第07讲 第三章 函数的概念与性质章末重点题型大总结（9类题型）-2023-2024学年高一数学同步学精讲精练（人教A版必修第一册）

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第07讲 第三章 函数的概念与性质 章末题型大总结一、思维导图二、题型精讲题型01求函数的定义域【典例1】（2023·高一单元测试）函数的定义域为（    ）A． B． C． D．【答案】D【详解】因为，所以，解得且，故的定义域为.故选：D.【典例2】（2023·河北衡水·河北衡水中学校考模拟预测）已知函数的定义域为，则函数的定义域是（    ）A． B． C． D．【答案】C【详解】因为函数的定义域为，又函数有意义，则有，解得或，所以函数的定义域是.故选：C【典例3】（2023·全国·高三专题练习）已知函数，，则函数的定义域为______.【答案】【详解】解法1：由函数，则满足，可得，即函数的定义域为，对于函数，令，即，解得，即函数的定义域为.解法2：由，，可得，令，解得，所以的定义域为.故答案为：.【变式1】（2023·全国·高三专题练习）已知函数的定义域为[－2,2]，则函数的定义域为______.【答案】【详解】令，得，从而，所以函数的定义域为.故答案为：【变式2】（2023秋·陕西西安·高一长安一中校考期末）已知函数的定义域为，则函数的定义域为______.【答案】【详解】因为，即，所以，所以，所以.故答案为：.题型02求函数的值域【典例1】（2023春·江苏泰州·高一靖江高级中学校考阶段练习）若函数的定义域是，则其值域为（    ）.A． B．C． D．【答案】D【详解】函数图像可由 图像向右平移一个单位得到，如图所示: ，结合图像可知，函数的值域为 .故选：D【典例2】（2023·全国·高三对口高考）函数的值域是（    ）A． B． C． D．【答案】C【详解】由可得，当时，故，当且仅当时等号成立，而恒成立，故，故的值域为，故选：C【典例3】（2023·全国·高三专题练习）函数的值域为（    ）A． B． C． D．【答案】A【详解】设，则，所以，因为，所以，所以函数的值域为.故选：A．【典例4】（多选）（2023·全国·高三专题练习）函数的值域为，则实数的可能取值是（    ）A． B． C． D．【答案】ABC【详解】对于A，当时，，则值域为，A正确；对于B，当时，，则值域为，B正确；对于C，当时，，则值域为，C正确；对于D，当时，，则值域为，D错误.故选：ABC.【典例5】（2023秋·陕西咸阳·高一统考期末）定义：表示不超过的最大整数，，.已知函数，，则函数的值域为______.【答案】/【详解】因为，当时，函数为减函数，所以，所以；当时，函数为减函数，所以，所以；综上所述：的值域为.故答案为：【变式1】（2023·高一课时练习）函数的图象如图所示，观察图象可知函数的定义域、值域分别是（    ）A．， B．，C．， D．，【答案】C【详解】由图像可知，函数的定义域即为自变量的取值范围，为值域即为因变量的取值范围，为故选：C【变式2】（2023·高一课时练习）若一系列函数的解析式相同，值域相同但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”，那么函数解析式为，值域为的“孪生函数”共有（    ）A．4个 B．8个 C．9个 D．12个【答案】C【详解】解：令,解得，令，解得，函数解析式为，值域为的“孪生函数”的定义域中至少含有和中的一个数，至少含有和中的一个数，可能是{，}，，，，，共9中不同的情况，故选：C.【变式3】（2023秋·陕西西安·高一西北工业大学附属中学校考阶段练习）函数 的值域是______________（用区间表示）【答案】【详解】当时，，为开口向上，对称轴为的抛物线，所以，当时，，为单调递减函数，所以，综上：，即的值域为.故答案为：【变式4】（2023·全国·高三专题练习）函数的值域为_________【答案】【详解】由已知得函数的定义域为，，，又，，又，故答案为：.【变式5】（2023·全国·高三专题练习）已知函数.(1)若函数定义域为，求的取值范围；(2)若函数值域为，求的取值范围.【答案】(1)(2)【详解】（1）函数定义域为，对任意都成立，当时，显然不恒成立，不合题意；当时，由二次函数的性质可知，需满足，解得，综上，实数的取值范围为（2）函数值域为，能取遍所有正数，1：，解得，2：， 符合题意实数的取值范围为题型03求函数解析式【典例1】（2023春·河北石家庄·高二正定中学校考阶段练习）已知，则的解析式为（    ）A． B．C． D．【答案】C【详解】令，则，又，所以，则，故选：C.【典例2】（2023·全国·高三专题练习）已知，则（    ）A． B． C． D．【答案】C【详解】令，，则，由得，，，即，.故选：C.【典例3】（2023·全国·高三专题练习）已知函数满足，则（    ）A．的最小值为2 B．C．的最大值为2 D．【答案】B【详解】因为，，所以.所以，所以的最小值，无最大值，为故A，C错误.对选项B，，因为，所以，即，故B正确.对选项D，，因为，所以，即，故D错误.故选：B【典例4】（2023·全国·高三专题练习）已知二次函数，，且.(1)求函数的解析式；(2)求函数在区间上的值域．【答案】(1)(2)【详解】（1）解：因为，所以，所以，又因为，所以，所以，所以，所以，即．（2）解：因为，所以是开口向上，对称轴为的抛物线．因为在递减，在递增，所以，因为，，所以，所以在上的值域为．【典例5】（2023·高一课时练习）已知函数（，为常数），且满足，.(1)求函数的解析式；(2)若，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】(1)(2)【详解】（1），，解得，函数的解析式为.（2），由基本不等式可得，当且仅当，即时取等号，当，函数的最小值是2，要使，关于的不等式恒成立，只需，所以，解得.实数的取值范围是【变式1】（2023秋·陕西西安·高一西北工业大学附属中学校考阶段练习）已知函数，则函数的解析式为（    ）A． B．C． D．【答案】A【详解】解：方法一（配凑法）∵，∴.方法二（换元法）令，则，∴，∴.故选：A【变式2】（2023·全国·高三专题练习）已知函数满足，则的解析式为（    ）A． B．C． D．【答案】A【详解】若，则，满足题意；若，则，不满足题意；若，则，不满足题意；若，则，不满足题意.故选：A.【变式3】（多选）（2023·全国·高三专题练习）函数分别是定义在上的奇函数和偶函数，且，则（    ）A． B．C． D．【答案】AC【详解】由得：，又分别是定义在上的奇函数和偶函数，；由得：，；对于A，，A正确；对于B，，B错误；对于CD，，C正确，D错误.故选：AC.【变式4】（2023·高一课时练习）函数对一切实数都有成立，且.求的解析式；【答案】【详解】令，，则，即，.令，则，.【变式5】（2023·全国·高三专题练习）若函数，满足，且，则________．【答案】【详解】由，可知，联立可得，所以，又因为，所以，所以.故答案为：题型04分段函数【典例1】（2023春·江苏苏州·高二星海实验中学校考阶段练习）已知函数则“”是“在上单调递减”的（    ）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【详解】若在上单调递减，则，解得.所以“”是“在上单调递减”的必要而不充分条件.故选：B【典例2】（2023·吉林·通化市第一中学校校联考模拟预测）已知函数，则方程的解集为（    ）A． B． C． D．【答案】A【详解】当时，，解得或（舍去），当x