第10讲 第四章 指数函数与对数函数 章末重点题型大总结（8类重点题型+4种数学思想）-2023-2024学年高一数学同步学精讲精练（人教A版必修第一册）

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第10讲 第四章 指数函数与对数函数 章末题型大总结一、思维导图二、题型精讲题型01有关指数、对数的运算【典例1】（2023春·四川雅安·高二统考期末）计算：(1)；(2).【答案】(1)(2)【详解】（1）（2）【典例2】（2022秋·四川成都·高一石室中学校考期中）求下列各式的值：(1)计算：；(2)若，求的值．【答案】(1)(2)【详解】（1）（2）因为，所以，所以，所以.【变式1】（2023春·吉林长春·高二长春外国语学校校考期末）（1）已知，求实数的值；（2）【答案】（1）； （2）【详解】（1）；（2）.【变式2】（2023·全国·高三专题练习）计算(1) .(2) .【答案】(1)(2)2【详解】（1）＝ ＝ ＝ ＝ （2）=2题型02数的大小比较问题【典例1】（2023春·贵州六盘水·高一统考期末）设，，，则，，的大小关系（    ）A． B．C． D．【答案】D【详解】由对数函数的性质，可得，又由指数函数的性质，可得，由幂函数在为单调递增函数，可得，所以，所以，即.故选：D.【典例2】（2021秋·广东汕尾·高一海丰县海城仁荣中学校考阶段练习）设，，，则（    ）A． B．C． D．【答案】C【详解】∵，∴，∵，∴，，则，∵，∴，综上，.故选：C.【变式1】（2023春·广西北海·高二统考期末）设，则（    ）A． B．C． D．【答案】A【详解】故选：A.【变式2】（2023春·河南安阳·高二统考期末）已知，，，则（    ）A． B． C． D．【答案】C【详解】因为，所以，又因为，且，所以，所以，即，因此，故选:C.题型03定义域问题【典例1】（云南省红河哈尼族彝族自治州2022-2023学年高一下学期期末学业质量监测数学试题）函数的定义域为（    ）．A． B．C． D．【答案】A【详解】由题得，解得且.故选：A.【典例2】（2023春·重庆永川·高一重庆市永川北山中学校校考开学考试）已知函数是定义在R上的增函数，则实数a的取值范围是 .【答案】【详解】∵函数在R上单调递增，∴，即实数a的取值范围是．故答案为：．【变式1】（2023春·北京顺义·高二牛栏山一中校考期末）函数的定义域为 .【答案】【详解】因为，所以，解得，所以的定义域为.故答案为：.【变式2】（2023·全国·高三专题练习）函数的定义域为，则实数m的取值范围是 ．【答案】【详解】由函数的定义域为，得，恒成立．当时，，成立；当时，需满足于是．综上所述，m的取值范围是．故答案为：.题型04值域问题【典例1】（2023·全国·高三专题练习）函数在上的最大值为 ．【答案】【详解】在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，.故答案为：【典例2】（2023春·陕西榆林·高一统考期末）已知函数，.(1)判断函数的奇偶性并予以证明；(2)若存在使得不等式成立，求实数的最大值.【答案】(1)偶函数，证明见解析(2)1【详解】（1）函数为偶函数，证明如下：，由，解得，的定义域为，关于原点对称，，为偶函数.（2）若存在使得不等式成立，，而，，函数在上单调递增，在上单调递减，函数在上单调递增，在上单调递减，，，即，实数的最大值为1.【典例3】（2023春·江苏扬州·高一统考开学考试）已知函数，且．(1)求实数a的值，并用单调性定义证明在上单调递增；(2)若当时，函数的最大值为，求实数m的值．【答案】(1)a＝1，证明见解析(2)2【详解】（1）由得a＝1．任取，，且，．由，得，，所以，所以．所以函数在上单调递增．（2）由（1）知在上单调递增，所以，即，解得m＝2或（舍去），所以m＝2．【典例4】（2023春·河南焦作·高一统考期末）已知函数，．(1)若，函数在区间上存在零点，求的取值范围；(2)若a＞1，且对任意，都有，使得成立，求a的取值范围．【答案】(1)(2)．【详解】（1）函数在区间上单调递减，则由零点存在定理可得，即解得，所以的取值范围是．（2）若对任意，都有，使得成立，则当时，．因为a＞1，所以当时，单调递减，单调递增，所以，，所以．当1＜a＜2时，，，不符合条件，当时，，，符合条件，所以a的取值范围是．【变式1】（2023·全国·高三专题练习）已知函数，对都有成立，则实数的取值范围是 .【答案】【详解】在上单调递减，所以，因为对都有成立，所以，故答案为：【变式2】（2023秋·云南红河·高一统考期末）已知函数.(1)当时，求的解集；(2)求函数在区间上的最小值.【答案】(1)(2)【详解】（1）当时， 不等式，即，解得.所以不等式的解集为.（2）易知的对称轴为，则①当时，在上单调递增，则. ②当时，在上单调递减，在上单调递增，则③当时，在上单调递减，则综上.【变式3】（2023春·河南新乡·高一统考期末）已知函数．(1)求不等式的解集；(2)若不等式对恒成立，求实数的取值范围．【答案】(1)(2)【详解】（1）令，则不等式即为，因为，在定义域上单调递增，在定义域上单调递减，所以在定义域上单调递增，又，所以时，即不等式的解集为.（2）由对恒成立，可得对恒成立，令，因为，所以，，所以，又，当且仅当，即时取等号，所以，即实数的取值范围为.【变式4】（2023春·新疆昌吉·高二统考期末）已知（实数b为常数）．(1)当时，求函数的定义域D；(2)若不等式当时恒成立，求实数b的取值范围．【答案】(1)(2)【详解】（1）当时，，则或，解之得或，即．（2）当时，，为单调递增函数，故，令，则，故．令，且，，当且时，，则，可得在上单调递减，则，所以，解得，即b的取值范围为．题型05指数（型）函数的图象与性质【典例1】（2023秋·广西河池·高一统考期末）已知函数,若，且，则的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】D【详解】作出的图象，如图所示：    由，可得，则，令，则，故．故选：D．【典例2】（2023春·陕西宝鸡·高二统考期末）已知函数.(1)试判断函数的单调性，并加以证明；(2)若关于的方程在上有解，求实数的取值范围.【答案】(1)在上单调递增，证明见解析(2)【详解】（1）在上单调递增，证明如下：任取，则，由于，所以，，所以在上单调递增.（2）由（1）可知，在上单调递增，，，所以在区间上的值域为，所以m的取值范围是.【典例3】（2023春·福建·高二统考学业考试）函数，.(1)求函数的定义域；(2)若为奇函数，求m的值；(3)当时，不等在恒成立，求k的取值范围.【答案】(1)(2)(3)【详解】（1）依题意可得，解得，所以的定义域为.（2）若为奇函数，所以，，所以，所以，所以.（3）当时，,所以不等式在恒成立，即，即，令，，因为，所以，所以，当且仅当取等，所以.故k的取值范围为.【变式1】（多选）（2023·全国·高三专题练习）（多选）已知函数（且）的图象如图所示，则下列结论正确的是（　　）  A． B． C． D．【答案】ABD【详解】由图象可知，函数（且）在上单调递增，则，且当时，，可得.对于A选项，，A对；对于B选项，，B对；对于C选项，，C错；对于D选项，由题意可知，，则，所以，，D对.故选：ABD.【变式2】（2023春·湖北荆州·高一校联考期中）已知函数，且，当的定义域是时，此时值域也是.(1)求的值；(2)若，证明为奇函数，并求不等式的解集.【答案】(1)，或，(2)证明见解析，【详解】（1）当时，函数单调递减，且.又在上单调递增，根据复合函数的单调性可知，函数在上单调递减，所以，解得；当时，函数单调递增，且.又在上单调递增，根据复合函数的单调性可知，函数在上单调递增，所以，解得.综上，，或，.（2）因为，所以，，则，定义域为，且函数在上单调递增.因为，所以为奇函数.则不等式，可化为.又函数在上单调递增，则，即，所以不等式的解集为.【变式3】（2023春·江苏南京·高二统考期末）已知函数.(1)当时，解不等式；(2)当对恒成立时，求整数的最小值.【答案】(1)(2)4【详解】（1）当时，函数，当时，可得，解得.即（2）因为，所以可得，由于，所以所以，令，所以，所以因为，所以，故,所以整数的最小值为4.题型06对数（型）函数的图象与性质【典例1】（2023春·湖北荆门·高二统考期末）设函数在定义域上满足，若在上是减函数，且，则不等式的解集为（    ）A． B．C． D．【答案】D【详解】由，可得为上的奇函数，且.因为在上是减函数，所以在上是减函数.又，所以.由，可得或，解得或.所以不等式的解集为.故选:D.【典例2】（2023春·陕西宝鸡·高一统考期末）已知函数的最小值为0，则实数的取值范围是 ．【答案】【详解】函数最小值为0，设，所以只要满足恒成立，函数对称轴为，且，①，即时，满足题意；②，即时，需满足，即，得，此时实数的取值范围是.综上，实数的取值范围是故答案为：.【典例3】（2023春·浙江丽水·高二统考期末）已知函数是偶函数．(1)若，求的值；(2)若实数满足，求的取值范围．【答案】(1)(2)或【详解】（1）由已知可得，.因为是偶函数，所以对任意恒成立，即对任意恒成立，所以，所以，所以.由可得，，化简可得，即，所以，，解得．（2）.令，，则，根据对勾函数的单调性可知，在上单调递增.又单调递增，根据复合函数的单调性可知，在上单调递增.又函数单调递增，根据复合函数的单调性可知，在上单调递增.又因为函数为偶函数，所以有，.所以，由即可得出，所以，.平方整理可得，，解得或．【典例4】（2023秋·重庆长寿·高一统考期末）已知函数为奇函数.(1)求实数的值，判断函数的单调性并用定义证明；(2)求关于的不等式的解集.【答案】(1),在上是增函数，证明见解析(2)或.【详解】（1）解：因为的定义域是且是奇函数，可得，可得，函数在上是增函数，证明如下：任取，且，则，因为为增函数，且，所以，所以，所以，即，所以在上是增函数.（2）解：由（1）知在上是增函数，且，则不等式，即为，可得，即，解得或，所以不等式的解集为或.【变式1】（2023春·广西北海·高二统考期末）设，若，则的最大值为 .【答案】【详解】因为，所以，又，所以.因为，根据基本不等式有，当且仅当，即时等号成立，所以.则，所以的最大值为.故答案为：.【变式2】（2023春·山东日照·高二统考期末）已知函数是偶函数．(1)求k的值；(2)若方程有解，求实数m的取值范围．【答案】(1)(2)【详解】（1）由已知可得，.因为为R上的偶函数，所以，即，即恒成立，所以，解得，经检验，满足题意，故.（2）由（1）知，.令，则，当且仅当时等号成立，所以，即，所以.因为方程有解，即有解，所以，即.【变式3】（2023·全国·高一假期作业）已知函数为定义在上的偶函数，当时，的图象过点．(1)求a的值：(2)求的解析式；(3)求不等式的解集．【答案】(1)(2)(3)【详解】（1）解：因为当时，的图象过点，所以，解得．（2）设，则，则．                       因为为定义在上的偶函数，则．                                综上所述，（3）由，得或                         解得或．                                 故不等式的解集为．题型07函数与方程【典例1】（2023春·河南商丘·高二商丘市第一高级中学校考期末）已知函数，则函数的零点的个数是（    ）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】D【详解】令．①当时，，则函数在上单调递增，由于，由零点存在定理可知，存在，使得；②当时，，由，解得，．作出函数，直线，，的图象如下图所示：      由图象可知，直线与函数的图象有三个交点；直线与函数的图象有两个交点；直线与函数的图象有且只有一个交点．综上所述，函数的零点个数为．故选：D．【典例2】（多选）（2023春·陕西西安·高一西安市铁一中学校考期末）已知函数，若函数有三个零点，，，且，则下列结论正确的是（    ）A．m的取值范围为 B．的取值范围为C． D．最大值为1【答案】AC【详解】函数图象如图所示：  由图可得，A正确；当时,, 故，B错误；又且，故, 可得，C正确又可得， 又，故等号不成立,即，D错误,故选：AC.【典例3】（2023春·山东烟台·高二统考期末）已知函数，若方程有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围为 ．【答案】【详解】当时，，则，若，当时，，因为方程有两个不相等的实数根，如图，  所以，即.若，当时，，此时方程有1个解，如图，  当时，方程有1个解需满足，即.综上所述，实数a的取值范围为.故答案为：.【变式1】（多选）（2023春·山东德州·高二统考期末）已知函数，，下列说法正确的是（    ）A．若是偶函数，则B．的单调减区间是C．的值域是D．当时，函数有两个零点【答案】ABD【详解】对于A，若是偶函数，定义域为，对于任意的，由，所以，所以，A正确，对于B, 由复合而成，由于在单调递减，开口向上的二次函数在单调递增，所以由复合函数单调性的判断可知的单调减区间是，B正确，对于C，由B可知，的单调减区间是，单调增区间为，故当时，取最大值，故，故值域为，故C错误，对于D，由C可知值域为，如图：当时，此时，所以有两个交点，故D正确，    故选：ABD【变式2】（2023秋·云南红河·高一统考期末）已知函数满足，当时，.函数 (且)，若函数在区间上恰有20个零点，则实数的取值范围为 .【答案】【详解】函数在区间上恰有20个零点，则函数图象与函数图象在区间上有20个交点，由知，是周期为2的函数，作函数与函数的部分图象如下：  易知当时，函数图象与函数图象有17个交点，故在上有3个交点，显然不满足题意，所以则需，解得故答案为：【变式3】（2023秋·山西运城·高一统考期末）已知函数.(1)若函数，，求函数的最小值；(2)设，若函数与图象有个公共点，求实数的取值范围.【答案】(1)(2)【详解】（1）解：因为，则，，设，则，则，则二次函数的对称轴方程为.当时，即当时，函数在上单调递增，故当时，；当时，即当时，函数在上单调递减，故当时，；当时，即当时，在上单调递减，在上单调递增，故当时，.综上：.（2）解：，因为函数与图象有个公共点，由可得且，由，可得，设，则，即，又因为函数在上单调递增，所以方程有两个不等的正根，所以，，解得，因此，实数的取值范围为.题型08函数模型及其应用【典例1】（2023春·湖南长沙·高一湖南师大附中校考期末）某教学软件在刚发布时有100名教师用户，发布5天后有1000名教师用户，如果教师用户人数与天数t之间满足关系式：，其中为常数，是刚发布的时间，则教师用户超过30000名至少经过的天数为（    ）（参考数据：）A．11 B．12 C．13 D．14【答案】C【详解】由题意得，可得，所以，则，故，所以教师用户超过20000名至少经过天.故选：C【典例2】（2023·全国·高一假期作业）大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回到自己出生的淡水流域产卵．记鲑鱼的游速为v（单位：），鲑鱼的耗氧量的单位数为Q，研究发现，当时，鲑鱼的耗氧量的单位数为51200，则当时，鲑鱼的耗氧量的单位数为（    ）A．400 B．800 C．1600 D．3200【答案】B【详解】因为时，鲑鱼的耗氧量的单位数为，所以，当时，可得，两式相除，可得，即，可得，解得.故选：B.【典例3】（2023·全国·高三专题练习）科研小组研制钛合金产品时添加了一种新材料，该产品的性能指标值y是这种新材料的含量（单位：克）的函数．研究过程中的部分数据如下表：已知当时，，其中为常数．当时，和的关系为以下三种函数模型中的一个：①；②且；③且；其中均为常数．(1)选择一个恰当的函数模型来描述之间的关系，并求出其解析式；(2)求该新材料的含量为多少克时，产品的性能达到最大．【答案】(1)选择①的函数模型，理由见详解，此时解析式为：；(2)当新材料的含量克时，产品的性能达到最大.【详解】（1）由表格知当时，，若选①，则，若选②且，则，此时且不满足时，，故不选，若选③且，时无意义，故不选，所以选①的函数模型来描述之间的关系，由题意有当时，由，且时得：；当时得：；当时得：；联立，解得：，所以当时，.（2）由（1）当时，，又当时，，将代入上式有：，解得：，即当时，综上有，当时，，所以当时，取到最大值，当时，单调递减，所以当时，，故当新材料的含量克时，产品的性能达到最大.【典例4】（2023秋·广东清远·高一统考期末）在无菌培养环境中，某类细菌的繁殖在初期会较快，随着单位体积内细菌数量的增加，繁殖速度又会减慢，在一次实验中，检测到这类细菌在培养皿中的数量y（单位：百万个）与培养时间x（单位：小时）的3组数据如下表所示.(1)当时，根据表中数据分别用模型和建立关于的函数解析式.(2)若用某函数模型根据培养时间来估计某类细菌在培养皿中的数量，则当实际的细菌数量与用函数模型得出的估计值之间的差的绝对值不超过0.5时，称该函数模型为“理想函数模型”，已知当培养时间为9小时时，检测到这类细菌在培养皿中的数量为6.2百万个，你认为（1）中哪个函数模型为“理想函数模型”？说明理由.（参考数据：）(3)请用（2）中的“理想函数模型”估计17小时后，该类细菌在培养皿中的数量.【答案】(1)，(2)模型①是“理想函数模型”，理由见解析(3)（百万个【详解】（1）当时，，由图表数据可得，，，联立上式，解方程可得，，则；当时，，由图表数据可得，联立上式，解方程可得，则；（2）考虑①，由，可得，而，可得模型①是“理想函数模型”；考虑②，由，可得而，所以模型②不是“理想函数模型”；（3）由（2）可得时，（百万个【变式1】（2023秋·重庆长寿·高一统考期末）2020年12月17日凌晨，嫦娥五号返回器携带月球样品在内蒙古四子王旗预定区域安全着陆，嫦娥五号返回舱之所以能达到如此高的再入精度，主要是因为它采用弹跳式返回弹道，实现了减速和再入阶段弹道调整，这与“打水漂”原理类似.现将石片扔向水面，假设石片第一次接触水面的速率为，这是第一次“打水漂”，然后石片在水面上多次“打水漂”，每次“打水漂”的速率为上一次的，若要使石片的速率低于，则至少需要“打水漂”的次数为（    ）（参考数据：取）A．9 B．10 C．11 D．12【答案】B【详解】设石片第次“打水漂”时的速率为，则，，，则，即，解得，故至少需要“打水漂”的次数为10．故选：．【变式2】（2023·全国·高三对口高考）在某种新型材料的研制中，实验人员获得了下列一组实验数据．现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是（    ）A． B． C． D．【答案】B【详解】法一：由表格数据得到如下散点图，为递增趋势，随变大增长率变小，只有B符合；  法二：对于A，函数是指数函数，增长速度很快，且在时，时，代入值偏差较大，不符合要求； 对于B，函数，是对数函数，增长速度缓慢，且在时，时，基本符合要求；对于C，函数是二次函数，且当时，时，代入值偏差较大，不符合要求；对于D，函数，当时，代入值偏差较大，不符合要求，故选：B.【变式3】（2023秋·四川泸州·高一统考期末）行驶中的汽车在刹车时由于惯性作用，要继续往前滑行一段距离才能停下，这段距离称为刹车距离，在某种路面上，经过多次实验测试，某种型号汽车的刹车距离（米）与汽车的车速（千米/时，）的一些数据如表．为了描述汽车的刹车距离（米）与汽车的车速（千米时）的关系，现有三种函数模型供选择：，，．(1)请选出你认为最符合实际的函数模型，并求出相应的函数解析式；(2)如果要求刹车距离不超过米，求行驶的最大速度．【答案】(1)最符合实际的函数模型，，；(2)千米/时．【详解】（1）结合表格数据可得最符合实际的函数模型，将，；，；，分别代入上式可得，解得，即所求的函数解析式为，；（2）令，即，解得，又，所以，即要求刹车距离不超过米，则行驶的最大速度为千米时．三、数学思想01数形结合的思想1．（2023春·广东广州·高一校联考期末）已知是定义上的奇函数，且在上单调递减，且为偶函数，若在上恰好有4个不同实数根，则 ．【答案】【详解】因为为偶函数，则，故，又是定义在上的奇函数，则，所以，故，即有，所以是周期为，且关于对称的奇函数，又在上单调递减，结合上述分析知：在上递增，上递减，上递增，所以在的大致图像如下：要使在上恰好有4个不同的实数根，即与的图像有4个交点，所以必有两对交点分别关于对称，则.故答案为：.2．（2023春·河南商丘·高二商丘市第一高级中学校考期末）定义在R上的函数满足，，当时，，则函数有 个零点．【答案】7【详解】因为定义在R上的函数满足，所以是以4为周期的周期函数，因为当时，，所以的图象如图所示，由，得，所以将问题转化为的图象与交点的个数，因为，，，，所以的图象与的图象共有7个交点，所以有7个零点，故答案为：7  02分类讨论的思想1．（2023秋·吉林·高一吉林省实验校考期末）已知函数（，且）是指数函数．(1)求，的值；(2)求解不等式．【答案】(1)，(2)答案见解析【详解】（1）因为(，且)是指数函数，所以，，所以，.（2）由（1）得(，且)，当时，在R上单调递增，则由，可得，解得；当时，在R上单调递减，则由，可得，解得；综上：当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为.2．（2023秋·高一单元测试）已知函数（且）．(1)求函数的定义域．(2)判断函数的奇偶性并给出证明．(3)求使成立的x的取值范围．【答案】(1)(2)奇函数，证明见详解；(3)当时，使的x的取值范围为；当时，使的x的取值范围为.【详解】（1）由题意可知，解得，所以函数的定义域为；（2）函数为奇函数；证明：因为的定义域为，设，则，所以所以函数为奇函数；（3）因为，当时，若，则，即且，解得；当时，若，则，即且，解得；综上所述，当时，使的x的取值范围为；当时，使的x的取值范围为.03换元的思想1．（2023春·湖北·高二统考期末）已知函数，记函数.(1)若成立的必要条件为，则实数的取值范围；(2)若，且，求的取值范围.【答案】(1)(2)【详解】（1），，，，又，的解集为，成立的必要条件为，，即，，解得：，即实数的取值范围为.（2），设，则，，与关于对称，，，设，，，，令，则，设，由对勾函数性质知：在上单调递减，在上单调递增，，，，即，的取值范围为.2．（2023春·安徽安庆·高一统考期末）已知函数．(1)当函数是偶函数时，解不等式：；(2)若函数有两个零点，求实数a的取值范围．【答案】(1)(2)【详解】（1）函数的定义域为，，，因为函数是偶函数，所以，即，则有，化简得，因为不恒为0，所以，即．，即，化简得，即，即，解得，所以不等式的解集为．（2）由题有两个零点，定义域为，即方程在上有两个实数根，在上有两个实根，即在上有两个实数根，所以令，则在上有两个实数根，所以函数与图象有两个交点，因为，当时，，当时，，结合函数的图象可知，当时，恰有两个交点，所以实数的取值范围为．  04转化与化归的思想1．（2023春·新疆塔城·高一乌苏市第一中学校考阶段练习）函数定义在上的奇函数.(1)求m的值；(2)判断的单调性，并用定义证明；(3)解关于x的不等式.【答案】(1)(2)在上单调递增，证明见解析(3)答案见解析【详解】（1）解法1：因为为定义在上的奇函数，所以，所以，得，即.因为，所以，即.解法2：因为为定义在上的奇函数，所以.当时，，所以.（2）在上单调递增.由（1）得.任取，由于，又,所以，所以在上单调递增.（3）由（2）得函数在上单调递增，且为奇函数，所以不等式等价于等价于，等价于，等价于所以，当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为空集.2．（2023秋·浙江杭州·高二校考期末）已知是定义在上的奇函数，且，若，时，有．(1)证明：在上是增函数；(2)解不等式；(3)若存在实数使得成立，求实数的取值范围．【答案】(1)证明见解析(2)(3)或【详解】（1）对任意的，由题意得：当,时，，则，故在上是增函数．（2）因为为奇函数，且在上是增函数，则则不等式的解集为（3）存在实数，使得，等价于，则，所以实数的取值范围是或（单位：克）02610…－488…2353.54.55.51.953.003.945.106.120.971.591.982.352.61040608008.418.632.8