基础巩固
1.用“二分法”可求近似解,对于精确度ε的说法正确的是( )
A.ε越大,零点的精确度越高
B.ε越大,零点的精确度越低
C.重复计算次数就是ε
D.重复计算次数与ε无关
答案B
2.已知函数f(x)的图象如图所示,用二分法求函数f(x)的零点时,不可能求出的零点是( )
A.x1B.x2C.x3D.x4
答案C
解析观察题图可知,零点x3两侧附近的函数值均为负,故选C.
3.某同学求函数f(x)=ln x+2x-6的零点时,用计算工具算得部分函数值如下表所示:
则方程ln x+2x-6=0的近似解(精确度为0.1)可取为( )
答案A
解析由题中表格可知方程lnx+2x-6=0的近似解在区间(2,3),(2.5,3),(2.5,2.75),(2.5,2.625),(2.5,2.5625)内,据此分析选项A中2.52符合.
4.已知函数f(x)是R上的单调函数,且f(x)的零点同时在区间(0,4),(0,2),(1,2),(1,)内,则与f(0)符号相同的是( )
A.f(1)B.f(2)C.f()D.f(4)
答案A
5.已知函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象连续不断,且f(x)在区间(a,b)内有唯一零点,当a=1.2,b=1.4,精确度ε=0.1时,应将区间(a,b)等分的次数至少为( )
A.1B.2C.3D.4
答案B
6.在用二分法求函数f(x)的一个正实数零点时,经计算,f(0.64)<0,f(0.72)>0,f(0.68)<0,则函数的一个精确到0.1的正实数零点的近似值为( )
C.0.7D.0.6
答案C
解析已知f(0.64)<0,f(0.72)>0,则函数f(x)的零点的初始区间为[0.64,0.72],又0.68=×(0.64+0.72),且f(0.68)<0,所以零点在区间[0.68,0.72]上,且该区间的左、右端点精确到0.1所取的近似值都是0.7.因此,0.7就是所求函数的一个正实数零点的近似值.
7.用二分法求函数f(x)在区间[a,b]上的零点时,需要的条件是 (填序号).
①f(x)在区间[a,b]上的图象连续不断;②f(a)f(b)<0;③f(a)f(b)>0;④f(a)f(b)≥0.
答案①②
8.用二分法求方程x3-x2-1=0的一个近似解时,现在已经将一个实数解锁定在区间(1,2)内,则下一步可断定该实数解所在的区间为 .
答案
解析令f(x)=x3-x2-1,则f(1)=-1<0,f(2)=3>0,f>0,所以ff(1)<0,
故可断定该实数解所在的区间为.
9.求的近似值(精确度为0.1,参考数据:1.3753≈2.599 6,1.437 53≈2.970 5).
解令=x,则x3=3.
令f(x)=x3-3,则就是函数f(x)=x3-3的零点.
因为f(1)=-2<0,f(2)=5>0,所以可取初始区间(1,2),用二分法计算,列表如下:
由于|1.5-1.4375|=0.0625<0.1,
因此的近似值可取为1.4375.
10.求方程lg x=-1的近似解(精确度为0.1).
解作出函数y=lgx和y=-1的大致图象如图所示.
由图象可知,方程lgx=-1有唯一实数解,且在区间(0,1)内,设f(x)=lgx-+1,f(1)=>0,用计算工具计算,列表如下:
由于区间(0.5,0.5625)的长度为0.0625<0.1,所以区间(0.5,0.5625)内任意一点都可以作为零点的近似值,也可以将x=0.5625作为函数零点的近似值,也即原方程的近似解.
能力提升
1.设a是函数f(x)=2x-lx的零点,若x0>a,则f(x0)的值满足( )
A.f(x0)=0B.f(x0)>0
C.f(x0)<0D.以上都有可能
答案B
解析画出y=2x与y=lx的图象(图略),可知当x0>a时,>lx0,故f(x0)>0.
2.已知函数f(x)=lg3x-在区间[1,3]上有零点,则用二分法判断含有零点的区间为( )
A.B.C.D.
答案C
解析f(1)=-<0,f(3)=>0,f(2)=lg32-=lg32-lg3=lg3=lg3<0,f=lg3=lg3-lg3=lg3>lg3=lg3>0,f()=lg3-1=lg3<0,因此,函数f(x)的零点在区间上.故选C.
3.已知f(x)=x2+6x+c有零点,但不能用二分法求出,则c的值是( )
A.9B.8C.7D.6
答案A
解析由题意可知,x2+6x+c=0有两个相等的实数根,则Δ=36-4c=0,解得c=9.
4.(多选题)已知函数f(x)的图象是连续不断的,且有如下的对应值表:
则下列说法正确的是( )
A.函数f(x)在区间(-1,0)内有零点
B.函数f(x)在区间(2,3)内有零点
C.函数f(x)在区间(5,6)内有零点
D.函数f(x)在区间(-1,7)内有三个零点
答案ABC
解析f(-1)f(0)<0,f(2)f(3)<0,f(5)f(6)<0,又f(x)的图象连续不断,所以函数f(x)在区间(-1,0),(2,3),(5,6)内均有零点,但不能断定有几个零点,故ABC正确,D不正确.
5.利用计算工具,列出自变量和函数值的对应值如下表:
若方程2x=x2有一个根位于区间(a,a+0.4)内(a在表格第一行的数据中取值),则a的值为 .
答案-1或-0.8
解析令f(x)=2x-x2,由题中表格内的数据可得f(-1)<0,f(-0.6)>0,f(-0.8)<0,f(-0.4)>0,
∴方程2x=x2的一个根在区间(-0.8,-0.6)内,
∴a=-1或a=-0.8.
6.已知函数f(x)=x3-x2+1.
(1)证明方程f(x)=0在区间(0,2)内有实数解;
(2)将区间[0,2]作为零点的初始区间,使用二分法,取区间的中点三次,指出方程f(x)=0的实数解x0在哪个较小的区间内.
(1)证明因为f(0)=1>0,f(2)=-<0,
所以f(0)f(2)<0,又函数f(x)的图象在R上是连续不断的曲线,由函数零点存在定理可得函数f(x)在区间(0,2)内有零点,即方程f(x)=0在区间(0,2)内有实数解.
(2)解取x1=×(0+2)=1,得f(1)=>0,
由此可得f(1)f(2)<0,下一个有解区间为(1,2).
再取x2=×(1+2)=,得f=-<0,
所以f(1)f<0,下一个有解区间为(1,).
再取x3=×(1+)=,得f>0,
所以f<0,下一个有解区间为().
综上所述,所求的实数解x0在区间()内.
7.在一个风雨交加的夜里,某水库闸房(设为A)到防洪指挥部(设为B)的电话线路发生了故障.这是一条10 km长的线路,如何迅速查出故障所在?如果沿着线路一小段一小段查找,困难很多,每查一个点需要很长时间.
(1)维修线路的工人师傅应怎样工作,才能每查一次,就把待查的线路长度缩减一半?
(2)要把故障可能发生的范围缩小到50 m~100 m,要查多少次?
解(1)如图所示,他首先从中点C查,用随身带的话机向两端测试时,假设发现AC段正常,断定故障在BC段,再到BC段中点D查,这次若发现BD段正常,可见故障在CD段,再到CD段中点E来查,依次类推……
(2)每查一次,可以把待查的线路长度缩减一半,因此只要7次就够了.f(2)≈-1.306 9
f(3)≈1.098 6
f(2.5)≈-0.084
f(2.75)≈0.512
f(2.625)≈0.215
f(2.562 5)≈0.066
端点(中点)
(端点)中点函数值或近似值
区间
1,2
f(1)=-2,f(2)=5
(1,2)
x1==1.5
f(x1)=0.375
(1,1.5)
x2==1.25
f(x2)≈-1.047
(1.25,1.5)
x3==1.375
f(x3)≈-0.4
(1.375,1.5)
x4==1.4375
f(x4)≈-0.03
(1.4375,1.5)
零点所在区间
中点的值
中点函数近似值
区间长度
(0,1)
0.5
-0.0081
1
(0.5,1)
0.75
0.2805
0.5
(0.5,0.75)
0.625
0.1475
0.25
(0.5,0.625)
0.5625
0.0730
0.125
(0.5,0.5625)
0.53125
0.0333
0.0625
x
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
f(x)
-136
-21
6
19
13
-1
-8
-2
4
29
98
x
-1.6
-1.4
-1.2
-1
-0.8
y=2x
0.329 9
0.378 9
0.435 3
0.5
0.574 3
y=x2
2.56
1.96
1.44
1
0.64
x
-0.6
-0.4
-0.2
0
…
y=2x
0.659 8
0.757 9
0.870 6
1
…
y=x2
0.36
0.16
0.04
0
…