上的动点，是圆：上的动点.则的最小值为
A.B.C.D.27
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.若直线与直线垂直，则的值可能是
A.B.C.0D.1
10.已知椭圆：的两个焦点为，，是上任意一点，则
A.B.
C.D.
11.在棱长为1的正方体中，，，则
A.当平面时，
B.的最小值为
C.当点到平面的距离最大时，
D.当三棱锥外接球的半径最大时，
12.已知双曲线：的右焦点为，过点作的一条渐近线的垂线，垂足为，该垂线与出一条渐近线的交点为，若，则的离心率可能为
A.B.C.D.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.直线的倾斜角为______.
14.在空间直角坐标系中，已知，，，，则直线与所成角的余弦值为______.
15.石城永宁桥，省级文物保护单位，位于江西省赣州市石城县高田镇.永宁桥建筑风格独特，是一座楼阁式抛物线形石拱桥.当石拱桥拱顶离水面时，水面宽，当水面下降时，水面的宽度为______；该石拱桥对应的抛物线的焦点到准线的距离为______
16.若曲线与圆恰有4个公共点，则的取值范围是______.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（10分）
已知直线经过直线：与直线：的交点.
（1）若直线经过点，求直线在轴上的截距；
（2）若直线与直线：平行，求直线的一般式方桯.
18.（12分）
已知双曲线的中心在原点，过点，且与双曲线有相同的渐近线.
（1）求双曲线的标准方程；
（2）已知，是双曲线上的两点，且线段的中点为，求直线的方程.
19.（12分）
如图，在正二棱柱中，，，分别为，，的中点，，.
（1）证明：平面.
（2）若平面，求平面与平面夹角的余弦值.
20.（12分）
已知圆与两坐标轴的正半轴都相切，且截直线所得弦长等于2.
（1）求圆的标准方程；
（2）求圆截直线所得弦长；
（3）若是圆上的一个动点，求的最小值.
21.（12分）
如图1，在菱形中，，将沿着翻折至如图2所示的的位置，构成三棱锥.
（1）证明：.
（2）若平面平面，为线段上一点（不含端点），且与平面所成角的正弦值为，求的值.
图1 图2
22.（12分）
已知椭圆：的右焦点为，离心率为.
（1）求的方程.
（2）若，为上的两个动点，，两点的纵坐标的乘积大于0，，，且.证明：直线过定点.
沧衡八校联盟高二年级2023~2024学年上学期期中考试
数学参考答案
1.D 因为，所以.
2.B 因为平面，所以，.因为，，，，所以空间的一个单位正交基底可以为.
3.C 根据抛物线的定义可得到焦点的距离等于到准线的距离，所以到轴的距离为.
4.B 因为为的中点，所以.因为为的中点，所以，所以.
5.C 若方程表示的曲线是椭圆，则，，且，所以且.故“”是“方程表示的曲线是椭圆”的必要不充分条件.
6.A 由题意得，，则的中点的坐标为，.由圆与圆关于对称，得的斜率为.因为的中点在上，所以，即.
7.A 由题意可知，，则，由该椭球横截面的最大直径为1.8米，可知米，所以米，米，该椭球的高为米.
8.C 设，则，
当时，取得最小值28，所以，所以.
9.AC 依题意可得，解得或.
10.BCD 因为，所以，，，所以，，，.
11.AB 以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，
则.
当平面时，，解得，A正确.
，当时，取得最小值，且最小值为，B正确.
当是的中点，即时，平面底面，此时，点到平面的距离最大，C错误.
因为，所以过斜边的中点作平面的垂线（图略），则外接球的球心必在该垂线上，所以球心的坐标可设为，半径为，
因为，所以，
所以.在三棱锥中，，所以，当且仅当时，等号成立，D错误.
12.AC 不妨设的一条渐近线的方程为，则直线的斜率为，则：.设，联立直线的方程与，可得，.同理可得点的纵坐标为，因为，所以.因为，所以或.
13.（或） 因为直线的斜率为，所以直线的倾斜角为.
14. 因为，，所以，所以直线与所成角的余弦值为.
15.8；3.2 如图，以拱顶为原点，建立直角坐标系，
设抛物线方程为，由题意可知抛物线过点，得，得，所以抛物线方程为，所以该抛物线的焦点到准线的距离为.当水面下降时，，则，得，所以水面的宽度为.
16. 因为曲线与圆恰有4个公共点，所以直线，均与圆相交，且两直线的交点不在该圆上，则有解得.
17.解：（1）由解得
即和的交点坐标为，
因为直线经过点，所以直线的斜率为，
所以直线的方程为，
令，得，所以直线在轴上的截距为.
（2）因为直线与直线：平行，
所以可设直线的方程为，
又直线经过点，所以，得
所以直线的一般式方程为
18.解：（1）因为双曲线与双曲线有相同的渐近线，
所以可设其方程为，
将点的坐标代入得，则所求双曲线的标准方程为.
（2）设，，则，
因为
所以，
即有，
所以，
所以直线的方程为，即.
19.（1）证明：因为，分别为，的中点，所以.
在正三棱柱中，
所以.
又平面，平面，所以平面.
（2）解：取的中点，连接.以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，
，.
设平面的法向量为，
则
取，则
易知是平面的一个法向量，
所以.
故平面与平面夹角的余弦值为.
20.解：（1）由已知圆与两坐标轴的正半轴都相切，得圆的圆心在直线上，
所以圆的直径为，即.
设圆心的坐标为，
则，所以圆的标准方程为.
（2）因为圆心到的距离，
所以圆截直线所得弦长为.
（3），
因为表示点与点之间的距离，
又点在圆上，所以的最小值为，
所以的最小值为.
21.（1）证明：取的中点，连接，.
因为是菱形，，所以，为等边三角形，
所以，.
又，所以平面.
因为平面，所以.
（2）解：因为平面平面，且平面平面，，
所以平面
以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系，
设，则，，，，，，，.
设，则.
设平面的法向量为，
则取，则，，
所以.
.
又，所以，则.
22.（1）解：依题意可得
则，
故的方程为.
（2）证明：由题意可知直线的斜率存在，设直线的方程为，
联立得，
设，的坐标分别为，
则，
且，.
设直线，的倾斜角分别为，
因为，且，两点的纵坐标的乘积大于0，
所以，所以
则，则
即，
所以
所以，
化简可得
则直线的方程为，
故直线过定点