人教A版 (2019)必修 第一册4.5 函数的应用（二）课文内容课件ppt

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1.二分法对于在区间[a,b]上图象连续不断且　f(a)f(b)<0　的函数y=f(x),通过不断地把它的零点所在区间　一分为二　,使所得区间的两个端点　逐步逼近零点　,进而得到零点近似值的方法叫做二分法. 
微训练1用二分法求函数零点的近似值适合于(　　)A.零点两侧函数值异号的函数B.零点两侧函数值同号的函数C.所有函数D.以上都不对答案:A解析:根据二分法的操作步骤可知,f(a)f(b)是否小于0是判断近似值能否落在区间(a,b)内的依据,故只能适用于零点两侧函数值异号的函数.
2.用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤给定精确度ε,用二分法求函数y=f(x)零点x0的近似值的一般步骤如下:(1)确定零点x0的初始区间[a,b],验证　f(a)f(b)<0　. (2)求区间(a,b)的中点　c　. (3)计算f(c),并进一步确定零点所在的区间:①若f(c)=0(此时x0=c),则　c　就是函数的零点; ②若f(a)f(c)<0(此时x0∈　(a,c)　),则令b=c; ③若f(c)f(b)<0(此时x0∈　(c,b)　),则令a=c. 
(4)判断是否达到精确度ε:即若|a-b|<ε,则得到零点近似值a(或b);否则重复步骤(2)~(4).微点拨记忆口诀:定区间,找中点;中值计算两边看,同号去,异号算;零点落在异号间,周而复始怎么办,精确度上来判断.
微训练2下列关于二分法的叙述中,正确的是(　　)A.用二分法可求所有函数零点的近似值B.用二分法可求函数零点的近似值,可精确到小数点后任一位C.二分法无规律可循,无法在计算机上完成D.只能用二分法求函数的零点答案:B
解析:由二分法求函数零点近似值需要函数图象连续不断且区间端点函数值异号,故A叙述错误;二分法是一种程序化的运算过程,反复求区间中点,确定函数值符号,因而可以通过编程,在计算机上完成,所以C叙述错误;求函数零点的方法有解方程、作图等,所以D叙述错误.故选B.
一 二分法概念的理解
典例剖析1.(1)下列图象对应的函数中,不能用二分法求其零点的为(　　)
(2)用二分法求方程2x+3x-7=0在区间(1,3)内的解,取区间的中点x0=2,则下一个有解的区间是　　　　　. 答案:(1)B　(2)(1,2)
解析:(1)利用二分法可求的零点要求零点两侧的函数值异号,故选B.(2)设f(x)=2x+3x-7,函数f(x)的图象是连续不断的,且f(1)=2+3-7<0,f(3)=10>0,f(2)=3>0,故函数f(x)零点所在的区间为(1,2),即方程2x+3x-7=0下一个有解的区间是(1,2).
规律总结运用二分法求函数零点应具备的条件 (1)函数图象在零点附近连续不断. (2)该零点两侧的函数值异号. 只有满足上述两个条件,才可用二分法求函数零点.
学以致用1.(1)已知函数f(x)的图象如图,其中零点的个数与可以用二分法求解的个数分别为(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　A.4,4B.3,4C.5,4D.4,3(2)下列函数中,不能用二分法求函数零点的有(　　)A.f(x)=3x-1B.f(x)=x2-2x+1C.f(x)=lg4xD.f(x)=ex-2答案:(1)D　(2)B
解析:(1)函数f(x)的图象与x轴有4个公共点,所以零点的个数为4;零点两侧函数值异号的有3个,所以可以用二分法求解的个数为3.(2)f(x)=x2-2x+1=(x-1)2,f(1)=0,当x<1时,f(x)>0;当x>1时,f(x)>0,在零点两侧函数值同号,不能用二分法求零点.其余选项中函数在零点两侧函数值异号,可以用二分法求零点.故选B.
二 用二分法求函数的近似零点(或方程的近似解)
典例剖析2.证明函数f(x)=2x+3x-6在区间(1,2)内有唯一一个零点,并求出这个零点的近似值(精确度为0.1).
证明:∵f(1)=-1<0,f(2)=4>0,又f(x)是增函数且f(x)的图象是连续不断的,∴函数f(x)=2x+3x-6在区间(1,2)内有唯一一个零点.设该零点为x0,则x0∈(1,2).取x1=1.5,则f(1.5)≈1.33>0,f(1)f(1.5)<0,∴x0∈(1,1.5).
取x2=1.25,则f(1.25)≈0.13>0,f(1)f(1.25)<0,∴x0∈(1,1.25).取x3=1.125,则f(1.125)≈-0.44<0,f(1.125)·f(1.25)<0,∴x0∈(1.125,1.25).取x4=1.187 5,则f(1.187 5)≈-0.16<0,f(1.187 5)f(1.25)<0,∴x0∈(1.187 5,1.25).∵|1.25-1.187 5|=0.062 5<0.1,∴函数f(x)在区间(1,2)内的一个精确度为0.1的近似零点可取1.25.
规律总结用二分法求函数零点的近似值应遵循的原则 (1)需依据图象估计零点所在的初始区间[m,n](一般采用估计值的方法完成). (2)取区间端点的平均数c,计算f(c),确定有解区间是[m,c]还是[c,n],逐步缩小区间的“长度”,直到区间的“长度”符合精确度要求,终止计算,得到函数零点的近似值.通常取区间的一个端点.
学以致用2.用二分法求方程的近似解,求得f(x)=x3+2x-9的部分函数值数据如表所示:
则当精确度为0.1时,方程x3+2x-9=0的近似解可取为(　　)A.1.6B.1.7C.1.8D.1.9答案:C
解析:∵f(1)=-6<0,f(2)=3>0,且f(x)的图象连续不断,∴函数f(x)在区间(1,2)内存在零点x0.取区间(1,2)的中点x1=1.5,∵f(1.5)f(2)<0,∴x0∈(1.5,2).取区间(1.5,2)的中点x2=1.75,∵f(1.75)f(2)<0,∴x0∈(1.75,2).取区间(1.75,2)的中点x3=1.875,∵f(1.75)f(1.875)<0,∴x0∈(1.75,1.875).取区间(1.75,1.875)的中点x4=1.812 5,∵f(1.75)f(1.812 5)<0,∴x0∈(1.75,1.812 5).∵|1.812 5-1.75|=0.062 5<0.1,∴结合选项可知方程x3+2x-9=0的一个精确度为0.1的近似解可取为1.8.
三 用二分法求方程的近似解
典例剖析3.利用计算器,求方程lg x=2-x的近似解(精确度为0.1).
由图可知,方程lg x=2-x有唯一解,记为x0,并且x0在区间(1,2)内.设f(x)=lg x+x-2,用计算工具计算得f(1)<0,f(2)>0,∴f(1)f(2)<0,∴x0∈(1,2);用计算工具计算得f(1.5)<0,∴f(1.5)f(2)<0,∴x0∈(1.5,2);用计算工具计算得f(1.75)<0,∴f(1.75)f(2)<0,∴x0∈(1.75,2);用计算工具计算得f(1.875)>0,∴f(1.875)f(1.75)<0,∴x0∈(1.75,1.875);
用计算工具计算得f(1.812 5)>0,∴f(1.812 5)f(1.75)<0,∴x0∈(1.75,1.812 5).∵|1.812 5-1.75|=0.062 5<0.1,∴方程的精确度为0.1的近似解可取为1.812 5.
规律总结对于求形如f(x)=g(x)的方程的近似解,可以通过移项转化成求函数F(x)=f(x)-g(x)的零点的近似值,先画出y=f(x)与y=g(x)的图象,估计零点所在区间,然后按照用二分法求函数零点的近似值的步骤求解.
学以致用3.判定方程3x-x2=0在区间(1,2)内是否有实数解,若有,求出精确度为0.01的近似解;若没有,请说明理由.解:方程3x-x2=0在区间(1,2)内没有实数解,理由如下:设f(x)=3x-x2,则f(1)=2>0,f(2)=5>0,又根据函数y=3x,y=x2的增长速度可知,当x∈(1,2)时,3x-x2>0恒成立,故不存在x∈(1,2),使3x-x2=0,即方程3x-x2=0在区间(1,2)内没有实数解.
1.下列图象对应的函数能用二分法求零点的是(　　)
答案:C解析:在A和D中,图象对应的函数虽有零点,但它们的零点两侧函数值同号,因此它们都不能用二分法求零点.在B中,图象对应的函数无零点.在C中,函数图象是连续不断的,且图象与x轴有公共点,并且图象对应的函数,其零点两侧函数值异号,所以C中的图象对应的函数能用二分法求其零点.
2.根据下表,用二分法求函数f(x)=x3-3x+1在区间(1,2)内的零点的近似值(精确度为0.1)是(　　)
197 27 5答案:D解析:因为f(1.5)=-0.125<0,f(1.562 5)≈0.127 197 27>0,f(x)在区间(1,2)内的图象是连续不断的曲线,且|1.562 5-1.5|=0.062 5<0.1,所以区间[1.5,1.562 5]上的任何一个值都可作为函数f(x)在区间(1,2)内精确度为0.1的零点的近似值.故选D.
3.用二分法求关于x的方程ln x+2x-6=0的近似解时,能确定为解所在的初始区间的是(　　)A.(2,3)B.(0,2)C.(1,2)D.(0,+∞)答案:A解析:令函数f(x)=ln x+2x-6,可判断f(x)在区间(0,+∞)内单调递增,∵f(1)=-4<0,f(2)=ln 2-2<0,f(3)=ln 3>0,∴根据函数零点存在定理可得,零点在区间(2,3)内,即方程ln x+2x-6=0的解所在的初始区间为(2,3).故选A.
4.用二分法研究函数f(x)=x5+8x3-1的零点时,第一次经过计算得f(0)<0,f(0.5)>0,则其中一个零点所在的区间和第二次应计算的函数值分别为(　　)A.(0,0.5),f(0.125)B.(0.5,1),f(0.25)C.(0.5,1),f(0.75)D.(0,0.5),f(0.25)答案:D解析:因为函数f(x)=x5+8x3-1,且f(0)<0,f(0.5)>0,所以其中一个零点所在的区间为(0,0.5),第二次应计算(0,0.5)的中点所对应的函数值,即f(0.25).故选D.