专题2.6 一元二次函数、方程和不等式全章综合测试卷（基础篇）-2023-2024学年高一数学重点题型专项训练（人教A版必修第一册）

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1．（5分）（2023秋·甘肃酒泉·高一统考期末）铁路总公司关于乘车行李规定如下：乘坐动车组列车携带品的外部尺寸长、宽、高之和不超过130cm，且体积不超过72000cm3，设携带品外部尺寸长、宽、高分别记为a，b，c（单位：cm），这个规定用数学关系式可表示为（ ）
A．a+b+c72000
C．a+b+c≤130且abc≤72000D．a+b+c≥130且abc≥72000
【解题思路】根据数量关系列不等式，“不超过”不等号为“小于等于”.
【解答过程】由长、宽、高之和不超过130cm得a+b+c≤130，由体积不超过72000cm3得abc≤72000.
故选：C.
2．（5分）（2023秋·江苏常州·高一校考期末）下列说法不正确的是（ ）
A．若a>b>0，则ba>b+ma+m
B．若ac2>bc2，则a>b
C．若a>b>0，则a+1b>b+1a
D．若a>b>0，则a3+2b3>3ab2
【解题思路】对于A，举例判断，对于B，利用不等式的性质判断，对于CD，作差判断
【解答过程】对于A，若a=2,b=1,m=1，则ba=12，b+ma+m=23，此时babc2可得c≠0，则c2>0，所以由不等式的性质可得a>b，所以B正确，
对于C，因为a>b>0，所以a−b>0,ab>0，
所以a+1b−b+1a=a−b+1b−1a=(a−b)+a−bab=(a−b)1+1ab>0，
所以a+1b>b+1a，所以C正确，
对于D，因为a>b>0，所以a−b>0,a+2b>0，
所以a3+2b3−3ab2=a3−b3+3b2(b−a)=(a−b)(a2+ab+b2)−3b2(a−b)
=(a−b)(a2+ab−2b2)=(a−b)2(a+2b)>0，
所以a3+2b3>3ab2，所以D正确，
故选：A.
3．（5分）（2023春·福建泉州·高二校联考期末）若a>0，b>0，a+b=2，则下列不等式恒成立的是（ ）
A．ab≥2B．a+b≤2
C．2a+1b≥3D．a2+b2≥2
【解题思路】根据不等式串21a+1b≤ab≤a+b2≤a2+b22 可判断选项A错误，B错误，D正确.利用基本不等式可得C错误.
【解答过程】对于选项A：∵ab≤a+b22=1，当且仅当a=b时取等号，∴A错误；
对于选项B： a+b2≤a+b2=1，a+b≤2，∴B错误；
对于选项C ：2a+1b=12a+b2a+1b=123+2ba+ab≥3+222，
因为3+2220的解集为{x|－20，A错误；
不等式bx+c>0化为−ax−6a>0，解得x0的解集是x|x0，
∴a+mb+m−ab>0，∴a+mb+m>ab.
18．（12分）（2023·高一课时练习）判断下列说法的正误，并说明理由：
(1)y=3x+12x的最小值是12；
(2)当x>0时，2x+1x2≥22x⋅1x2=22x，等号成立当且仅当2x=1x2，即x=312时，2x+1x2取到最小值.
【解题思路】（1）分x>0、x0时，y=3x+12x≥23x×12x=12，当且仅当3x=12x即x=2等号成立；
当x0时，2x+1x2=x+x+1x2≥33x⋅x⋅1x2=3，当且仅当x=1x2即x=1等号成立，故错误.
19．（12分）（2023·高一课时练习）证明下列不等式
（1）若bc-ad≥0，bd＞0，求证：a+bb≤c+dd
（2）已知a＞0，b＞0，求证：a2b+b2a≥a+b
【解题思路】（1）运用作差比较法得a+bb−c+dd≤0，由此可得证；
（2）作差，判断符号得a2b+b2a−a+b≥0，由此可得证.
【解答过程】证明:（1）因为a+bb−c+dd=a+bd−c+dbbd=ad−bcbd，又bc-ad≥0，bd＞0，
所以ad−bcbd≤0，所以a+bb≤c+dd；
（2）因为a2b+b2a−a+b=a3+b3−a2b−ab2ab=a+ba−b2ab，
又a＞0，b＞0，
所以a+ba−b2ab≥0，
所以a2b+b2a≥a+b.
20．（12分）（2023春·湖南长沙·高二统考期末）设函数fx=ax2−2a+1x+ba,b∈R.
(1)若不等式fx0的解集.
【解题思路】（1）由不等式的解转换为方程的解，利用韦达定理求解；
（2）b=4时，不等式可化为ax−2x−2>0，讨论a=0,a>0,a0，
可化为ax−2x−2>0，则
当a=0时，不等式为−2x−2>0，解得x0时，不等式化为x−2ax−2>0，令2a=2，得a=1，
当a>1时，2a0，解得x≠2；
当00，即xx2+k−m>0，由于k>0，
所以x>mx2+k,mx2−x+mk0，
即x2−3x+213成立，由于k>0，
所以3x>x2+k,k