这是一份广西专版2023_2024学年新教材高中数学综合检测新人教A版必修第一册，共8页。
综合检测(时间:120分钟 满分:150分)一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合P={x∈R|1≤x≤3},Q={x∈R|x2≥4},则P∪(∁RQ)=( )A.[2,3] B.(-2,3]C.[1,2) D.(-∞,-2]∪[1,+∞)答案B解析Q={x|x≥2,或x≤-2},∁RQ={x|-2
1”是“<1”的( )A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案A解析a>1⇒<1,<1a>1.3.已知关于x的一元二次不等式ax2+bx+2>0的解集为,则a+b的值是( )A.10 B.-10 C.14 D.-14答案D解析由题意,得∴a+b=-14.4.若a0,所以所求的一个区间为(-1,0).经检验,其他选项中的区间均不符合题意.6.若关于x的不等式x2-4x≥m对任意x∈[0,1]恒成立,则实数m的取值范围是( )A.m≤-3 B.m≥-3C.-3≤m≤0 D.m≤-3或m≥0答案A解析令y=x2-4x,∵y=x2-4x在区间[0,1]上单调递减,∴ymin=1-4=-3.∵关于x的不等式x2-4x≥m对任意x∈[0,1]恒成立,∴m≤-3.7.已知a=0.60.6,b=0.61.5,c=1.50.6,则a,b,c的大小关系是( )A.a1,00,cos<0,∴点在第四象限.∵tanα==-,∴α的最小正值为2π-.二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.如果两个函数的图象经过平移后能够重合,那么这两个函数称为“和谐”函数.下列函数中与y=sin(x+)能构成“和谐”函数的是( )A.y=sin(2x+) B.y=cos(-x)-C.y=sin(x-) D.y=sin(-x)+2答案BCD解析A中,将y=sin(2x+)的图象上所有点的横坐标扩大为原来的2倍,纵坐标不变,得到函数y=sin(x+)的图象,故A不符合题意;B中,y=cos(-x)-cos[-(+x)]-sin(x+)-,故将y=cos(-x)-的图象向上平移个单位长度得到y=sin(x+)的图象,故B符合题意;C中,y=sin(x-)=sin(x+)=sin[(x+)-],故将y=sin(x-)的图象向左平移个单位长度得到y=sin(x+)的图象,故C符合题意;D中,y=sin(-x)+2=sin[π-(+x)]+2=sin(x+)+2,故将函数y=sin(-x)+2的图象向下平移2个单位长度得到y=sin(x+)的图象,故D符合题意.10.函数f(x)=|x|-(其中m∈R)的图象可能是( )答案ABD解析由f(x)=|x|-则当m>0时,函数f(x)在区间(0,+∞)内单调递增,在区间(-∞,-)内单调递减,在区间(-,0)内单调递增,即选项D满足题意;当m=0时,函数f(x)在区间(0,+∞)内单调递增,在区间(-∞,0)内单调递减,即选项A满足题意;当m<0时,函数f(x)在区间(0,)内单调递减,在区间(,+∞)内单调递增,在区间(-∞,0)内单调递减,即选项B满足题意;C不满足题意.故选ABD.11.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<)的部分图象如图所示,则下列说法错误的是( )A.函数y=f(x)的图象关于直线x=-对称B.函数y=f(x)的图象关于点对称C.函数y=f(x)在区间上单调递减D.该图象对应的函数解析式为f(x)=2sin答案ABC解析由题中函数的图象可得A=2.由,及ω>0,得ω=2.因为函数f(x)的图象过点,所以2sin=2,所以2×+φ=2kπ+,k∈Z.又|φ|<,所以φ=,所以函数f(x)=2sin,故选项D中说法正确.当x=-时,f(x)=0,不是最值,故选项A中说法错误;当x=-时,f(x)=-2,不等于零,故选项B中说法错误;由+2kπ≤2x++2kπ,k∈Z,得+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,当k=-1时,可得f(x)的一个单调递减区间为[-,-],故选项C中说法错误.故选ABC.12.设函数f(x)=若实数a,b,c满足0014.函数y=的定义域是 . 答案∪[π,4]解析由题意知,2+lox≥0,且tanx≥0,所以00)的最大值为,最小值为-,函数f(x)=-4asin(3bx).(1)求函数f(x)的周期、最值,并求取得最值时x的值;(2)判断函数f(x)的奇偶性.解∵y=a-bcos3x(b>0),∴解得∴函数f(x)=-4asin(3bx)=-2sin3x.(1)函数f(x)的周期T=.当x=(k∈Z)时,函数f(x)取得最小值-2;当x=(k∈Z)时,函数f(x)取得最大值2.(2)∵f(-x)=-2sin(-3x)=2sin3x=-f(x),且x∈R,∴函数f(x)为奇函数.20.(12分)数据显示,某公司2022年2~6月份5个月的收入情况如下表所示:根据上述数据,在建立该公司2022年月收入y(单位:万元)与月份x的函数模型时,给出两个函数模型y=与y=供选择.(1)你认为哪个函数模型较好?并简单说明理由.(2)试用你认为较好的函数模型,分析大约从几月份开始,该公司的月收入会超过100万元?(参考数据:lg 2≈0.301 0,lg 3≈0.477 1)解(1)根据题表数据在平面直角坐标系中画出散点图,如图.易知函数y=的图象与散点图基本吻合,因此用y=这一函数模型较好.(2)(方法一)当>100时,2x>300,∴lg2x>lg300,即xlg2>2+lg3,∴x>≈8.23.故大约从9月份开始,该公司的月收入会超过100万元.(方法二)当>100时,2x>300,28=256<300,29=512>300,故大约从9月份开始,该公司的月收入会超过100万元.21.(12分)已知函数f(x)=(x≠a,a为非零常数).(1)解不等式f(x)a时,f(x)有最小值为6,求a的值.解(1)f(x)0时,(*)式可化为(x-a)<0,解得-0,解得x>-或x0时,不等式的解集为{x-,或x0),则x=t+a,∴f(x)==t++2a≥2+2a=2+2a,当且仅当t=,即t=时,f(x)有最小值2+2a.依题意知2+2a=6,解得a=1.22.(12分)已知函数f(x)=ax+logax(a>0,且a≠1).(1)若f(5a-3)>f(3a),求实数a的取值范围.(2)若a=2,求证:①f(x)的零点在区间内;②对任意λ>0,存在μ>0,使f(x)<0在区间(0,λμ)内恒成立.解(1)f(x)的定义域为(0,+∞),当a>1时,f(x)是增函数,由f(5a-3)>f(3a),得5a-3>3a>0,解得a>,又a>1,∴a>;当0f(3a),得0<5a-3<3a,解得0,∴f(x)的零点在区间内.②由①知f(x)的零点x0∈,又f(x)在区间(0,+∞)内为增函数,且函数图象连续,∴当x∈(0,x0)时,f(x)<0,∴对任意λ>0,存在μ=>0,使f(x)<0在区间(0,λμ)内恒成立. 月份23456月收入/万元1.42.565.311121.3
