第08讲 拓展一：指数函数+对数函数综合应用（定义域+值域+奇偶性+单调性，7类热点题型精讲）-2023-2024学年高一数学同步学精讲精练（人教A版必修第一册）

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第08讲 拓展一：指数函数+对数函数综合应用（定义域+值域+奇偶性+单调性）题型01指数（型）函数的值域（最值）【典例1】（2023·全国·高一假期作业）函数的值域为 .【答案】【详解】因为，由复合函数的单调性可得，在上单调递增，在上单调递减，所以，又恒成立，所以函数的值域为.故答案为：.【典例2】（2023·全国·高一假期作业）若函数在区间上存在零点，则实数的取值范围是 .【答案】【详解】因为函数在区间上存在零点，即与在上有交点，又， 在上单调递增，故时，则，设，则，由可得，即与在上有交点，则.故答案为：【典例3】（2023春·黑龙江哈尔滨·高二哈师大附中校考期末）已知，若对，使得，则实数的取值范围是（     ）A． B． C． D．【答案】D【详解】因为，，所以在上递减，在上递增，所以的最小值为，因为，，所以的最大值为，所以的值域为，因为在上递增，所以的值域为，因为对，使得，所以是的子集，所以，解得，即的取值范围故选：D【典例4】（2023·全国·高一假期作业）已知函数（且）是偶函数．(1)求实数a的值；(2)求函数的值域．【答案】(1)；(2).【详解】（1），因为为偶函数，所以对都有，即恒成立，即恒成立，，解得.（2）由（1）可知，所以，令（当时取等号），则，所以所求函数为，则函数在上单调递增，所以，即函数的值域为.【变式1】（2023·全国·高一专题练习）函数的值域为（    ）A． B． C． D．【答案】A【详解】依题意，令，则，因为单调递减，且所以，所以.故选：A.【变式2】（2023·全国·高一假期作业）求函数，在定义域A上的值域.【答案】【详解】令， 在是单调减函数∴，在是单调减函数，在是单调增函数∴当时，当时，∴在定义域A上的值域为【变式3】（2023·全国·高三专题练习）函数的值域为 ．【答案】 【详解】设，因为，换元得，，当时，函数取到最小值，所以函数的值域为．故答案为：；.题型02指数（型）函数的单调性【典例1】（2023春·吉林长春·高二长春外国语学校校考期末）函数与在均单调递减的一个充要条件是（    ）A． B． C． D．【答案】A【详解】因为函数在上单调递减，所以即；因为函数在上单调递减可得，解得，若函数与均单调递减，可得，所以函数与均单调递减的一个充要条件是.故选：A【典例2】（2023春·浙江杭州·高二统考学业考试）已知函数，则使得成立的的取值范围是 .【答案】【详解】因为，则，令，则的图象是由的图象向右平移个单位得到，又，即为偶函数，且当时，所以在上单调递增，则在上单调递减，所以在上单调递增，在上单调递减，且关于对称，所以时，有，解得.故答案为：【典例3】（2023春·山东德州·高二德州市第一中学校考期末）已知定义域为的函数是奇函数.(1)求，的值；(2)若存在，使成立，求的取值范围．【答案】(1)，；(2).【详解】（1）因为函数是定义在上的奇函数，所以，即，所以，又因为，所以将代入，解得，经检验符合题意，所以，，.（2）由（1）知：函数，所以函数在上是减函数.因为存在，使成立，又因为函数是定义在上的奇函数，所以不等式可转化为，又因为函数在上是减函数，所以， 所以，令，题意可知：问题等价转化为，又因为，所以,故的取值范围为.【变式1】（2023春·河北沧州·高二统考期末）已知，，则（    ）A． B．C． D．【答案】A【详解】∵函数单调递减，，，∴；∵，∴；由，得，∵函数单调递减，∴，∴，，所以故选：A．【变式2】（2023春·河北·高二校联考期末）已知，且，则下列各式一定成立的是（    ）A． B． C． D．【答案】A【详解】根据题意，，其定义域为，有，则为偶函数，设，则有，当时，在区间，上，为增函数，且，在，上也是增函数，故在，上为增函数，当时，在区间，上，为减函数，且，在上是减函数，故在，上为增函数，综合可得：函数在，上为增函数，依次分析选项：对于A，有，A正确；对于B，有，B错误；对于C，有，C错误；对于D，，D错误．故选：A．【变式3】（2023春·河北石家庄·高一校考期末）已知函数为奇函数．(1)求实数的值；(2)求不等式的解集．【答案】(1)(2)【详解】（1）（1）因为为奇函数，定义域为，因为，即，所以，经检验，符合题意．（2）因为，所以，所以，因为为奇函数，，所以，由（1）知：因为在R上递增，所以在上是增函数，所以，解得，所以不等式的解集是.题型03指数型函数的奇偶性【典例1】（2023春·河南商丘·高二商丘市第一高级中学校考期末）已知为奇函数，则（    ）A．-2 B．-1 C．1 D．2【答案】D【详解】因为为奇函数，则，又因为不恒为0，可得，即，则，即，解得.故选：D.【典例2】（2023·全国·高一假期作业）设，，为奇函数，则的值为 ．【答案】【详解】要使为奇函数，∵ ,∴需，∴，由,得,．故答案为：1.【变式1】（2023春·河南洛阳·高一统考期末）已知是偶函数，则a=（    ）A．2 B．1 C．－1 D．－2【答案】A【详解】根据偶函数的定义：即，得，即，可得，即，故选：A【变式2】（2023春·陕西榆林·高二统考期末）若函数为奇函数，则实数 .【答案】【详解】因为函数为奇函数，所以，恒成立，即，解得，故答案为：题型04对数（型）函数的定义域【典例1】（2023春·海南海口·高一海口一中校考期中）函数的定义域为 .【答案】【详解】由题意由，即，解得，所以函数的定义域为.故答案为：【典例2】（2023·高一课时练习）已知．(1)求的定义域；(2)求使的的取值范围．【答案】(1)(2)【详解】（1）要使函数有意义，需满足，即解得，的定义域为．（2）∵,∴,∴,即,解得．∴的取值范围为.【变式1】（2023春·浙江温州·高二统考学业考试）函数的定义域为（    ）A． B． C． D．【答案】D【详解】因为，所以，解得且，所以的定义域为.故选：D.【变式2】（2023·上海松江·校考模拟预测）函数的定义域为 .【答案】【详解】函数中，，即，解得，所以函数的定义域为.故答案为：题型05对数（型）函数的值域（最值）【典例1】（2023·全国·高一专题练习）函数的值域为，则实数的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】C【详解】因为函数的值域为，所以，为函数的值域的子集，所以，，解得.故选：C.【典例2】（2023·高一课时练习）函数的最小值是（    ）．A．10 B．1 C．11 D．【答案】B【详解】设，则，因为，所以，所以的最小值为1，故选：B【典例3】（2023春·安徽滁州·高一滁州市第二中学校联考期中）函数的值域为 .【答案】【详解】因为，所以.所以函数的值域为：故答案为：【典例4】（2023秋·黑龙江哈尔滨·高一哈尔滨市第六中学校校考期末）已知函数．(1)判断并证明函数的奇偶性；(2)当时，恒成立．求实数的取值范围．【答案】(1)奇函数，证明见解析(2)【详解】（1）由函数，得，即，解得或，所以函数的定义域为，关于原点对称．又，，所以是奇函数；（2）恒成立，则，即在恒成立，令，因为在上单调递增，当时，，所以时，，则实数的取值范围是．【变式1】（2023春·辽宁沈阳·高一沈阳市第一二〇中学校考开学考试）已知函数的值域为，则实数a的取值范围是（    ）A． B．C． D．【答案】B【详解】时，，又的值域为，则时，的值域包含， ，解得：.故选：B【变式2】（2023·高一课时练习）已知函数的最大值与最小值的差为2，则（    ）A．4 B．3 C．2 D．【答案】C【详解】由题意得在上为单调递增函数，所以，，所以，解得，又，所以.故选：C【变式3】（2023春·江苏南通·高二统考阶段练习）已知函数且.(1)判断函数的奇偶性，并说明理由；(2)若，当时，求的值域.【答案】(1)奇函数，理由见解析(2)【详解】（1）为奇函数，理由如下：由得：，的定义域为；，为定义在上的奇函数.（2），，；方法一：当时，，，，，即的值域为；方法二：令，在上单调递减，，，，，即的值域为.【变式4】（2023秋·高一单元测试）已知f(x)＝loga(1－x)＋loga(x＋3)(a＞0，且a≠1)．(1)求函数f(x)的定义域、值域；(2)若函数f(x)的最小值为－2，求a的值．【答案】(1)见解析；(2)﹒【详解】（1）由，得，函数的定义域，，设，，又，则．当时，，值域为．当时，，值域为．（2）由题设及(1)知：当时，函数有最小值，，解得．题型06对数（型）函数的单调性【典例1】（2023·全国·高一假期作业）已知函数，则的单调增区间为 .【答案】【详解】令，即，由，则在上递增，在上递减，综上，在上递增，在上递减，而在定义域上递增，所以的单调增区间为.故答案为：【典例2】（2023春·河南南阳·高二统考期末）若在区间上单调递增，则实数的取值范围为（    ）A． B． C． D．【答案】C【详解】令，则在上单调递减，由题意可得需满足，且在上单调递减，令，则在上恒成立，即在上恒成立，而在上单调递减，即，故；经检验当时，在上恒成立，在上单调递减，符合题意；由，则在上恒成立，所以，故，综合以上可得，故选：C【典例3】（2023春·福建福州·高二校联考期末）若函数在上单调，则实数的取值范围是（    ）A． B．C． D．【答案】D【详解】由题意可得，，解得或.所以函数的定义域为.令，函数的对称轴为，且开口向上，函数在上单调递增，在上单调递减，由外层函数是其定义域内单调递增，所以要使函数在上单调，则或，解得或，则实数的取值范围是.故选：D．【变式1】（2023春·江苏南京·高二统考期末）已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】D【详解】函数可看作函数，的复合函数， 又函数在上单调递增，而函数在区间上单调递增，则有函数在区间上单调递增，且在区间恒成立，因此，解得，所以的取值范围是.故选：D.【变式2】（2023春·河北承德·高二统考期末）已知函数，且．(1)求的定义域；(2)求不等式的解集．【答案】(1)(2)【详解】（1）， 则，解得， 则，则，解得，故的定义域为．（2）由（1）知，． 因为函数在上单调递增，所以在上单调递增． 又，所以等价于，解得．则不等式的解集为．【变式3】（2023春·河南平顶山·高一汝州市第一高级中学校联考阶段练习）已知函数在上单调递增，则a的取值范围是 ．【答案】【详解】函数在上单调递增，依题意，，，且在上单调递增，因此，解得，所以a的取值范围是.故答案为：题型07对数（型）函数的奇偶性【典例1】（2023春·安徽·高一安徽省颍上第一中学校联考阶段练习）已知函数是奇函数，则a的值为 .【答案】【详解】因为，即在R上恒成立，所以函数的定义域为R，又函数是奇函数，所以，则，所以.故答案为：【典例2】（2023秋·甘肃白银·高一统考期末）已知函数，其中且.(1)判断的奇偶性；(2)若，解关于x的不等式.【答案】(1)奇函数(2)【详解】（1）因为的定义域关于原点对称，因为，所以为奇函数；（2）当时，由可得，所以，故，故不等式的解集为．【变式1】（2023·河南·校联考模拟预测）若函数为奇函数，则（    ）A．0 B． C． D．【答案】B【详解】，因为为奇函数，所以，即，所以，经检验，满足题意,所以，所以.故选：B.【变式2】（2023春·贵州黔南·高二统考期末）若函数是奇函数，则a的值为 ．【答案】【详解】因为函数是奇函数，所以，即，所以，即，所以，即a的值为.故答案为：