专题1.4 充分条件与必要条件-2023-2024学年高一数学重点题型专项训练（人教A版必修第一册）

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\l "_Tc11948" 【题型1 命题的概念】 PAGEREF _Tc11948 \h 1
\l "_Tc894" 【题型2 判断命题的真假】 PAGEREF _Tc894 \h 2
\l "_Tc2004" 【题型3 充分条件、必要条件及充要条件的判定】 PAGEREF _Tc2004 \h 5
\l "_Tc5470" 【题型4 充分条件、必要条件及充要条件的探索】 PAGEREF _Tc5470 \h 6
\l "_Tc29774" 【题型5 由充分条件、必要条件求参数】 PAGEREF _Tc29774 \h 8
\l "_Tc31563" 【题型6 充要条件的证明】 PAGEREF _Tc31563 \h 9
【知识点1 命题】
命题及相关概念
【题型1 命题的概念】
【例1】（2023·江苏·高一假期作业）下列语句为真命题的是（ ）
A．a>b
B．四条边都相等的四边形为矩形
C．1+2=3
D．今天是星期天
【解题思路】先根据命题的定义判断是否是命题，然后再判断真假即可
【解答过程】对于A，因为此语句不能判断真假，所以不是命题，所以A错误，
对于B，此语句是命题，而在平面内四条边都相等的四边形是菱形，所以B错误，
对于C，1+2=3是命题，且是真命题，所以C正确，
对于D，因为此语句不能判断真假，所以不是命题，所以D错误，
故选：C.
【变式1-1】（2023·江苏·高一假期作业）以下语句：①0∈N；②x2+y2=0；③x2>x；④xx2+1=0，其中命题的个数是（ ）
A．0B．1
C．2D．3
【解题思路】根据命题的定义进行判断.
【解答过程】①是命题，且是假命题；②、③不能判断真假，不是命题；④不是陈述句，不是命题．
故选：B.
【变式1-2】（2023·高一课时练习）下列语句中：①−11；③x2−1=0有一个根为0；④高二年级的学生；⑤今天天气好热！⑥有最小的质数吗？其中是命题的是（ ）
A．①②③B．①④⑤C．②③⑥D．①③
【解题思路】根据命题的定义即可求解.
【解答过程】命题是能判断真假的陈述句，
由于⑤⑥不是陈述句，故不是命题，
②④无法判断真假，故不是命题，
①③可以判断真假且是陈述句，故是命题，
故选：D.
【变式1-3】（2022·高一课时练习）给出下列语句：①x>1．②3比5大．③这是一棵大树．④求证：3是无理数．⑤二次函数的图象太美啦！⑥4是集合1,2,3,4中的元素．其中是命题的个数为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【解题思路】根据命题的定义逐个分析判断即可.
【解答过程】命题是指可以判断真假的陈述句，所以②⑥是命题，
①不能判断真假，不是命题；
③“大树”没有界定标准，不能判断真假，不是命题；
④是祈使句，不是命题；
⑤是感叹句，不是命题．
故选：A.
【题型2 判断命题的真假】
【例2】（2023·江苏·高一假期作业）下列命题中真命题有（ ）
①mx2+2x−1=0是一元二次方程；
②函数y=2x−1的图象与x轴有一个交点；
③互相包含的两个集合相等；
④空集是任何集合的真子集．
A．1个B．2个
C．3个D．4个
【解题思路】对于①，举反例m=0即可判断；对于②，令y=0，求解即可判断；对于③，根据包含关系即可判断；对于④，根据空集不是本身的真子集即可判断.
【解答过程】①中，当m=0时，mx2+2x−1=0是一元一次方程，①错误；
②中，令y=0，则2x−1=0,x=12，所以函数y=2x−1的图象与x轴有一个交点，②正确；
③中，互相包含的两个集合相等，③正确；
④中，空集不是本身的真子集，④错误．
故选：B.
【变式2-1】（2022秋·重庆·高一校考期中）下列命题中，是真命题的是（ ）
A．如果a>b，那么a2>b2B．如果a>b，那么ac2>bc2
C．如果a>b,c>d，那么ad>bcD．如果a>b,cb−d
【解题思路】ABC选项举出反例即可判断，D选项结合不等式的性质即可判断.
【解答过程】A选项：若a=0,b=−1，满足a>b，但是a2b，但是ac2=bc2，因此是假命题，故B错误；
C选项：若a=3,b=−1，c=2,d=−13，满足a>b,c>d，但是adb，因此a−c>b−d，因此是真命题，故D正确，
故选：D.
【变式2-2】（2023·全国·高一假期作业）下列命题：
①矩形既是平行四边形又是圆的内接四边形;
②菱形是圆的内接四边形且是圆的外切四边形;
③方程x2−3x−4=0的判别式大于0;
④周长相等的两个三角形全等或面积相等的两个三角形全等;
⑤集合A∩B 是集合A的子集，且是A∪B的子集．
其中真命题的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【解题思路】根据矩形以及菱形的性质即可判断①②，根据一元二次方程的判别式即可判断③，根据三角形全等的判断即可判断④，根据集合的关系即可判断⑤.
【解答过程】对于①，矩形是平行四边形，同时矩形有外接圆，故正确;
对于②，菱形不一定有外接圆，故错误，
对于③，方程x2−3x−4=0的判别式为Δ=9−4×−4=25>0，故正确，
对于④，周长或者面积相等的三角形不一定全等，故错误，
对于⑤，A∩B⊆A,A⊆A∪B,故正确;
故选：C．
【变式2-3】（2023秋·上海黄浦·高一校考阶段练习）设a∈R，关于x,y的方程组x−ay=1ax+y=a.对于命题：①存在a，使得该方程组有无数组解；②对任意a，该方程组均有一组解，下列判断正确的是（ ）
A．①和②均为真命题B．①和②均为假命题
C．①为真命题，②为假命题D．①为假命题，②为真命题
【解题思路】通过解方程组的知识求得正确答案.
【解答过程】由x−ay=1得x=ay+1，则aay+1+y=a，a2+1y=0，所以y=0，
则x=1ax=a，解得x=1，
所以关于x,y的方程组x−ay=1ax+y=a有唯一解x=1y=0.
所以①为假命题，②为真命题.
故选：D.
【知识点2 充分、必要与充要条件】
1．充分条件与必要条件
一般地，数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件．
数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件．
2．充要条件
如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有p⇒q，又有q⇒p，记作p⇔q.此时p既是q的充分条件，也是q的必要条件．我们说p是q的充分必要条件，简称为充要条件．
如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件，即如果p⇔q，那么p与q互为充要条件．
【注】：“⇔”的传递性
若p是q的充要条件，q是s的充要条件，即p⇔q，q⇔s，则有p⇔s，即p是s的充要条件．
3．充分、必要与充要条件的判定
(1)如果既有p⇒q，又有q⇒p，则p是q的充要条件，记为p⇔q.
(2)如果p⇒且q⇒，则p是q的既不充分也不必要条件.
(3)如果p⇒q且q⇒，则称p是q的充分不必要条件.
(4)如p⇒且q⇒p，则称p是q的必要不充分条件.
(5)设与命题p对应的集合为A={x|p(x)}，与命题q对应的集合为B={x|q(x)}，
若AB，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；
若A=B，则p是q的充要条件.
【题型3 充分条件、必要条件及充要条件的判定】
【例3】（2023·上海普陀·上海市校考模拟预测）“x>1”是“1x0⇔a+ba−b>0⇔a2−b2>0⇔a2>b2⇔|a|>|b|为充要条件．
故选：C.
【变式3-3】（2020秋·上海浦东新·高一校考阶段练习）已知p是r的充分不必要条件，q是r的充分条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件，现有下列命题：① s是q的充要条件；② p是q的充分不必要条件；③ r是q的必要不充分条件；④ r是s的充分不必要条件；正确的命题序号是（ ）
A．①④B．①②C．②③D．③④
【解题思路】根据条件及充分条件和必要条件的的确定p,q,r,s之间的关系，然后逐一判断命题①②③④即可.
【解答过程】因为p是r的充分不必要条件，所以p⇒r，r ⇏ p，
因为q是r的充分条件，所以q⇒r，
因为s是r的必要条件，所以r⇒s，
因为q是s的必要条件，所以s⇒q，
因为q⇒r，r⇒s，所以q⇒s，又s⇒q，
所以s是q的充要条件；命题①正确，
因为p⇒r，r⇒s，s⇒q，所以p⇒q，
若q⇒p，则r⇒s，s⇒q，q⇒p，故r⇒p，与r ⇏ p矛盾，
所以q ⇏ p，
所以p是q的充分不必要条件，命题②正确；
因为r⇒s，s⇒q，所以r⇒q，r是q的充分条件，命题③错误；
因为s⇒q，q⇒r，所以s⇒r，又r⇒s，
所以r是s的充要条件，命题④错误；
故选：B.
【题型4 充分条件、必要条件及充要条件的探索】
【例4】（2023·高一课时练习）关于x的方程ax+1=0有实根的一个充分条件是（ ）
A．a=0B．a=1
C．a≠1D．ay”的一个充分不必要条件可以是（ ）
A．x>yB．x2>y2
C．xy>1D．2x−y>2
【解题思路】根据充分不必要条件的概念，逐项判断，即可得出结果.
【解答过程】由x>y，x2>y2推不出x>y，排除AB；
由xy>1可得x−yy>0，解得x>y>0或xy的既不充分也不必要条件，排除C；
2x−y>2⇒x>y，反之不成立，D正确；
故选：D．
【变式4-2】（2022秋·江苏连云港·高一校考期中）使x∈x|x≤0或x>3}成立的一个充分不必要条件是（ ）
A．x≤0或x>3B．x3
C．x≤0或x>1D．x≥0
【解题思路】根据充分不必要条件的定义和集合间的包含关系判断可得答案.
【解答过程】对于A，因为x|x≤0或x>3= x∈x|x≤0或x>3，故错误；
对于B，因为x∈x|x3x|x≤0或x>3，故正确；
对于C，因为x|x≤0或x>3x|x≤0或x>1，故错误；
对于D，因为x|x≥0不是x|x≤0或x>3的真子集，故错误.
故选：B.
【变式4-3】（2023春·陕西商洛·高二校考阶段练习）不等式“x2+2x−m≥0在x∈R上恒成立”的一个充分不必要条件是（ ）
A．m4C．2